《专题04 数列-2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题04 数列-2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）含答案.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 04 数列数列（新课标全国卷）1记nS为数列 na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：nSn为等差数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（新课标全国卷）2设等差数列 na的公差为d，且1d 令2nnnnba，记,nnS T分别为数列 ,nnab的前n项和(1)若2133333,21aaa ST，求 na的通项公式；(2)若 nb为等差数列，且999999ST，求d（新课标全国卷）3记nS为等比数列 na的前 n 项和，若45S ，6221SS，则8S
2、（）A120B85C85D120（新课标全国卷）4 已知 na为等差数列，6,2,nnnanba n为奇数为偶数，记nS，nT分别为数列 na，nb的前 n项和，432S，316T(1)求 na的通项公式；(2)证明：当5n 时，nnTS（全国乙卷数学（文）5记nS为等差数列 na的前n项和，已知21011,40aS(1)求 na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nT（全国乙卷数学（文）6已知等差数列 na的公差为23，集合*cosNnSa n，若,Sa b，则ab（）A1B12C0D12（全国乙卷数学（文）7已知 na为等比数列，24536a a aa a，9108a a，则7a _.（
3、全国甲卷数学（文）8记nS为等差数列 na的前n项和若264810,45aaa a，则5S（）专题04 数列-2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A25B22C20D15（全国甲卷数学（文）9记nS为等比数列 na的前n项和若6387SS，则 na的公比为_（全国甲卷数学（理）10已知正项等比数列 na中，11,naS为 na前 n 项和，5354SS，则4S（）A7B9C15D30（全国甲卷数学（理）11已知数列 na中，21a，设nS为 na前 n 项和，2nnSna(1)求 na的通项公式；(2)求数列12nna 的前 n 项和nT（新
4、高考天津卷）12已知 na为等比数列，nS为数列 na的前n项和，122nnaS，则4a的值为（）A3B18C54D152（新高考天津卷）13已知 na是等差数列，255316,4aaaa(1)求 na的通项公式和1212nniia(2)已知 nb为等比数列，对于任意*Nk，若1221kkn，则1knkbab，（）当2k 时，求证：2121kkkb；（）求 nb的通项公式及其前n项和1（2023陕西咸阳武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 na中，22a，当3n 时，1na，12na，2na成等差数列.若2022ak，那么352021aaa（）AkB1k C2kD2k 2（2023浙江温州
5、乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列 na的前 n 项和为nS，公比为 q，且11nnSa，则（）A12a B22S C1q D2q=3（2023河南洛阳模拟预测）已知等差数列 na的前n项和为nS，131,18aS，则 6S（）A54B71C80D814（2023江苏南通统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5 升，最大的三只茶壶容积之和为 2.5 升，则从小到大第 5 只茶壶的容积为（）A0.25 升B0.5 升C1 升D1.5 升更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君5（2023北京统考模拟预测）已知数列na满足sin2nnan，数列 nb满
6、足1nnnbaa，其中*nN，则数列 nb的前2023项和为（）A2025B2023C2D06（2023北京统考模拟预测）设 na是等比数列，则“2212aa a”是“na为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（2023河南校联考模拟预测）已知数列 na是等差数列，其前n项和为232345,4,7nS aSaaaa，则9S等于（）A63B632C45D4528（2023河南校联考模拟预测）数列 na是首项和公比均为 2 的等比数列，nS为数列 na的前n项和，则使不等式21223122222023nnnnS SS SS S成立的最小正整数n
7、的值是（）A8B9C10D119（2023广东东莞统考模拟预测）数列an满足112a，12nnaa，数列1na的前n项积为nT，则5T（）A18B116C132D16410（2023河南驻马店统考三模）在数列 na中，12211,9,3210nnnaaaaa，则 na的前n项和nS的最大值为（）A64B53C42D2511（2023陕西咸阳武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 na的前n项和为nS，当2n 时，11nnnnSSaS.(1)证明：数列1nS是等差数列；(2)若112a，数列2nnS的前n项和为nT，若21162nnmTn恒成立，求正整数m的最大值.12（2023广东东莞校考三
8、模）已知数列 na和 nb，12a，111nnba，12nnab.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)求证数列11na是等比数列；(2)求数列nnb的前n项和nT.13（2023河北衡水衡水市第二中学校考三模）已知数列 na的前n项和为nS，1122nnnSa(1)证明：12nna是等差数列；(2)求数列1nnaa的前n项积14（2023上海上海市七宝中学校考模拟预测）已知数列 na的前 n 项和为nS，12a，对任意的正整数n，点1(,)nnaS均在函数()f xx图像上(1)证明：数列 nS是等比数列；(2)证明：na中任何不同三项不构成等差数列15（2023广东佛山校考模拟预测）
9、如果数列 na对任意的*Nn，211nnnnaaaa，则称 na为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列 na的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列 na为“速增数列”，且任意项Zna，11a，23a，2023ka，求正整数k的最大值.16（2023四川模拟预测）在数列 na中，若121a，前n项和22nSnbn，则nS的最大值为_17（2023江西统考模拟预测）已知数列 na满足212nnnaa a，若141,93aa，则6a _18（2023湖北黄冈黄冈中学校考三模）已知数列 na满足：*111,2nnnaaanaN，若1111,6nnbnba，且数列 nb为递增数列，则实数
10、的取值范围为_19（2023河南开封校考模拟预测）已知数列 na满足11a，113nnnaa（*nN），若13nnnba，数列 nb的前n项和为nS，则20222022202243Sa_20（2023山东泰安统考模拟预测）数列 na的前n项和为nS，满足121nnSSn，且13S，则 na的通项公式是_更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 04 数列数列（新课标全国卷）1记nS为数列 na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：nSn为等差数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【详
11、解】方法 1，甲：na为等差数列，设其首项为1a，公差为d，则1111(1)1,222212nnnnSSSn nndddSnadadnannn，因此nSn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：nSn为等差数列，即111(1)1(1)(1)nnnnnnSSnSnSnaSnnn nn n为常数，设为t，即1(1)nnnaStn n，则1(1)nnSnat n n，有1(1)(1),2nnSnat n nn，两式相减得：1(1)2nnnananatn，即12nnaat，对1n 也成立，因此 na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法 2，甲：na为等差数列，设数列
12、na的首项1a，公差为d，即1(1)2nn nSnad，则11(1)222nSnddadnan，因此nSn为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：nSn为等差数列，即11,(1)1nnnSSSDSnDnnn，即1(1)nSnSn nD，11(1)(1)(2)nSnSnnD，当2n 时，上两式相减得：112(1)nnSSSnD，当1n 时，上式成立，于是12(1)naanD，又11122(1)2nnaaanDanDD为常数，因此 na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君故选：C（新课标全国卷）2设等差数列 na的公差为d，且1d 令2nn
13、nnba，记,nnS T分别为数列 ,nnab的前n项和(1)若2133333,21aaa ST，求 na的通项公式；(2)若 nb为等差数列，且999999ST，求d【答案】(1)3nan(2)5150d【详解】（1）21333aaa，132dad，解得1ad，32133()6ddSaa，又31232612923Tbbbdddd，339621STdd，即22730dd，解得3d 或12d（舍去），1(1)3naandn.（2）nb为等差数列，2132bbb，即21312212aaa，2323111616()daaa aa，即2211320aa dd，解得1ad或12ad，1d，0na，又99
14、9999ST，由等差数列性质知，5050999999ab，即50501ab，505025501aa，即2505025500aa，解得5051a或5050a（舍去）当12ad时，501495151aadd，解得1d，与1d 矛盾，无解；当1ad时，501495051aadd，解得5150d.综上，5150d.（新课标全国卷）3记nS为等比数列 na的前 n 项和，若45S ，6221SS，则8S（）A120B85C85D120【答案】C更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】方法一：设等比数列 na的公比为q，首项为1a，若1q，则611263 23SaaS，与题意不符，所以1q；由45S
15、 ，6221SS可得，41151aqq，6211112111aqaqqq，由可得，24121qq，解得：24q，所以8S 8411411151 168511aqaqqqq 故选：C方法二：设等比数列 na的公比为q，因为45S ，6221SS，所以1q ，否则40S，从而，2426486,S SS SS SS成等比数列，所以有，22225215SSS，解得：21S 或254S，当21S 时，2426486,S SS SS SS，即为81,4,16,21S，易知，82164S ，即885S ；当254S 时，2241234122110SaaaaaaqqS，与45S 矛盾，舍去故选：C（新课标全国
16、卷）4 已知 na为等差数列，6,2,nnnanba n为奇数为偶数，记nS，nT分别为数列 na，nb的前 n项和，432S，316T(1)求 na的通项公式；(2)证明：当5n 时，nnTS【答案】(1)23nan；(2)证明见解析.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，而6,21,N2,2nnnankbka nk，则112213316,222,626babaad baad，于是41314632441216SadTad，解得15,2ad，1(1)23naandn，所以数列 na的通项公式是23nan.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（2）方法 1：由（1）知，2(523)42nn
17、nSnn，23,21,N46,2nnnkbknnk，当n为偶数时，12(1)34661nnbbnnn，213(61)372222nnnTnn，当5n 时，22371()(4)(1)0222nnTSnnnnn n，因此nnTS，当n为奇数时，22113735(1)(1)4(1)652222nnnTTbnnnnn，当5n 时，22351(5)(4)(2)(5)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，所以当5n 时，nnTS.方法 2：由（1）知，2(523)42nnnSnn，23,21,N46,2nnnkbknnk，当n为偶数时，21312412(1)3144637()()222222nnnn
18、nnnTbbbbbbnn，当5n 时，22371()(4)(1)0222nnTSnnnnn n，因此nnTS，当n为奇数时，若3n，则132411231144(1)61()()2222nnnnnnnTbbbbbb 235522nn，显然111Tb 满足上式，因此当n为奇数时，235522nTnn，当5n 时，22351(5)(4)(2)(5)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，所以当5n 时，nnTS.（全国乙卷数学（文）5记nS为等差数列 na的前n项和，已知21011,40aS(1)求 na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nT【答案】(1)152nan(2)2214,7149
19、8,8nnnnTnnn【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得211011110 910402aadSad，即1111298adad，解得1132ad，所以1321152nann，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（2）因为213 152142nnnSnn，令1520nan，解得152n，且*nN，当7n 时，则0na，可得2121214nnnnTaaaaaaSnn；当8n 时，则0na，可得 121278nnnTaaaaaaaa 22277722 14 77141498nnSSSSSnnnn；综上所述：2214,71498,8nnnnTnnn.（全国乙卷数学（文）6已知等差数列 n
20、a的公差为23，集合*cosNnSa n，若,Sa b，则ab（）A1B12C0D12【答案】B【详解】依题意，等差数列na中，11222(1)()333naanna，显然函数122cos()33yna的周期为 3，而Nn，即cosna最多 3 个不同取值，又cos|N ,nana b，则在123cos,cos,cosaaa中，123coscoscosaaa或123coscoscosaaa，于是有2coscos()3，即有2()2,Z3kk，解得,Z3kk，所以Zk，241cos()cos()cos()cos coscos333332abkkkkk .故选：B（全国乙卷数学（文）7已知 na为
21、等比数列，24536a a aa a，9108a a，则7a _.【答案】2【详解】设 na的公比为0q q，则3252456aqaa q aa aa，显然0na，则24aq，即321a qq，则11a q，因为9108a a，则89118a qa q，则3315582qq ，则32q ，则55712aa q qq，故答案为：2.（全国甲卷数学（文）8记nS为等差数列 na的前n项和若264810,45aaa a，则5S（）A25B22C20D15【答案】C更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】方法一：设等差数列 na的公差为d，首项为1a，依题意可得，2611510aaadad，即1
22、35ad,又48113745a aadad，解得：11,2da，所以515 455 2 10202Sad 故选：C.方法二：264210aaa，4845a a，所以45a，89a，从而84184aad，于是345 14aad，所以53520Sa故选：C.（全国甲卷数学（文）9记nS为等比数列 na的前n项和若6387SS，则 na的公比为_【答案】12【详解】若1q，则由6387SS得118 67 3aa，则10a，不合题意.所以1q.当1q 时，因为6387SS，所以6311118711aqaqqq，即638 17 1qq，即3338 117 1qqq，即38 17q，解得12q .故答案为
23、：12（全国甲卷数学（理）10已知正项等比数列 na中，11,naS为 na前 n 项和，5354SS，则4S（）A7B9C15D30【答案】C【分析】根据题意列出关于q的方程,计算出q,即可求出4S.【详解】由题知234215 14qqqqqq,即34244qqqq,即32440qqq,即(2)(1)(2)0qqq.由题知0q,所以2q=.所以4124815S .更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君故选:C.（全国甲卷数学（理）11已知数列 na中，21a，设nS为 na前 n 项和，2nnSna(1)求 na的通项公式；(2)求数列12nna 的前 n 项和nT【答案】(1)1nan(2
24、)1222nnTn【详解】（1）因为2nnSna，当1n 时，112aa，即10a；当3n 时，332 13aa，即32a，当2n 时，1121nnSna，所以11221nnnnnSSanana，化简得：121nnnana，当3n 时，131122nnaaann，即1nan，当1,2,3n 时都满足上式，所以*1Nnann（2）因为122nnnan，所以12311111232222nnTn ，2311111112(1)22222nnnTnn ，两式相减得，123111111111222222111222211nnnnnnnT，11122nn，即1222nnTn，*Nn（新高考天津卷）12已知
25、na为等比数列，nS为数列 na的前n项和，122nnaS，则4a的值为（）A3B18C54D152【答案】C【详解】由题意可得：当1n 时，2122aa，即1122a qa，当2n 时，31222aaa，即211122a qaa q，联立可得12,3aq，则34154aa q.故选：C.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（新高考天津卷）13已知 na是等差数列，255316,4aaaa(1)求 na的通项公式和1212nniia(2)已知 nb为等比数列，对于任意*Nk，若1221kkn，则1knkbab，（）当2k 时，求证：2121kkkb；（）求 nb的通项公式及其前n项和【答案】
26、(1)21nan，112123 4nnniia；(2)()证明见解析；()2nnb，前n项和为122n.【详解】（1）由题意可得25153251624aaadaad，解得132ad，则数列 na的通项公式为1121naandn，求和得11121212112222122121nnnnnnnniiiiaii 11112 22122212nnnnn11112 221 223 42nnnnn.（2）()由题意可知，当1221kkn时，knba，取12kn，则1122 2121kkkkba ，即21kkb，当21221kkn时，nkab，取121kn，此时11212 21121kkknaa，据此可得21
27、kkb，综上可得：2121kkkb.()由()可知：123413,35,79,1517bbbb，据此猜测2nnb，否则，若数列的公比2q，则1111122nnnnbbqb，注意到112211 2nnn，则12210nn不恒成立，即1221nn不恒成立，此时无法保证21nnb，若数列的公比2q，则1111123 2nnnnbbqb，注意到113 22121nnn，则1210n不恒成立，即13 221nn不恒成立，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君此时无法保证21nnb，综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为2nnb，其前n项和为：121 2221 2nnnS.1（2023陕西咸阳武功县普集
28、高级中学校考模拟预测）已知数列 na中，22a，当3n 时，1na，12na，2na成等差数列.若2022ak，那么352021aaa（）AkB1k C2kD2k【答案】D【详解】当3n 时，1na，12na，2na成等差数列，则12nnnaaa，由于22a，则35202123520212022222aaaaaaaak，故选：D.2（2023浙江温州乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列 na的前 n 项和为nS，公比为 q，且11nnSa，则（）A12a B22S C1q D2q=【答案】D【详解】因为11nnSa，所以12231,1SaSa，所以121231,1aaaaa，所以21111
29、11,1aa qaa qa q，解得12,1qa，A 错误，C 错误，D 正确，所以23S，B 错误；故选：D.3（2023河南洛阳模拟预测）已知等差数列 na的前n项和为nS，131,18aS，则 6S（）A54B71C80D81【答案】D【详解】设等差数列 na的公差为d，因为131,18aS，可得1333318add，解得5d，所以166156 15 581Sad.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君故选：D.4（2023江苏南通统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5 升，最大的三只茶壶容积之和为 2.5 升，则从小到大第 5 只茶壶的容积为
30、（）A0.25 升B0.5 升C1 升D1.5 升【答案】B【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为129,a aa，由题意可得1237890.5,2.5aaaaaa，所以282828530.5,32.51,0.52aaaaaaa，故选：B5（2023北京统考模拟预测）已知数列na满足sin2nnan，数列 nb满足1nnnbaa，其中*nN，则数列 nb的前2023项和为（）A2025B2023C2D0【答案】A【详解】因为sin2nnan，所以1sin12a，220asin，333sin32a ，44sin20a，555sin52a，所以0,22sin,14N2,34nnknann nkk
31、n nk，所以122bb，342bb，562bb，202120222bb，202320232024202302023baa ，所以数列 nb的前2023项和为2025.故选：A.6（2023北京统考模拟预测）设 na是等比数列，则“2212aa a”是“na为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当20a 时，由2212aa a，得21aa，则 na不为递增数列；当 na为递增数列时，21aa，若20a，则2212aa a，所以“2212aa a”是“na为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D7（2023河南校联考模拟预
32、测）已知数列 na是等差数列，其前n项和为更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君232345,4,7nS aSaaaa，则9S等于（）A63B632C45D452【答案】D【详解】因为数列 na是等差数列，则23244aSa，可得21a，且234525522 17aaaaaaa，可得552a，所以954592Sa.故选：D.8（2023河南校联考模拟预测）数列 na是首项和公比均为 2 的等比数列，nS为数列 na的前n项和，则使不等式21223122222023nnnnS SS SS S成立的最小正整数n的值是（）A8B9C10D11【答案】B【详解】因为数列 na是首项和公比均为 2 的等
33、比数列，所以2nna，则122nnS，所以1121114 2121nnnnnS S，则211223122211214212023nnnnnS SS SS S，不等式整理得121222212023nnn，当8n 时，左边510511，右边10242023，显然不满足不等式；当9n 时，左边10221023，右边20482023，显然满足不等式；且当9n 时，左边1122121nn，右边2212023n，则不等式恒成立；故当不等式成立时n的最小值为 9.故选：B.9（2023广东东莞统考模拟预测）数列an满足112a，12nnaa，数列1na的前n项积为nT，则5T（）A18B116C132D16
34、4【答案】C更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】因为数列 na满足 a112，an+12an，易知0na，所以111112nnnnaaaa为常数，又112a，所以数列1na是以 2 为首项，公比为12的等比数列，所以12112()22nnna，所以5123451111111112 124832Taaaaa，故选：C10（2023河南驻马店统考三模）在数列 na中，12211,9,3210nnnaaaaa，则 na的前n项和nS的最大值为（）A64B53C42D25【答案】B【详解】由213210nnnaaa,得211210nnnnaaaa,令1nnnaab,所以1210nnbb,则1
35、10nb210nb,所以数列10nb 是以12121010baa为首项,2 为公比的等比数列,所以1102 22nnnb ,即210nnb ,即1102nnnaa,由12312132431102,102,102,102(2)nnnaaaaaaaan,将以上n1个等式两边相加得112 1 210(1)10281 2nnnaann,所以1027,2nnann,经检验11a 满足上式，故1027,nnan当3n 时,11020nnnaa,即 na单调递增,当4n 时,11020nnnaa,即 na单调递减,因为343410 327150,10 427170,aa 565610 527110,10 6
36、27aa 110,所以 na的前n项和nS的最大值为51 9 15 171153S ，故选：B11（2023陕西咸阳武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 na的前n项和为nS，当2n 时，11nnnnSSaS.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：数列1nS是等差数列；(2)若112a，数列2nnS的前n项和为nT，若21162nnmTn恒成立，求正整数m的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)8【详解】（1）由题意知，当2n 时，11nnnnSSaS，所以111nnnnnSSSSS，整理得：11nnnnS SSS，即1111nnSS，所以数列1nS是以 1 为公差的等差数列.
37、（2）由112a，由（1）知1nS是以 2 为首项、1 为公差的等差数列，所以11nnS，所以21 2nnnnS，所以212 23 221 2nnnTnn ，所以23122 23 221 2nnnTnn，-得23142221 2nnnTn，所以231142221 22nnnnTnn ，所以12nnTn.因为21162nnmTn，所以16mnn，由于168nn，当且仅当4n 时等号成立，故正整数m的最大值为 8.12（2023广东东莞校考三模）已知数列 na和 nb，12a，111nnba，12nnab.(1)求证数列11na是等比数列；(2)求数列nnb的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析
38、(2)2222nnnTnn【详解】（1）由12a，111nnba，12nnab得1211nnaa，整理得1111112nnaa，而111102a ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以数列11na是以12为首项，公比为12的等比数列（2）由（1）知111 1112 22nnna ，221nnna，1111221222122nnnnnnnnnnbannb，设212222nnnS，则2311122222nnnS，两式相减得2111111111122211222222212nnnnnnnnnS，从而222nnnS2222222nnnnnnTSnn.13（2023河北衡水衡水市第二中学校考三模）
39、已知数列 na的前n项和为nS，1122nnnSa(1)证明：12nna是等差数列；(2)求数列1nnaa的前n项积【答案】(1)证明见解析(2)122nn【详解】（1）由1122nnnSa，得11122nnnSa所以111122nnnnnSSaa，即111122nnnnaaa，整理得122nnnaa，上式两边同时除以2n，得11122nnnnaa又1122nnnSa，所以11112aa，即12a，所以12nna是首项为 2，公差为 1 的等差数列（2）由（1）知，121112nnann 所以112nnan更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以131112412321122222nnnnn
40、nnnnnaaaaaaanaaaaaaa14（2023上海上海市七宝中学校考模拟预测）已知数列 na的前 n 项和为nS，12a，对任意的正整数n，点1(,)nnaS均在函数()f xx图像上(1)证明：数列 nS是等比数列；(2)证明：na中任何不同三项不构成等差数列【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）点1(,)nnaS均在函数()f xx图像上，则11nnnnSaSS，故12nnSS，1120Sa，故 nS是首项为 2，公比为 2 的等比数列.（2）2nnS，故12,12,2nnnan，12aa，且从第二项起 na严格增，假设存在2mnp使得,mnpaa a成等差数列，则
41、1112 222nmp，即1212nmp m ，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立.故 na中任何不同三项不构成等差数列15（2023广东佛山校考模拟预测）如果数列 na对任意的*Nn，211nnnnaaaa，则称 na为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列 na的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列 na为“速增数列”，且任意项Zna，11a，23a，2023ka，求正整数k的最大值.【答案】(1)2nna（答案不唯一），证明见解析；(2)63【详解】（1）取2nna，则21121222nnnnnaa，11222nnnnnaa，因为122nn，所以211nnnnaaaa
42、，所以数列 2n是“递增数列”.（2）当2k 时，112211322023kkkkkaaaaaaaaaa，因为数列 na为“速增数列”，所以22213112kkkkaaaaaaaa，且Zna，所以 11232211132 1kkkkaaaaaaaaakk ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君即(1)2023,Z2k kk，当63k 时，(1)20162k k，当 64k 时，(1)20802k k，故正整数k的最大值为 63.16（2023四川模拟预测）在数列 na中，若121a，前n项和22nSnbn，则nS的最大值为_【答案】66【详解】2112 11Sab =21，解得23b，故22
43、23nSnn，属于二次函数，对称轴为235.754，故当5n 或6时取得最大值，252 523 565S ，262 623 666S ，65SS，故nS的最大值为 66.故答案为：66.17（2023江西统考模拟预测）已知数列 na满足212nnnaa a，若141,93aa，则6a _【答案】81【详解】因为212nnnaa a，所以 na为等比数列，设公比为q，又113a，49a，所以341aa q，解得3q，所以56181aa q.故答案为：8118（2023湖北黄冈黄冈中学校考三模）已知数列 na满足：*111,2nnnaaanaN，若1111,6nnbnba，且数列 nb为递增数列，
44、则实数的取值范围为_【答案】3【详解】因为*111,2nnnaaanaN，两边取倒数可得：1121nnaa，变形可得111121nnaa，所以数列11na是等比数列，且首项为1112a，公比为2，所以112nna，则1112nnnbnna，又16b，数列 nb为递增数列，所以21226bb，即5.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君当2n 时，1nnbb，即1212nnnn，解得13minn.所以实数的取值范围为3.故答案为:3.19（2023河南开封校考模拟预测）已知数列 na满足11a，113nnnaa（*nN），若13nnnba，数列 nb的前n项和为nS，则2022202220224
45、3Sa_【答案】2022【详解】由题意得：21123123333nnnnSbbbbaaaa LL，即2312333333nnnSaaaa L，两式相加得：2111223143333nnnnnnSaaaaaaaaL，数列 na满足11a，113nnnaa（*nN），所以1212111141 3333333nnnnnSa L，即43nnnSna，则43nnnSan，所以202220222022432022Sa，故答案为：2022.20（2023山东泰安统考模拟预测）数列 na的前n项和为nS，满足121nnSSn，且13S，则 na的通项公式是_【答案】13,121,2nnnan【详解】121nnSSn，112nnSnSn，且1120S ，112nnSnSn，nSn是以2为首项，2为公比的等比数列12 22nnnSn，2nnSn2n 时，1nnnaSS112(12)21nnnnn，且13a 不满足上式，所以13,121,2nnnan故答案为：13,121,2nnnan.