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1、1 机机 械械 控控 制制 工工 程程 基基 础础第四章第四章 频域分析频域分析第一节第一节 概概 述述 第二节第二节 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 第三节第三节 系统开环频率特性图系统开环频率特性图第四节第四节 闭环频率特性闭环频率特性第五节第五节 闭环系统性能分析闭环系统性能分析第六节第六节 频域分析的频域分析的MATLAB实现实现 学习重点学习重点v理解频率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；理解频率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；v掌握典型环节的频率特性，熟练掌握系统频率特性掌握典型环节的频率特性，熟练掌握系统频率特性 的伯德图和奈氏图的绘制方法；的伯德图和奈氏图的绘制
2、方法；（重点掌握）（重点掌握）v了解闭环系统频率特性及其和系统暂态特性的关系。了解闭环系统频率特性及其和系统暂态特性的关系。v建立开环频率特性和系统性能指标之间的对应关系，建立开环频率特性和系统性能指标之间的对应关系，能够定性地分析系统的性能；能够定性地分析系统的性能；p频频域域分分析析法法：是是一一种种图图解解分分析析方方法法，它它依依据据系系统统的的又又一一种种数数学学模模型型频频率率特特性性，不不必必求求解解系系统统的的微微分分方方程程就就可可以以根根据据系系统统的的开开环环频频率率特特性性分分析析闭闭环环系系统统的的性性能能，并并能能方方便便的的分分析析系系统统中中的的各各参参数数对对
3、系系统统性性能能的的影影响响，指指明明改改进进系系统统性性能能的的途途径。径。是一种工程上另一种广泛应用的方法是一种工程上另一种广泛应用的方法。p研究的问题研究的问题仍然是系统的稳定性、瞬态性能、稳态性能；仍然是系统的稳定性、瞬态性能、稳态性能；引引 言言 时域分析时域分析：重点研究重点研究过渡过程过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下的系统，通过阶跃或脉冲输入下的系统瞬态瞬态 时间响应时间响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。频域分析频域分析：通过系统在不同频率通过系统在不同频率的谐波（正弦）输入作用下的的谐波（正弦）输入作用下的 系统的系统的稳态响应稳态响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。R
4、C第一节第一节 概概 述述一、频率特性的概念一、频率特性的概念例例1 1 RC 电路如图所示，电路如图所示，ui(t)=A0sinw wt,求求uo(t)=?RC0稳态输出：稳态输出：稳态输出与输入的幅值成正比，与输入同频率：推广到一般的线性定常系统：推广到一般的线性定常系统：0t 线性定常系统对谐波输入的稳态响应（频率响应）为同频率的谐波函数。系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。正弦输入时，系统的稳态输出量与输入量之比叫做系统的频率特性，包括幅频特性和相频特性。1 1、频率特性定义：、频率特性定义：频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性 A()：稳态输出与输入的幅值比()：稳态输
5、出与输入的相位差的非线性函数（揭示了系统的频率响应特性）2 2、频率特性与传递函数之间的关系、频率特性与传递函数之间的关系系统模型间的关系系统模型间的关系二、二、频率特性的求法频率特性的求法(1)(1)频域响应频域响应频率特性频率特性 利用在已知系统的微分方程或传递函数的情况下，当利用在已知系统的微分方程或传递函数的情况下，当输入为正弦函数时，求其稳态解，再求输入为正弦函数时，求其稳态解，再求G(j)G(j)；(2)传递函数传递函数频率特性频率特性 利用将传递函数中的利用将传递函数中的s s换为换为j j来求取；来求取；(3)实验法：实验法：是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方是对实
6、际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。如果在不知道系统的传递函数或数学模型时，只有采法。如果在不知道系统的传递函数或数学模型时，只有采用实验法。用实验法。例例例例三、三、频率特性的特点频率特性的特点 （1 1）频率特性是通过分析系统对不同频率正弦输入的稳）频率特性是通过分析系统对不同频率正弦输入的稳态响应来获得系统的动态特性。态响应来获得系统的动态特性。（2）频率响应有明确的物理意义，并且可以用实验的方）频率响应有明确的物理意义，并且可以用实验的方法获得，这对于不能用解析法建模的元件或系统，具有法获得，这对于不能用解析法建模的元件或系统，具有非常重要的意义。非常重要的意义。（3）便于研究
7、系统结构参数变化对系统性能的影响。）便于研究系统结构参数变化对系统性能的影响。（4）不需要解闭环特征方程，利用奈奎斯判据，根据系）不需要解闭环特征方程，利用奈奎斯判据，根据系统的开环频率特性就可以研究闭环系统的稳定性。统的开环频率特性就可以研究闭环系统的稳定性。四、频率特性的表示方法四、频率特性的表示方法极坐标图（极坐标图（NyquistNyquist图）图）对数坐标图（对数坐标图（BodeBode图）图）对数幅相特性图（对数幅相特性图（NicholsNichols图图）1.1.数学式表达方法数学式表达方法2.2.图形表示方法图形表示方法实频特性实频特性虚频特性虚频特性1.1.数学式表达方式数
8、学式表达方式1 1）直角坐标表达式（）直角坐标表达式（实频实频-虚频虚频）设系统或环节的传递函数为设系统或环节的传递函数为令令s=js=j，可得系统或环节的频率特性，可得系统或环节的频率特性 U(U()是频率特性的实部，称为实频特性，是频率特性的实部，称为实频特性，V()V()为频率特性的虚部，称为虚频特性。为频率特性的虚部，称为虚频特性。其中：其中：幅频特性幅频特性相频特性相频特性2 2）指数表达式（）指数表达式（幅频幅频-相频相频）A(A()为复数频率特性的模或幅值，即幅频特性为复数频率特性的模或幅值，即幅频特性 ()()为复数频率特性的辐角或相位，即相频特性为复数频率特性的辐角或相位，即
9、相频特性其中：其中：0代数形式与指数形式之间的关系：代数形式与指数形式之间的关系：(1 1)极坐标图（极坐标图（NyquistNyquist图）图）2.2.图形表示方法图形表示方法jV()U()G(j1)G(j2)0映射（2 2）对数坐标图（）对数坐标图（BodeBode图）图）对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。对上式两边取对数，得对上式两边取对数，得 一般不考虑一般不考虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。这个系数，而只用相角位移本身。通常将对数幅频特性绘在以通常将对数幅频特性绘在以1010为底的半对数坐标中，为底的半对数坐标中，对数幅频
10、特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性Bode图：图：纵轴纵轴横轴横轴按按 lgw w 分度，按分度，按w w真实值标注；真实值标注；几何上等分几何上等分真值等比真值等比“分贝分贝”dec“十倍频程十倍频程”对数频率特性的优点对数频率特性的优点对数频率特性的优点对数频率特性的优点：（1）当频率范围很宽时，可以缩小比例尺。）当频率范围很宽时，可以缩小比例尺。（2）当系统由多个环节串联构成时，简化了绘制系统的频率特性）当系统由多个环节串联构成时，简化了绘制系统的频率特性。将将BodeBode图的两张图合二为一：图的两张图合二为一：对数幅值做纵坐标（对数幅值做纵坐标（dBdB）；）；相位移做横坐标
11、（度）；相位移做横坐标（度）；频率做参变量。频率做参变量。0o180o-180ow0-20dB20dB（3 3）对数幅相特性图（）对数幅相特性图（NicholsNichols图图）第二节第二节 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、比例环节一、比例环节（1）传递函数）传递函数（2）幅相频率特性）幅相频率特性 或写成 比例环节的幅相频率特性比例环节的幅相频率特性(乃氏图乃氏图)0UjVK（3）对数频率特性（）对数频率特性（Bode图）图）00K=1K1K1对数幅频特性对数幅频特性：过点（过点（1 1，20lg20lgK）的水平线的水平线对数相频特性对数相频特性：与与0 0线重合线重合二、二、积
12、分环节积分环节（1）传递函数）传递函数（2）幅相频率特性）幅相频率特性或写成 积分环节幅相频率特性积分环节幅相频率特性(乃氏图乃氏图)0jVU虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点。虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点。积分环节幅相频率特性积分环节幅相频率特性(奈氏图奈氏图)（3）对数频率特性（）对数频率特性（Bode图）图）000.110120-90-180-20三、微分环节三、微分环节（1）传递函数）传递函数（2）幅相频率特性）幅相频率特性理想微分环节幅相频率特性理想微分环节幅相频率特性(奈氏图奈氏图)0jVU虚轴的上半轴，由原点指向无穷远处。虚轴的上半轴，由原点指向无穷远处。（3）对数频率特性（）
13、对数频率特性（Bode图）图）000.11012090四、四、惯性环节惯性环节（1）传递函数）传递函数（2）幅相频率特性）幅相频率特性0jVU1惯性环节的幅相频率特性惯性环节的幅相频率特性(乃氏图乃氏图)（3）对数频率特性（）对数频率特性（Bode图）图）00五、一阶微分环节五、一阶微分环节（1）传递函数）传递函数（2）幅相频率特性）幅相频率特性一阶微分环节幅相频率特性一阶微分环节幅相频率特性(乃氏图乃氏图)0jVU1始于点（始于点（1 1，j0j0）,平行于虚轴。平行于虚轴。一阶微分环节幅相频率特性一阶微分环节幅相频率特性(奈氏图奈氏图)（3）对数频率特性（）对数频率特性（Bode图）图）0
14、0六、振荡环节六、振荡环节（1）传递函数）传递函数（2）幅相频率特性）幅相频率特性振荡环节幅相频率特性振荡环节幅相频率特性(乃氏图乃氏图)10jVU振荡环节幅相频率特性振荡环节幅相频率特性(奈氏图奈氏图)（3）对数频率特性（）对数频率特性（Bode图）图）00-403/2七、二阶微分环节七、二阶微分环节（1）传递函数）传递函数（2）幅相频率特性）幅相频率特性二阶微分环节幅相频率特性二阶微分环节幅相频率特性(乃氏图乃氏图)（3）对数频率特性（）对数频率特性（Bode图）图）与二阶振荡环节与二阶振荡环节BodeBode图对称于频率轴。图对称于频率轴。八、延迟环节八、延迟环节（1）传递函数）传递函数
15、（2）幅相频率特性）幅相频率特性时滞环节幅相频率特性时滞环节幅相频率特性(奈氏图奈氏图)01jVU（3）对数频率特性（）对数频率特性（Bode图）图）000.11101002011.12.05第第16次课次课第三节第三节 系统开环频率特性图系统开环频率特性图一、开环系统的幅相频率特性图（奈奎斯）一、开环系统的幅相频率特性图（奈奎斯）1 1、绘制系统乃氏图的基本步骤、绘制系统乃氏图的基本步骤将系统的开环传递函数写成若干典型环节相串联形式；将系统的开环传递函数写成若干典型环节相串联形式；1ReIm(-KT，j0)积分环节改变了起始点（低频段）。积分环节改变了起始点（低频段）。ReIm2乃氏图的大致
16、规律：乃氏图的大致规律：低频段：高频段：（重点掌握）（重点掌握）K1、低频段002、高频段三个不同系统的三个不同系统的NyquistNyquist图图总结：开环幅相频特性的特点总结：开环幅相频特性的特点开环系统频率特性的一般形式为：开环系统频率特性的一般形式为：当 时，可以确定特性的低频部分，其特点由系统的 类型近似确定。即特性总是以顺时针方向并按上式的角度终止于原点。一般，有 ，故当 时，有 幅相特性的高频段：幅相特性G(j)曲线与负实轴的交点是一个关键点：如果在传递函数的分子中含有一阶微分环节，其G(j)曲线 随变化时发生弯曲。要求要求：给出奈氏图能够判别系统的型别和阶次。给出奈氏图能够判
17、别系统的型别和阶次。例：例：0型型、3阶阶型型、4阶阶型型、3阶阶型型、6阶阶例：例：二、开环系统的对数坐标图（伯德图）二、开环系统的对数坐标图（伯德图）1 1、绘制系统伯德图的基本步骤、绘制系统伯德图的基本步骤教材教材P105 P105 例例4-74-7、例、例4-84-8。（重点掌握）（重点掌握）解：解：试绘制系统伯德图。试绘制系统伯德图。04020-40-200.22200.4 0.6 0.8 1468 103、画近似幅频折线和相频曲线并叠加3 教材教材P107 P107 例例4-94-9绘制开环系统绘制开环系统BodeBode图的步骤图的步骤 化化G(jw w)为尾为尾1标准型标准型
18、顺序列出转折频率顺序列出转折频率 确定基准线确定基准线 叠加作图叠加作图基准点基准点斜率斜率一阶一阶惯性环节惯性环节 -20dB/dec复合微分复合微分 +20dB/dec二阶二阶振荡环节振荡环节 -40dB/dec复合微分复合微分 -40dB/dec第一转折频率之左第一转折频率之左的特性及其延长线的特性及其延长线 修正修正 检查检查 两惯性环节转折频率很接近时两惯性环节转折频率很接近时 振荡环节振荡环节 x x (0.4,0.8)时时 L(w w)最右端曲线斜率最右端曲线斜率=-20(n-m)dB/dec 转折点数转折点数=(=(惯性惯性)+()+(一阶复合微分一阶复合微分)+()+(振荡振
19、荡)+()+(二阶复合微分二阶复合微分)j(w)j(w)-90(n-m)开环系统开环系统BodeBode图小结图小结2011.12.07第第17次课次课三、三、最小相位系统的概念最小相位系统的概念最小相位传递函数在s右半平面既无极点、又无零点的传递函数，称最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数。最小相位系统具有最小相位传递函数的系统。两个系统的幅频特性完全相同而相频特性相异两个系统的幅频特性完全相同而相频特性相异000T1 T2 0最小相位系统的特点：对于相同阶次的基本环节,当 连续变化时,最小相位系统的相角变化范围是最小的。对于最小相位系统，知道了幅频特性，其相频特性就唯一确定，而非最
20、小相位系统则不唯一确定。实用的大多数系统为最小相位系统，为了简化工作量，对于最小相位系统的伯德图，可以只画幅频特性。相频特性高频段只有最小相位系统其相位才趋近于-（n-m）90系统类型与开环对数幅频特性的关系系统类型与开环对数幅频特性的关系（低频段）（低频段）1 1）0 0型系统型系统1p 低频段的幅值为低频段的幅值为20lgK20lgK。p 在低频段，斜率为在低频段，斜率为0dB/0dB/十倍频十倍频；特点：特点：四、由系统的对数频率特性求对应的传递函数四、由系统的对数频率特性求对应的传递函数2 2）I I 型系统型系统1111p低频渐近线或延长线与低频渐近线或延长线与横轴的交点的频率值横轴
21、的交点的频率值等于开环增益等于开环增益K K的值。的值。p在低频段的渐近线斜率为在低频段的渐近线斜率为-20dB/dec-20dB/decp在低频段的渐近线或其延长线过点（在低频段的渐近线或其延长线过点（1 1，20lgK20lgK）特点：特点：3 3）IIII型系统型系统p低频渐近线或延长线与低频渐近线或延长线与横轴的交点的频率值的平方横轴的交点的频率值的平方等于开环增益等于开环增益K K的值的值1111p在低频段的渐近线斜率为在低频段的渐近线斜率为-40dB/dec-40dB/decp在低频段的渐近线或其延长线过点（在低频段的渐近线或其延长线过点（1 1，20lgK20lgK）特点：特点：
22、例例4.6 4.6 已知系统对数频率特性如图所示，求系统的开环传递已知系统对数频率特性如图所示，求系统的开环传递 函数函数G(s).G(s).0.2T1nT2-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1410dB/(rad/s)L()/dB015.62）求）求K20lgK=15.6K=63）求）求nT1=0.2=n5）求）求T2=4=1/=0.254）求）求-20lg2=10=0.158解：解：思考？思考？若所给的开环对数幅频特性曲线上，并未给出若所给的开环对数幅频特性曲线上，并未给出=1=1时所对应时所对应 的幅值的幅值L()=20lgKL()=20lgK，如何求不同类型系统的开
23、环增益，如何求不同类型系统的开环增益K K。第四节第四节 闭环频率特性闭环频率特性Xi(s)Xo(s)-G(s)由由GK(j)求取求取GB(j):一、闭环频率特性与开环频率特性的关系一、闭环频率特性与开环频率特性的关系二、频域性能指标二、频域性能指标GKXiXo+-对于单位负反馈系统，若对于单位负反馈系统，若M M (0)=1(0)=1，说明系统输出，说明系统输出对输入的跟随性好。对输入的跟随性好。1、零频幅值、零频幅值M(0)M()M(0)0.707M(0)0M r b反映系统的稳态精度反映系统的稳态精度M(0)、M、与稳态性能有关与稳态性能有关M()M(0)0.707M(0)0M r b3
24、、谐振频率、谐振频率 r；谐振峰值；谐振峰值Mr 使幅频特性曲线出现峰值的频率称为使幅频特性曲线出现峰值的频率称为谐振频率谐振频率。谐振频率处的。谐振频率处的峰值称为峰值称为谐振峰值谐振峰值。M()M(0)0.707M(0)0Mrb1.0Mr 1.4，0.40.7Mp 25%反映瞬态响应平稳性反映瞬态响应平稳性注：注：n、d、r 的关系的关系M()M(0)0.707M(0)0 bXi()b系统(j)Xo()b14、截止频率、截止频率 b；截止带宽；截止带宽0b反映瞬态响应的快速性反映瞬态响应的快速性b b与与t ts s成反比即控制系统的频带宽度越大，快速性越好。成反比即控制系统的频带宽度越大
25、，快速性越好。带带宽表征控制系统的响应的快速性；还表征系统对高频噪声的宽表征控制系统的响应的快速性；还表征系统对高频噪声的抵抗能力。抵抗能力。第五节第五节 闭环系统性能分析闭环系统性能分析一、频域指标与时域指标之间的关系一、频域指标与时域指标之间的关系对于给定的对于给定的，r与与ts成反比，即成反比，即r大，响应快；大，响应快；r 小，响应慢。小，响应慢。Mr，Mp均随着均随着 增加而减小增加而减小，Mr大，大，Mp也大。瞬态响应相对稳定性差。也大。瞬态响应相对稳定性差。uu 二阶系统二阶系统二阶系统二阶系统：物理意义：物理意义：当闭环幅频特性有谐振峰时，系统的输入信号的频谱当闭环幅频特性有谐
26、振峰时，系统的输入信号的频谱在在=r r附近的谐波分量通过系统后显著增强，从而引起振荡。附近的谐波分量通过系统后显著增强，从而引起振荡。uu 高阶系统：高阶系统：高阶系统：高阶系统：二、二、闭环系统性能分析闭环系统性能分析（用开环频率特性分析闭环系统的性能）（用开环频率特性分析闭环系统的性能）1）低频段：）低频段：20lg G(j)的渐近线在第一个转折频率以前的频段的渐近线在第一个转折频率以前的频段o可根据低频段确定系统的型别和开环增益。可根据低频段确定系统的型别和开环增益。o低频段决定系统的稳态性能。低频段决定系统的稳态性能。2）中频段：）中频段：穿越频率附近的阶段。穿越频率附近的阶段。对于
27、二阶系统由对于二阶系统由G(j)=1G(j)=1可以求得可以求得c coc反映闭环系统动态响应的快速性。反映闭环系统动态响应的快速性。o中频段的斜率和宽度决定了系统动态响应的平稳性。中频段的斜率和宽度决定了系统动态响应的平稳性。3）高频段：）高频段：中频段以后中频段以后的频率区段的频率区段o高频段反映系统抗高频干扰的能力。因此，高频段频率特高频段反映系统抗高频干扰的能力。因此，高频段频率特性应有较陡的斜率和较负的幅值。性应有较陡的斜率和较负的幅值。注：注：三频段的划分并没有严格的准则，三频段的划分并没有严格的准则，但它反但它反映了对控制系统性映了对控制系统性能影响的主要方面。三频段的概念为直接
28、运用开环频率特性分析能影响的主要方面。三频段的概念为直接运用开环频率特性分析闭环系统的性能及工程设计提出了原则和方向。闭环系统的性能及工程设计提出了原则和方向。总 结第六节第六节 频域分析的频域分析的MATLABMATLAB实现实现nyquist nyquist 绘制奈奎斯特图绘制奈奎斯特图nyquistnyquist（numnum，denden）nyquistnyquist（numnum，denden，w w）rere，imim，w=nyquistw=nyquist（numnum，denden ，w w）bodebode绘制伯德图绘制伯德图bodebode（numnum，denden）bodebode（numnum，denden，w w）magmag，phasephase，w=bodew=bode（numnum，denden ，w w）nicholsnichols 绘制尼克尔斯图绘制尼克尔斯图nicholsnichols（numnum，denden）nicholsnichols（numnum，denden，w w）magmag，phasephase，w=nicholsw=nichols（numnum，denden ，w w）