控制工程基础_课件_第四章.ppt

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1、第四章 频域分析法二、典型环节的频率特性图三、系统开环频率特性图四、频域稳定性判据五、闭环控制系统的频率特性六、频域指标与时域性能指标间的关系七、用系统开环频率特性分析闭环系统性能八、频域特性的计算机辅助分析、概述一一、频率特性的基本概念九、小结12/25/20221第四章 频域分析法、概述l 时域分析的缺陷时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性 能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。12/25/20222第四章 频域分析法l 频域分析的目的频域分析的目的频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性

2、能的关系。无需求解微分方程，图解(频率特性图)法 间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；易于实验分析；优点：可推广应用于某些非线性系统（如含有延 迟环节的系统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。12/25/20223第四章 频域分析法一一、频率特性的基本概念l 频率响应与频率特性频率响应与频率特性 频率响应与频率特性的概念考虑线性定常系统：当正弦输入 xi(t)=Xsint 时，相应的输出为：12/25/20224第四章 频域分析法对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改变，因此，可认为系统处于零初始状态。假设系统只具有不同的极点，则：其中为一对待

3、定共轭复常数Ai(i=1,2,n)为待定常数。12/25/20225第四章 频域分析法从而：如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有类似：的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大都趋近于零。12/25/20226第四章 频域分析法因此，系统的稳态响应为：其中：由于：12/25/20227第四章 频域分析法上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值比为|G(j)|，相位差为G(j)。因此：显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化。12/25/20228第四章 频域分析法q 频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响

4、应。q 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入 时，其稳态输出随频率而变化(由0变到)的特性。幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。q 幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变 化特性，记为A()。q 相频特性：当由0到变化时，G(j)的变 化特性称为相频特性，记为()。12/25/20229第四章 频域分析法 频率特性与传递函数的关系 示例 正弦输入xi(t)=Xsint 作用下的频率响应。求一阶系统的频率特性及在解解：12/25/202210第四章 频域分析法对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的定义：由上式可见，当T1时，A()1/T()-9012/25/202211第

5、四章 频域分析法 几点说明 q 频率特性是传递函数的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。q 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。12/25/202212第四章 频域分析法q 应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下

6、的运动情况。12/25/202213第四章 频域分析法q 频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；q()大于零时称为相角超前，小于零时称 为相角滞后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()12/25/202214第四章 频域分析法l 频率特性图频率特性图 奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频 率特性图）其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：12/25/202215第四章 频域分析法在复平面上，随（0 ）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系

7、统的奈奎斯特图或极坐标图。易 知，向 量 G(j)的 长 度 等 于A(j)（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。12/25/202216第四章 频域分析法 波德(Bode)图（对数频率特性图）q 对数幅频特性图横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率 单位 rad/s或Hz纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20 倍，即：L()=20logA()单位 分贝（dB）12/25/202217第四章 频域分析法q 对数相频特性图 横坐标：与对数幅频特性图相同。纵坐标：线性分度，频率特性的相角()单位 度()q 几点说明 在对数频率特性图中

8、，由于横坐标采用了 对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表 示出来，横坐标上表示的最低频率由所感 兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般 只标注的自然数值；12/25/202218第四章 频域分析法 在对数频率特性图中，角频率 变化的倍 数往往比其变化的数值更有意义。为此通 常采用频率比的概念：频率变化十倍的区 间称为一个十倍频程，记为decade或简写 为 dec；频率变化两倍的区间称为一个二 倍频程，记为octave或简写为oct。它们也 用作频率变化的单位。可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。12/25/202219第四章 频域分析法 通常用L()简记对数幅频特

9、性，也称L()为增益；用()简记对数相频特性。对数坐标的优点 幅值相乘变为相加，简化作图；对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范 围 两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称 12/25/202220第四章 频域分析法 可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频 特性曲线；将实验获得的频率特性数据绘制成对数 频率特性曲线，可以方便地确定系统的 传递函数；尼柯尔斯(Nichols)图（对数幅相特性图）L()()图12/25/202221第四章 频域分析法l 比例环节比例环节 二、典型环节的频率特性图传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=K=Kej

10、0实频特性：P()=K虚频特性：Q()=0对数幅频特性：L()=20lgK对数相频特性：()=0幅频特性：A()=K相频特性：()=012/25/202222第四章 频域分析法比例环节的频率特性图：Bode Diagram (rad/sec)()L()/(dB)-20020406010-1100101102-180-900 90 180 20lgKK0ReImNyquist Diagram12/25/202223第四章 频域分析法l 惯性环节惯性环节 传递函数：频率特性：相频特性：()=-arctgT幅频特性：12/25/202224实频特性：虚频特性：注意到：即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/

11、2,0)处，半径为1/2的一个圆。0ReIm1/21=0=45=1/TNyquist DiagramG(j)惯性环节的Nyquist图 第四章 频域分析法12/25/202225第四章 频域分析法 惯性环节的Bode图 q 低频段(1/T)即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。12/25/202227第四章 频域分析法转折频率-30-20-10010-90-4501/TL()/(dB)()Bode Diagram (rad/sec)实际幅频特性渐近线-20dB/dec12/25/202228第四章 频域分析法q 转折频率（1/T)低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率

12、点 1/T，称为转折频率（截止频率）。在转折频率处，L()-3dB，()-45。q 渐近线误差惯性环节具有低通滤波特性。12/25/202229第四章 频域分析法-4-3-2-100.1110T转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线12/25/202230第四章 频域分析法l 一阶微分一阶微分环节环节 对数相频特性：()=arctg传递函数：频率特性：对数幅频特性：幅频特性：相频特性：()=arctg12/25/202231第四章 频域分析法 一阶微分环节的Nyquist图 0ReIm=0=arctg1实频特性：虚频特性：12/25/202232第四章 频域分析法 一阶微分环节的Bode图

13、 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数(=T)，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。12/25/202233第四章 频域分析法0 10 2030904501/TL()/(dB)()Bode Diagram (rad/sec)0.1/T10/T转折频率实际幅频特性渐近线20dB/dec12/25/202234第四章 频域分析法l 积分积分环节环节 传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：()=-90实频特性：12/25/202235第四章 频域分析法

14、虚频特性：对数幅频特性：积分环节的Nyquist图 0ReIm=0=对数相频特性：()=-9012/25/202236第四章 频域分析法 积分环节的Bode图-40-200200-45-90-135-1800.1110100L()/(dB)()Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec12/25/202237第四章 频域分析法l 理想微分理想微分环节环节 传递函数：频率特性：实频特性：对数相频特性：()=90虚频特性：对数幅频特性：幅频特性：相频特性：()=9012/25/202238第四章 频域分析法 理想微分环节的Nyquist图 0ReIm=0=12/25/202239

15、第四章 频域分析法-2002040045901351800.1110100L()/(dB)()Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec 理想微分环节的Bode图 12/25/202240第四章 频域分析法l 振荡振荡环节环节 传递函数：频率特性：12/25/202241第四章 频域分析法幅频特性：相频特性：12/25/202242第四章 频域分析法实频特性：虚频特性：12/25/202243第四章 频域分析法 振荡环节的Nyquist图 q =0时 q =n时 q =时 12/25/202244第四章 频域分析法Nyquist Diagram=0=0.1=0.2=0.5=1

16、=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3=n12/25/20224500.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.8201234=0.05=0.15=0.20=0.25=0.30=0.40=0.50=0.707=1.00/nA()q 谐振现象第四章 频域分析法12/25/202246第四章 频域分析法又振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，在=n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐振频率。由于：12/25/202247第四章 频域分析法A()出现峰值相当于其分母：取得极小值。令：解得：即：显然r 应大于0，由此可

17、得振荡环节出现谐振的条件为：12/25/202248第四章 频域分析法谐振峰值：00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10123456789100102030405060708090100Mr(dB)Mp()MrMp12/25/202249第四章 频域分析法00.20.40.60.8100.20.40.60.81r/nd/nr/n，d/n12/25/202250第四章 频域分析法 振荡环节的Bode图 q 对数幅频特性 低频段(n)两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。12/25/202252第四章 频域分析法q 对数相频特性易知：

18、12/25/202253第四章 频域分析法-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)=0.5=0.7=1.0=0.1=0.2=0.3-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec=0.3=0.5=0.7=1.0=0.1=0.2渐近线Bode Diagram12/25/202254第四章 频域分析法q 渐近线误差分析12/25/202255-8-40481216200.1110=0.05=0.10=0.15=0.20=0.25=0.30=0.35=0.40=0.80=0.90=1.00=0.50=0.60=0.707/nError (dB)第四章 频域分

19、析法12/25/202256第四章 频域分析法由图可见，当 较小时，由于在=n 附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，越小，误差越大。当0.380.7时，误差不超过3dB。因此，在此 范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。12/25/202257第四章 频域分析法l 二阶微分二阶微分环节环节 传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：12/25/202258第四章 频域分析法 二阶微分环节的Nyquist图 q =0时 q =1/T时 q =时 12

20、/25/202259G(j)=010=ReIm=1/2，第四章 频域分析法Nyquist Diagram12/25/202260 二阶微分环节的Bode图 注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数(1/n)，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。第四章 频域分析法12/25/202261l 延迟环节延迟环节 传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：第四章 频域分析法12/25/202262第四章 频域分析法01=0ReImNyquist Diagram-600-500-400-300-200-10

21、000.1110(rad/s)()/(deg)10L()/(dB)0-20-1012/25/202263第四章 频域分析法由于：易知：其中，N为某个较大的有限值。即延迟环节可由N个具有同一实数极点的有理函数近似。延迟环节也可近似为：12/25/202264第四章 频域分析法l 最小相位系统最小相位系统 传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：三、系统开环频率特性图 一阶不稳定环节一阶不稳定环节 12/25/202265Nyquist Diagram1-10=0=0=ReIm惯性环节一阶不稳定环节第四章 频域分析法12/25/202266Bode Diagram-20-15-10-50L()/(

22、dB)-20dB/dec-180-135-90-450()/(deg)(rad/sec)1/T惯性环节一阶不稳定环节第四章 频域分析法12/25/202267第四章 频域分析法由图可见，不稳定一阶环节的幅频特性与惯性环节相同，而相角绝对值大于惯性环节的相角绝对值。该结论对其它与振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节幅频特性互为对应的不稳定环节也成立。12/25/202268=0=ReIm01振荡环节不稳定振荡环节Nyquist Diagram/n-360-270-180-90010.110()/(deg)-40-200L()/(dB)Bode Diagram-40dB/dec不稳定振荡环节振荡环

23、节第四章 频域分析法不稳定振荡环节：12/25/202269Bode Diagram0459013518001020()/(deg)L()/(dB)1/T (rad/sec)20dB/dec不稳定一阶微分环节一阶微分环节1-10ReIm=0=0=Nyquist Diagram一阶微分环节不稳定一阶微分环节第四章 频域分析法不稳定一阶微分环节：12/25/202270ReIm0=01二阶微分环节不稳定二阶微分环节Nyquist Diagram02040090180270360()/(deg)L()/(dB)10.110Bode Diagram40dB/dec二阶微分环节不稳定二阶微分环节第四章

24、频域分析法不稳定二阶微分环节：12/25/202271 最小相位环节与最小相位系统最小相位环节与最小相位系统极点和零点全部位于s左半平面的环节，与其对应的具有相同幅频特性、在s右半平面具有零点或(和)极点的“不稳定”环节相比，相频特性的绝对值最小，因此，称其为最小相位环节，而相应的在s 右半平面具有零点或(和)极点的“不稳定”环节称为非最小相位环节。延迟环节通常视为非最小相位环节。第四章 频域分析法12/25/202272极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。反之，称为非最小相位系统。易知，最小相位系统的相角变化范围一定小于相应的非最小相位系统的相角变化范围。显然，对于稳定的非最小

25、相位系统只存在位于s右半平面的零点。第四章 频域分析法例如：12/25/202273-180-900901801/T11/T2()/(deg)Ga(s)Gb(s)Gc(s)(rad/sec)第四章 频域分析法Bode证明：最小相位系统的幅频特性与相频特性存在唯一确定的关系。12/25/202274第四章 频域分析法l 系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制 基本步骤基本步骤q 将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式：q 求系统的频率特性：12/25/202275第四章 频域分析法即：q 求A(0)、(0)；A()、()q 补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根 据A()、()的

26、变化趋势，画出Nyquist 图 的大致形状。12/25/202276第四章 频域分析法 示例示例解解：q 例1：已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Nyquist图。12/25/202277第四章 频域分析法 0：A(0)K：A()0(0)0()2700ReImK=012/25/202278第四章 频域分析法解解：q 例2：已知系统的开环传递函数如下：绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。12/25/202279第四章 频域分析法 0：A(0)：A()0(0)90()270Nyquist图与实轴相交时：解得：（舍去）12/25/202280第四章 频域分析法又：解得：-7-1

27、.430ReIm012/25/202281第四章 频域分析法q 例3：已知系统的开环传递函数如下：绘制系统的开环Nyquist图。解解：12/25/202282第四章 频域分析法 0：A(0)(0)180：A()0()180 T1T2 时：()T2 时：()180ReIm000T1T212/25/202283第四章 频域分析法 Nyquist图的一般形状图的一般形状考虑如下系统：q 0型系统（v=0）0：A(0)K：A()0(0)0()(nm)9012/25/202284ReIm0Kn=1n=2n=3n=4只包含惯性环节的0型系统Nyquist图0第四章 频域分析法12/25/202285q

28、I型系统（v=1）0：(0)90()(nm)90A()0A(0)ReIm0n=2n=3n=40n=1第四章 频域分析法12/25/202286第四章 频域分析法q II型系统（v=2）：()(nm)90A()0 0：(0)180A(0)ReIm0n=2n=3n=4012/25/202287第四章 频域分析法q 开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起 自幅角为v90的无穷远处。q n=m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有 限远点，且止于实轴上的某一有限远点。q n m时，Nyquist曲线终点幅值为 0，而相 角为(nm)90。12/25/202288n-m=1n-m=2n-m=3

29、n-m=4ReIm0第四章 频域分析法q 不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞 后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节 的系统，由于相角非单调变化，Nyquist 曲线可能出现凹凸。12/25/202289作作业业4-10 已知系统开环传递函数如下，试概略绘 出Nyquist图。1）2）3）4）5）6）12/25/2022907）8）9）10）11）12）13）14）12/25/202291第四章 频域分析法l 系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制 考虑系统：12/25/202292第四章 频域分析法 例1已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Bode图。解解：易知系统开环包括了五个典

30、型环节：12/25/202293第四章 频域分析法转折频率：2=2 rad/s转折频率：4=0.5 rad/s转折频率：5=10 rad/s12/25/202294第四章 频域分析法开环对数幅频及相频特性为：12/25/202295第四章 频域分析法Bode Diagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100()/(deg)L()/(dB)(rad/sec)L1L2L3L4L5L()()12345-20dB/dec-40-20-60245=1012/25/202296第四章 频域分析法 Bode图特点q 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20v dB

31、/dec。q 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：当1 rad/s时，L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在1 rad/s时的数值等于20lgK。12/25/202297第四章 频域分析法q 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转 折点为各环节的转折频率。q 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前 转折频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下降 20dB/dec；振荡环节，下降 40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升 40dB/dec。12/25/202298第四章 频域

32、分析法 Bode图绘制步骤q 将开环传递函数表示为典型环节的串联：q 确定各环节的转折频率：并由小到大标示在对数频率轴上。12/25/202299第四章 频域分析法q 计算20lgK，在1 rad/s 处找到纵坐标等于 20lgK 的点，过该点作斜率等于-20v dB/dec 的直线，向左延长此线至所有环节的转折频 率之左，得到最低频段的渐近线。q 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折 频率改变一次渐近线斜率。q 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。q 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。12/25/2022100第四章 频域分析法 例2已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Bo

33、de图。解解：开环增益K100，20lgK4012/25/2022101第四章 频域分析法Bode Diagram-80-60-40-200204060-180-135-90-4504590 (rad/sec)()/(deg)L()/(dB)0.22201000-200-20-4012/25/2022102第四章 频域分析法l 传递函数的实验确定法传递函数的实验确定法 基本思路对待测系统，在感兴趣的频率范围内施加正弦激励信号，测量足够多频率上系统输出与输入的幅值比和相位差，绘制Bode图。根据Bode图的渐近线确定转折频率及各典型环节，得到系统的传递函数。12/25/2022103第四章 频域

34、分析法 由Bode图求系统的传递函数q 确定对数幅频特性的渐近线。用斜率为 0 dB/dec、20dB/dec、40dB/dec的直 线逼近实验曲线。q 根据低频段渐近线的斜率，确定系统包 含的积分（或微分）环节的个数。q 根据低频段渐近线或其延长线在 1 rad/s的分贝值，确定系统增益。12/25/2022104第四章 频域分析法注意到系统低频段渐近线可近似为：若系统含有积分环节，则该渐近线或其延长线与0dB线(频率轴)的交点为：即也可由该交点处的频率数值获得系统增益。若系统不含积分环节，低频渐近线为 20lgKdB的水平线，K 值可由该水平渐近线获得。12/25/2022105第四章 频

35、域分析法q 根据渐近线转折频率处斜率的变化，确 定对应的环节。若=1时，斜率变化20dB/dec，则对应环节为：若=2时，斜率变化40dB/dec，则对应环节为：12/25/2022106第四章 频域分析法二阶环节的阻尼比 根据实验曲线在转折频率处的峰值与的关系确定。q 获得系统的频率特性函数或传递函数。q 根据实验测得的相频特性曲线校验获得的 传递函数。若为最小相位系统，两相频特性应大致相符，并且在很低和很高频段上严格相符。12/25/2022107第四章 频域分析法若实验相频特性曲线在高频段（最高转折频率的10倍频程处）不等于(nm)90，则系统为非最小相位系统。若高频末端，由计算得到的相

36、位滞后比实验得到的相位滞后小180，则传递函数中一定有一个零点位于右半s平面。若高频末端，由计算得到的相位滞后与实验得到的相位滞后相差一个恒定的变化率，则系统必存在延迟环节。12/25/2022108第四章 频域分析法因为若：示例已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。求系统的传递函数。12/25/2022109第四章 频域分析法-200-20-40200.1120(rad/s)L()解解：系统低频段斜率为20dB/dec，v=1。注意到，(lg0.01，20)和(lg1，20lgK)两点位于斜率为20dB/dec的直线上。由：12/25/2022110第四章 频域分析法系统存在三个转

37、折频率：0.1、1和20rad/s。对应的典型环节分别为：综上所述，系统传递函数为：12/25/2022111第四章 频域分析法 几点说明q 通常幅值测量比相位测量准确；q 测量所用的正弦信号要求无谐波或波形畸 变；频率范围由待测系统的时间常数决定，时常数大的系统，频率范围通常在0.001 1000Hz左右。q 合适的正弦信号输入幅值；q 测量装置需有足够带宽，且不失真；q 可利用线性系统的叠加特性在线测量。12/25/2022112第四章 频域分析法4-10 试画出下列传递函数的Bode图。1）2）3）4）5）作作业业12/25/20221134-13 画出下列传递函数的Bode图并进行比较

38、。1）2）12/25/2022114第四章 频域分析法l 米哈伊洛夫稳定定理米哈伊洛夫稳定定理 四、频域稳定性判据 一阶系统特征方程：D(s)=s+p 0特征根：s=-p 0，系统稳定。D(s)可视为复平面上的向量。当变化时，D(j)的端点沿虚轴滑动，其相角相应发生变化。s-ps-ps+pReIm0在频域该向量为：D(j)=p+j12/25/2022115第四章 频域分析法由图易知，当由0变化到时，D(j)逆时针旋转90，即相角变化了/2。jReIm0D(j)-p-p若特征根为正实根，则当由0变化到时：12/25/2022116第四章 频域分析法 二阶系统-p1-p2ReIm012j+p1j+

39、p2-p1-p2ReIm012j+p1j+p2当由0变化到时：当由0变化到时：q 实根情形(1)12/25/2022117第四章 频域分析法q 共轭虚根情形(01时，N=1/2=q/2，系统闭环稳定。当K0的情形，即由 00+变化时，G(j)以幅值顺时针旋转v90。综上所述，对于包含积分环节的开环系统，对虚轴作上述处理后，绘制Nyquist图时需考虑由 00+变化时的轨迹。12/25/2022141第四章 频域分析法即按常规方法作出由 0+变化时的Nyquist曲线后，从G(j0)开始，以的半径顺时针补画v90 的圆弧(辅助线)得到完整的Nyquist曲线。显然，对于最小相位系统，由于：其辅助

40、线的起始点始终在无穷远的正实轴上。12/25/2022142第四章 频域分析法=0=0=0+ReIm0型系统=0=Re0=0+ImI型系统=0=Re0=0+ImII型系统12/25/2022143第四章 频域分析法对于非最小相位系统，辅助线的起始点则由其含有的不稳定环节的个数决定。偶数个时，起于正实轴，奇数个时起于负实轴。为作图方便，通常按由 0+0变化加辅助线，即从G(j0+)开始以的半径逆时针补画v90的圆弧。作出辅助线的Nyquist曲线方向仍然是0 0+。作出辅助线后，即可应用Nyquist判据判别系统的稳定性。12/25/2022144第四章 频域分析法q 例题 例1：单位反馈系统的

41、开环传递函数为应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。解解：开环 Nyquist曲线不包围(-1,j0)点，而q=0，因此，系统闭环稳定。=0=0=0+ReIm12/25/2022145第四章 频域分析法 例2：已知系统的开环传递函数为应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。解解：12/25/2022146第四章 频域分析法 0：A(0)K(0)270：A()0()270注意到：即T1T2 时，Nyquist曲线位于第一象限。12/25/2022147第四章 频域分析法T1T2=0=0=0+ReIm=0=0+由图可见，Nyquist曲线顺时针包围(-1,j0)点半次，而q1，系统闭环不

42、稳定。12/25/2022148第四章 频域分析法 Nyquist判据中“穿越”的概念q 穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)点左 边实轴时的情况。q 正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿 过-1 -段实轴。q 负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上穿 过-1 -段实轴。负穿越相当于Nyquist曲线 反向包围(-1,j0)点一圈。正穿越时，相角增加，相当于Nyquist曲线正向包围(-1,j0)点一圈。12/25/2022149第四章 频域分析法-1+0ReIm=0q=2Nyquist稳定判据：当由0变化到时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次

43、数之差等于q/2时（q 为系统开环右极点数），闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。易知，上图所示系统闭环稳定。12/25/2022150第四章 频域分析法 滞后系统的Nyquist稳定性分析考虑开环附加延迟环节的系统可见延迟环节不改变原系统的幅频特性，仅对相频特性有影响。12/25/2022151第四章 频域分析法例：单位反馈系统的开环传递函数利用Nyquist判据确定系统闭环稳定时K的范围。解解：12/25/2022152第四章 频域分析法令Q()=0，即：解得满足上式的最小正值为：j=3.431rad/s从而，Nyquist曲线与负实轴的交点为：12/25/2022153第四章 频域分析法令P(j)=1，得临界稳定时，-2-101234567-5-4-3-2-101=3.431=06.935=9.53=12/25/2022154第四章 频域分析法由图可见，对于不带延迟环节的一阶系统，对所有K值，闭环系统都稳定，而带有0.5秒延迟的一阶系统，当 K 6.935时，闭环系统不稳定。显然，延迟环节不利于系统稳定。12/25/2022155习题：4-14 4-15第四章 频域分析法12/25/2022156