不等式高级水平必备.pdf

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1、第第 1 页页不等式高级水平必备不等式高级水平必备 目录目录 Ch1.伯努利不等式伯努利不等式 Ch2.均值不等式均值不等式 Ch3.幂均不等式幂均不等式 Ch4.柯西不等式柯西不等式 Ch5.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 Ch6.排序不等式排序不等式 Ch7.琴生不等式琴生不等式 Ch8.波波维奇亚不等式波波维奇亚不等式 Ch9.加权不等式加权不等式 Ch10.赫尔德不等式赫尔德不等式 Ch11.闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式 Ch12.牛顿不等式牛顿不等式 Ch13.麦克劳林不等式麦克劳林不等式 Ch14.定义多项式定义多项式 Ch15.舒尔不等式舒尔不等式 Ch16.定义序列定义序列

2、Ch17.缪尔海德不等式缪尔海德不等式 Ch18.卡拉玛塔不等式卡拉玛塔不等式 Ch19.单调函数不等式单调函数不等式 Ch20.个对称变量个对称变量法法 3pqrCh21.个对称变量个对称变量法法 3uvwCh22.法法 ABCCh23.法法 SOSCh24.法法 SMVCh25.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 Ch26.三角不等式三角不等式 Ch27.习题与习题解析习题与习题解析 1第第 2 页页 Ch1.伯努利不等式伯努利不等式 1.1 若实数（）各项符号相同，且，则：若实数（）各项符号相同，且，则：ixi1 2n,.,ix1 12n12n1x1x1x1xxx()().().1()式为伯努

3、利不等式式为伯努利不等式.1()当时，式变为：当时，式变为：12nxxxx.1()n1x1nx()2()Ch2.均值不等式均值不等式 2.1 若为正实数，记：若为正实数，记：12na aa,.,，为平方平均数，简称平方均值；，为平方平均数，简称平方均值；22212nnaaaQn.，为算术平均数，简称算术均值；，为算术平均数，简称算术均值；12nnaaaAn.，为几何平均数，简称几何均值；，为几何平均数，简称几何均值；nn12nGa aa.，为调和平均数，简称调和均值，为调和平均数，简称调和均值.n12nnH111aaa.则：则：nnnnQAGH3()时，等号成立时，等号成立.（注：当且仅当注：

4、当且仅当.）iff12naaa.iffifand only if 式称为均值不等式式称为均值不等式.3()Ch3.幂均不等式幂均不等式 3.1 设为正实数序列，实数，则记：设为正实数序列，实数，则记：12naa aa(,.,)r0 1rrrr12nraaaM an.()4()式的称为幂平均函数式的称为幂平均函数.4()rM a()3.2 若为正实数序列，且实数，则：若为正实数序列，且实数，则：12naa aa(,.,)r0 rsM aM a()()5()当时，式对任何 都成立，即关于 是单调递增函数当时，式对任何 都成立，即关于 是单调递增函数.rs 5()rrM a()r式称为幂平均不等式，

5、简称幂均不等式式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.5()3.3 设为非负实数序列，且，若为正设为非负实数序列，且，若为正12nmm mm(,.,)12nmmm1.12naa aa(,.,)实数序列，且实数，则：实数序列，且实数，则：r0 1第第 3 页页 1mrrrrr1122nnMam am am a()(.)6()式式称称为为加加权幂权幂平平均均函函数数.6()3.4 若若为为正正实实数数序序列列，且且实实数数，对对则则：12naa aa(,.,)r0 mrMa()mmrsMaMa()()即即：11rrrssssr1122nn1122nnm am am am am am a(.)(.)7(

6、)当当时时，式式对对任任何何 都都成成立立，即即关关于于 是是单调递单调递增增函函数数.rs 7()rmrMa()r式式称称为为加加权幂权幂平平均均不不等等式式，简简称称加加权幂权幂均均不不等等式式.7()Ch4.柯柯西西不不等等式式 4.1 若若和和均均为实为实数数，则则：12na aa,.,12nb bb,.,222222212n12n1122nnaaabbba ba ba b(.)(.)(.)8()时时，等等号号成成立立.（注注：当当且且仅仅当当.）iffn1212naaabbb.iffifand only if 式式为为柯柯西西不不等等式式.8()4.2 柯柯西西不不等等式式还还可可以

7、以表表示示为为：222222212n12n1122nnaaabbba ba ba bnnn.()()()9()简简称称：“平平方方均均值值两两乘乘积积，大大于于积积均均值值平平方方”我我们们将将简简称称为为积积均均值值，记记：.1122nna ba ba bn.1122nnna ba ba bDn.则则：，即即：224nnnQ aQ bD ab()()()nnnQ a Q bD ab()()()10()4.3 推推论论 1：若若为实为实数数，则则：a b c x y z,x y z0,2222n12n1212n12naaaaaabbbbbb(.).11()时时，等等号号成成立立.iffn121

8、2naaabbb.式式是是柯柯西西不不等等式式的的推推论论，称称权权方方和和不不等等式式.11()4.4 推推论论 2：若若和和均均为实为实数数，则则：12na aa,.,12nb bb,.,.(.)(.)222222221122nn12n12nabababaaabbb12()时时，等等号号成成立立.iffn1212naaabbb.4.5 推推论论 3：若若为为正正实实数数，则则：a b c x y z,1第第 4 页页 xyzbccaab3 abbccayzzxxy()()()()13()Ch5.切切比比雪雪夫夫不不等等式式 5.1 若若；，且且均均为实为实数数.则则：12naaa.12nb

9、bb.12n12n1122nnaaabbbn a ba ba b(.)(.)(.)14()或或时时，等等号号成成立立.iff12naaa.12nbbb.式式为为切切比比雪雪夫夫不不等等式式.12()由由于于有有，条条件件，即即序序列列同同调调，12naaa.12nbbb.所所以以使使用用时时，常常采采用用 WLOG12naaa.(注注：不不失失一一般般性性)WLOGWithoutLoss OfGenerality 5.2 切切比比雪雪夫夫不不等等式式常常常常表表示示为为：12n12n1122nnaaabbba ba ba bnnn.()()()15()简简称称：“切切比比雪雪夫夫同同调调数数，

10、均均值积值积小小积积均均值值”.即即：对对切切比比雪雪夫夫不不等等式式采采用用同同单调单调性性的的两两个个序序列列表表示示时时，两两个个序序列列数数的的均均值值之之积积不不大大于于两两个个序序列列数数各各积积之之均均值值.则则：2nnnA a A bD ab()()()即即：nnnA a A bD ab()()()16()Ch6.排排序序不不等等式式 6.1 若若；为实为实数数，对对于于的的任任何何轮换轮换，12naaa.12nbbb.12na aa(,.,)12nxxx(,.,)都都有有下下列列不不等等式式：1122nn1122nnn1n 121na ba ba bx bx bx ba ba

11、ba b.17()式式称称排排序序不不等等式式（也也称称重重排排不不等等式式）.17()其其中中，称称正正序序和和，称称反反序序和和，1122nna ba ba b.n1n 121na baba b.称称乱乱序序和和.故故式式可可记为记为：1122nnx bx bx b.17()正正序序和和乱乱序序和和反反序序和和 18()6.2 推推论论：若若为实为实数数，设设为为的的一一个个排排序序，则则：12na aa,.,12nxxx(,.,)12na aa(,.,)22212n1122nnaaaa xa xa x.19()Ch7.琴琴生生不不等等式式 7.1 定定义义凸凸函函数数：对对一一切切，若若

12、函函数数是是向向下下凸凸函函数数，则则：x ya b,0 1(,)fa bR:,1第第 5 页页 fx1yf x1f y()()()()20()式式是是向向下下凸凸函函数数的的定定义义式式.20()注注：表表示示区区间间和和函函数数在在区区间间都都是是实实数数.fa bR:,a b,f x()a b,7.2 若若对对任任意意，存存在在二二次次导导数数，则则在在区区间为间为向向fa bR:(,)xa b(,)fx0()f x()a b(,)下下凸凸函函数数；时时，若若，则则在在区区间为严间为严格格向向下下凸凸函函数数.iff xa b(,)fx0()f x()a b(,)7.3 若若在在区区间为

13、间为向向下下凸凸函函数数，则则函函数数在在在在区区间对间对12nfff,.,a b(,)1122nnc fc fc f.a b(,)任任何何也也是是向向下下凸凸函函数数.12nc cc0,.,(,)7.4 若若是是一一个个在在区区间间的的向向下下凸凸函函数数，设设，为实为实fa bR:(,)a b(,)nN 12n0 1,.,(,)数数，且且，则对则对任任何何，有有：12n1.12nxxxa b,.,(,)1122nn1122nnfxxxf xf xf x(.)()().()21()式式就就是是加加权权的的琴琴生生不不等等式式.21()简简称称：“对对于于向向下下凸凸函函数数，均均值值的的函函

14、数数值值不不大大于于函函数数的的均均值值”.Ch8.波波波波维维奇奇亚亚不不等等式式 8.1 若若是是一一个个在在区区间间的的向向下下凸凸函函数数，则对则对一一切切，有有：fa bR:,a b,x y za b,xyzf xf yf z2xyyzzxffff333222()()()()()()()22()式式就就是是波波波波维维奇奇亚亚不不等等式式.22()8.2 波波波波维维奇奇亚亚不不等等式式可可以以写写成成：xyzf xf yf zxyyzzxffff3322223()()()()()()()23()简简称称：“对对于于向向下下凸凸函函数数的的三三点点情情况况，三三点点均均值值的的函函数

15、数与与函函数数的的均均值值之之平平均均值值，不不小小于于两两点点均均值值的的函函数数值值之之平平均均值值”.8.3 若若是是一一个个在在区区间间的的向向下下凸凸函函数数，则则：fa bR:,a b,12na aaa b,.,12n12nf af af an n2 f an1f bf bf b()().()()()()()().()24()其其中中：，（对对所所有有的的）12naaaan.ijij1ban1 i式式是是普普遍遍的的波波波波维维奇奇亚亚不不等等式式.24()当当，时时，1ax 2ay 3az n3 xyza31yzb22zxb23xyb2代代入入式式得得：23()1第第 6 页页

16、xyzyzzxxyf xf yf z3 f2 fff3222()()()()()()()即即：xyzf xf yf z2xyyzzxffff333222()()()()()()()25()式式正正是是式式.25()22()Ch9.加加权权不不等等式式 9.1 若若，（），且且，则则：ia0(,)i0 1,i1 2n,.,12n1.n1212n1122nnaaaaaa.26()式式就就是是加加权权的的均均值值不不等等式式，简简称称加加权权不不等等式式.26()式式形形式式直直接接理理解解为为：几几何何均均值值不不大大于于算算术术均均值值.26()Ch10.赫赫尔尔德德不不等等式式 10.1 若若

17、实实数数，实实数数且且，则则：a b0,p q1,111pqpqababpq27()时时，等等号号成成立立.iffpqab 式式称称为为杨杨氏氏不不等等式式.27()10.2 若若和和为为正正实实数数，且且，则则：12na aa,.12nb bb,.p q1,111pq 11pppqqqpq1122nn12n12na ba ba baaabbb.(.)(.)28()式式称称为为赫赫尔尔德德不不等等式式.28()时时，等等号号成成立立.iffpppn12qqq12naaabbb.10.3 赫赫尔尔德德不不等等式式还还可可以以写写成成：11pppqqqpq1122nn12n12na ba ba b

18、aaabbbnnn.()()29()即即：，即即：2npqD abMa Mb()()()pqnMa MbD ab()()()30()简简称称：“幂幂均均值值的的几几何何均均值值不不小小于于积积均均值值”.（注注：赫赫尔尔德德与与切切比比雪雪夫夫的的不不同同点点：赫赫尔尔德德要要求求是是，切切比比雪雪夫夫要要求求是是同同调调；赫赫尔尔111pq 德德的的积积均均值值小小，切切比比雪雪夫夫的的积积均均值值大大.）10.4 若若、和和为为三三个个正正实实数数序序列列，且且，则则：12na aa,.12nb bb,.12nm mm,.p q1,111pq1第第 7 页页 11nnnpqpqiiiiii

19、ii 1i 1i 1a b ma mb m 31()式式称称为为加加权权赫赫尔尔德德不不等等式式.31()时时，等等号号成成立立.iffpppn12qqq12naaabbb.10.5 若若(;)，为为正正实实数数且且，则则：ijai1 2m,.,j1 2n,.,12n,.,.12n1 ()()jjmmnnijijj 1j 1i 1i 1aa 32()式式称称为为普普遍遍的的赫赫尔尔德德不不等等式式.32()10.6 推推论论：若若，则则：123a aaN,123b b bN,123c ccN,3333333333123123123111222333aaabbbccca b ca b ca b

20、c()()()()33()简简称称：“立立方方和和的的乘乘积积不不小小于于乘乘积积和和的的立立方方”.Ch11.闵闵可可夫夫斯斯基基不不等等式式 11.1 若若；为为正正实实数数，且且，则则：12na aa,.,12nb bb,.,p1 111nnnppppppiiiii 1i 1i 1abab()()()34()时时，等等号号成成立立.iffn1212naaabbb.式式称称为为第第一一闵闵可可夫夫斯斯基基不不等等式式.34()11.2 若若；为为正正实实数数，且且，则则：12na aa,.,12nb bb,.,p1 11nnnppppppiiiii 1i 1i 1abab()()()35(

21、)时时，等等号号成成立立.iffn1212naaabbb.式式称称为为第第二二闵闵可可夫夫斯斯基基不不等等式式.35()11.3 若若；为为三三个个正正实实数数序序列列，且且，则则：12na aa,.,12nb bb,.,12nm mm,.,p1 111nnnppppppiiiiiiii 1i 1i 1abma mb m()()()36()时时，等等号号成成立立.iffn1212naaabbb.式式称称为为第第三三闵闵可可夫夫斯斯基基不不等等式式.36()1第第 8 页页Ch12.牛顿不等式牛顿不等式 12.1 若为任意实数，考虑多项式：若为任意实数，考虑多项式：12na aa,.,nn 11

22、2n01n 1nP xxaxaxac xc xcxc()()().().37()的系数作为的函数可表达为：的系数作为的函数可表达为：01nc cc,.,12na aa,.,；0c1；112ncaaa.；（）；（）21213n 1nijca aa aaaa a.ijn；（）；（）3ijkca a a ijkn.n12nca aa.对每个，我们定义对每个，我们定义 k1 2n,.,kkkkncknkpcCn!()!38()则式类似于二项式定理，系数为：则式类似于二项式定理，系数为：.37()kknkcC p 12.2 若为正实数，则对每个有：若为正实数，则对每个有：12na aa,.,k1 2n1

23、,.,2k 1k 1kppp 39()时，等号成立时，等号成立.iff12kaaa.式称为牛顿不等式式称为牛顿不等式.39()Ch13.麦克劳林不等式麦克劳林不等式 13.1 若为正实数，按定义，则：若为正实数，按定义，则：12na aa,.,38()111kn212knpppp.40()时，等号成立时，等号成立.iff12kaaa.称麦克劳林不等式称麦克劳林不等式.40()Ch14.定义多项式定义多项式 14.1 若为正实数序列，并设为任意实数若为正实数序列，并设为任意实数.12nxxx,.,12n,.,记：；记：；n1212n12nF xxxxxx(,.,).为所有可能的积之和，遍及的所有

24、轮换为所有可能的积之和，遍及的所有轮换.12nT,.,12nF xxx(,.,)12n,.,14.2 举例说明举例说明 ：表示共有个参数的所有积之和，共有项：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第 个参数的指数是，第第 个参数的指数是，第T 1 0 0,336!11和第个参数的指数是和第个参数的指数是.230故：故：.,()!()()100100100T 1 0 031x y zy x zz y x2 xyz1第第 9 页页：表示共有个参数的所有积之和，共有项：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第 个和第个参数的指数第 个和第个参数的指数T 1 1,222!12是是.1故故：.,()!()1

25、1T 1 121x y2xy：表表示示共共有有个个参参数数的的所所有有积积之之和和，共共有有项项.第第 个个参参数数的的指指数数是是，第第T 1 2,222!112个个参参数数的的指指数数是是.2故故：.,()!()121222T 1 221x yy xxyx y：表表示示共共有有个个参参数数的的所所有有积积之之和和，共共有有项项.第第 个个参参数数的的指指数数是是，第第T 1 2 1,336!11个个参参数数的的指指数数是是，第第个个参参数数的的指指数数是是.2231故故：.,()222T 1 2 12 xy zx yzxyz即即：,T 1 2 1T 2 1 1 ：表表示示共共有有个个参参数

26、数的的所所有有积积之之和和，共共有有项项.第第 个个参参数数的的指指数数是是，第第T 2 1 0,336!12个个参参数数的的指指数数是是，第第个个参参数数的的指指数数是是.2130故故：.222222T 2 1 0 x yx zy xy zz xz y,：表表示示共共有有个个参参数数的的所所有有积积之之和和，共共有有项项.第第 个个参参数数的的指指数数是是，第第T 3 0 0,336!13个个和和第第个个参参数数的的指指数数是是.230故故：.333T 3 0 02 xyz,()：表表示示共共有有个个参参数数的的所所有有积积之之和和，共共有有项项.第第 个个参参数数的的指指数数是是，第第,T

27、 a b c336!1a个个参参数数的的指指数数是是，第第个个参参数数的的指指数数是是.2b3c故故：.,abcacbbcabaccabcbaT a b cx y zx y zx y zx y zx y zx y z由由于于表表达达式式比比较较多多，,.T a b cT b c aT c a bT c b aT b a c所所以以我我们规们规定定：（）.,T a b cabcCh15.舒舒尔尔不不等等式式 15.1 若若，且且，则则：R0 ,T20 0T2T0 ()41式式称称为为舒舒尔尔不不等等式式.()4115.2 解解析析式式()41；,()222T20 02 xyz；,()T2 x y

28、 zx y zx y z ,T0 xyx yyzy zx zxz 1第第 10 页页将上式代入式得：将上式代入式得：()41 222xyzx y zx y zx y z xyx yyzy zx zxz 即即：222yx y zzx yxzx y z yx yyzxyxz0zx z 即即：()()22xxy zx yx zyyx zx yy z()2zzx yy zx z0 即即：()()()()()()xxyxzyyzyxzzxzy0()42式式与与式式等等价价，称称为为舒舒尔尔不不等等式式.()42()4115.3 若若实实数数，设设，则则：,x y z0 tR ()()()()()()tt

29、txxyxzyyzyxzzx zy0()43 或或及及轮换轮换，等等号号成成立立.iffxyz,xy z0按按照照式式写写法法，即即：，则则：()41t1 ,T t2 0 0T t 1 12T t1 1 0()44式式是是我我们们最最常常见见的的舒舒尔尔不不等等式式形形式式.()4315.4 推推论论：设实设实数数，实实数数且且或或，则则：,x y z0,a b c0 abcabc ()()()()()()a xyxzb yzyxc zx zy0()45式式中中，就就得得到到式式.()43txa tyb tzc()4515.5 推推论论：设实设实数数，则则：,x y z0 ()()()3333

30、332223xyzxyz2 xyyzzx()4615.6 推推论论：若若，则对则对于于一一切切，有有：(,k0 3,a b cR ()()()2222k3kk abcabc2 abbcca()47Ch16.定定义义序序列列 16.1 设设存存在在两两个个序序列列和和，当当满满足足下下列列条条件件：()(,.,)ni i 112n ()(,.,)ni i 112n .12n12n 且且 .12n.12n .12s12s1第第 11 页页对一切，式都成立对一切，式都成立.,s1 n 则则：就就是是的的优优化化值值，记记作作：.()ni i 1 ()ni i 1 ()()ii注注：这这里里的的序序列

31、列只只有有定定性性的的比比较较，没没有有定定量量的的比比较较.Ch17.缪尔缪尔海海德德不不等等式式 17.1 若若为为非非负实负实数数序序列列，设设和和为为正正实实数数序序列列，且且，则则：,.,12nxxx()i()i()()ii iiTT()48 或或时时，等等号号成成立立.iff()()ii.12nxxx式式就就缪尔缪尔海海德德不不等等式式.()4817.2 解解析析式式()48若若实实数数，实实数数，且且满满足足，123aaa0 123bbb0 11ab 1212aabb ；设设，则则：满满足足序序列列条条件件，123123aaabbb,x y z0(,)(,)123123b bba

32、aa 则则：,333333121221211221bbbbbbbbbbbbbbbbbb123T b bbxy zxy zxy zxy zxy zxy z,333333121221211221aaaaaaaaaaaaaaaaaa123T aaaxyzxyzxy zxyzxy zxyz即即式式为为：()48,123123T b bbT aaa 用用通通俗俗的的方方法法表表达达即即：331212abaabbsymsymxyzxy z()49式式就就缪尔缪尔海海德德不不等等式式的的常常用用形形式式.()4917.3 例例题题：设设为为非非负变负变量量序序列列，考考虑虑和和.(,)x y z(,)2 2

33、 1(,)3 1 1由由 16.1 中中的的序序列列优优化化得得：(,)(,)2 2 13 1 1 由由缪尔缪尔海海德德不不等等式式式式得得：()48,T 2 2 1T 3 1 1 ,()22222 2T 2 2 12 x y zx yzxy z ,()333T 3 1 12 x yzxy zxyz将将代代入入得得：22222 2333x y zx yzxy zx yzxy zxyz即即：222xyyzzxxyz由由柯柯西西不不等等式式：()()()2222222xyzyzxxyyzzx即即：()()222 22xyzxyyzzx即即：222xyzxyyzzx式式式式等等价价，这这就就证证明明

34、了了式式是是成成立立的的，而而缪尔缪尔海海德德不不等等式式直直接接得得到到式式是是成成立立1第第 12 页页的的.式式可可以以用用来来表表示示，这这正正是是缪尔缪尔海海德德不不等等式式的的式式.,T 2 0 0T 1 1 0()48Ch18.卡卡拉拉玛玛塔塔不不等等式式 18.1 设设在在实实数数区区间间的的函函数数为为向向下下凸凸函函数数，且且当当（）两两个个序序列列IR f,iia bI,.,i1 2n 和和满满足足，则则：()ni i 1a()ni i 1b()()iiab ()().()()().()12n12nf af af af bf bf b()50式式称称为为卡卡拉拉玛玛塔塔不

35、不等等式式.()5018.2 若若函函数数为严为严格格向向下下凸凸函函数数，即即不不等等取取等等号号，且且，则则：f()()iiab()()iiab ()().()()().()12n12nf af af af bf bf b()51若若函函数数为严为严格格向向上上凸凸函函数数，则则卡卡拉拉玛玛塔塔不不等等式式反反向向.fCh19.单调单调函函数数不不等等式式 19.1 若若实实数数函函数数在在区区间间对对一一切切为单调为单调增增函函数数，则则当当:(,)fa bR(,)a b,(,)x ya b xy 时时，有有；若若在在区区间间对对一一切切为严为严格格单调单调增增函函数数，当当()()f

36、xf y f(,)a b,(,)x ya b xy 时时，有有.()()f xf y 19.2 若若实实数数函函数数在在区区间间对对一一切切为单调为单调减减函函数数，则则当当:(,)fa bR(,)a b,(,)x ya b xy 时时，有有；若若在在区区间间对对一一切切为严为严格格单调单调减减函函数数，当当()()f xf y f(,)a b,(,)x ya b xy 时时，有有.()()f xf y 19.3 若若实实数数函函数数在在区区间间为为可可导导函函数数，当当对对一一切切，则则:(,)fa bR(,)a b(,)xa b()fx0 在在区区间间为单调递为单调递增增函函数数；当当对对

37、一一切切，则则在在区区间间为为f(,)a b(,)xa b()fx0 f(,)a b单调递单调递减减函函数数.19.4 设设两两个个函函数数和和满满足足下下列列条条件件：:,fa bR:,ga bR 函函数数和和在在区区间间是是连续连续的的，且且；fg,a b()()f ag a 函函数数和和在在区区间间可可导导；fg,a b 导导数数对对一一切切成成立立，()()fxgx(,)xa b 则对则对一一切切有有：(,)xa b()()f xg x()52式式就就是是单调单调函函数数不不等等式式.()52Ch20.个个对对称称变变量量法法 3pqr20.1 设设，对对于于具具有有变变量量对对称称形

38、形式式的的不不等等式式，采采用用下下列列变变量量代代换换：,x y zR ；，则则.pxyzqxyyzzxrxyz,p q rR 1第第 13 页页代换后的不等式，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法代换后的不等式，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法(,)f p q r称为称为法法.pqr20.2 常常用用的的代代换换如如下下：22cycxp2q ()32cycxp p3q3r 222cycx yq2pr ()()()xyyzzxpqr ()()2cycxyyzpq ()cycxy xypq3r ()()()1x 1y 1z1pqr ()()cyc1x 1y32p

39、q ()()2cyccycxyzxy xypq3r20.3 常常用用的的法法的的不不等等式式 pqr若若，则则：,x y z0 3pqr4 pq pq9r 2p3q 3p27r 32q27r 2q3pr 32p9r7 pq 322p9r7 pqr 22p q3pr4qCh21.个个对对称称变变量量法法 3uvw1第第 14 页页21.1 在的不等式中，采用下列变量代换：在的不等式中，采用下列变量代换：,a b cR；.3uabc23vabbcca3wabc 上上述述变换强变换强烈烈含含有有“平平均均”的的意意味味：对应对应“算算术术平平均均值值”；对应对应“积积均均值值”；对应对应“几几何何平

40、平均均值值”.uvw21.2 当当时时，则则：,a b c0 uvw()53式式称称为为傻傻瓜瓜不不等等式式.()53即即：“算算术术平平均均值值”“积积均均值值”“几几何何平平均均值值”.21.3 若若，则则 ,a b c0,23u vw0()54式式称称为为正正值值定定理理.()5421.4 若若，任任给给，则则当当且且仅仅当当，,23u vwR,a b cR 22uv 且且时时，(),()32322 32322 3w3uv2u2uv3uv2u2uv则则：，等等式式成成立立.3uabc23vabbcca3wabc 这这称称为为定定理理.uvwCh22.法法 ABC22.1 法法即即 ABC

41、Abstract Concreteness Method设设；.pxyzqxyyzzxrxyz 则则函函数数变换为变换为.(,)f x y z(,)f r q p这这与与 Ch20.个个对对称称变变量量法法类类似似.3pqr22.2 若若函函数数是是单调单调的的，则则当当时时，达达到到极极值值.(,)f r q p()()()xyyz zx0(,)f r q p22.3 若若函函数数是是凸凸函函数数，则则当当时时，达达到到极极值值.(,)f r q p()()()xyyz zx0(,)f r q p22.4 若若函函数数是是 的的线线性性函函数数，则则当当时时，达达到到极极值值.(,)f r

42、q pr()()()xyyz zx0(,)f r q p22.5 若若函函数数是是 的的二二次次三三项项式式，则则当当时时，达达到到极极(,)f r q pr()()()xyyz zx0 (,)f r q p值值.Ch23.法法 SOS23.1 法法即即 SOSSum OfSquares23.2 本本法法的的全全部部思思想想是是将将给给出出的的不不等等式式改改写写成成以以下下形形式式：()()()222abcSSbcSacSab()551第第 15 页页其中，分别都是的函数其中，分别都是的函数.,abcSSS,a b c 若若，则则；,abcSSS0 S0 若若或或，且且，则则；abcabc,

43、bbabcSSSSS0S0 若若或或，且且，则则；abcabc,acabcbSSS2SS2S0S0 若若，且且，则则；abc,22bcbaSSa Sb S0S0 若若或或或或，且且，则则.abSS0bcSS0caSS0abbccaS SS SS S0S0 23.3 常常用用的的形形式式 ()22cyccyccyc1aabab2 ()32cyccyccyc1a3abcaab2 ()223cyccyccyc1a babab3 ()()322cyccyccyc1aa b2ab ab3 ()333cyccyccyccyc1a bababa3 ()()42 222cyccyccycaa b2ababCh

44、24.法法 SMV24.1 法法即即 SMVStrongMixing Variables Method本本法法对对多多于于个个变变量量的的对对称称不不等等式式非非常常有有用用.224.2 设设为为任任意意实实数数序序列列，(,.,)12nxxx 选择选择使使，；,.,i j1 2n min,.,i12nxxxx max,.,j12nxxxx 用用其其平平均均数数代代替替和和，经过经过多多次次代代换换后后各各项项（）都都趋趋于于相相同同的的ijxx2 ixjxix,.,i1 2n 极极限限.12nxxxxn24.3 设实设实数数空空间间的的函函数数是是一一个个对对称称的的连续连续函函数数，满满足

45、足 F (,.,)(,.,)12n12nF aaaF b bb()561第第 16 页页其中，序列是由序列经过预定义变换而得到的其中，序列是由序列经过预定义变换而得到的.(,.,)12nb bb(,.,)12naaa预预定定义变换义变换可可根根据据当当前前的的题题目目灵灵活活采采用用，如如，等等等等.ab2 ab22ab2 24.4 例例题说题说明明 例例题题：设实设实数数，证证明明：.,a b c0 abc3bccaab2解解析析：采采用用法法.SMV设设：(,)abcf a b cbccaab则则：(,)ttc2tcf t t ctccttttc2t其其中中，.abt2由由得得：(,)()

46、()2tc112tct113f t t c2tc2t22tc2t222由由式式得得：证毕证毕.()56(,)(,)3f a b cf t t c2Ch25.拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 25.1 设设函函数数在在实实数数空空间间的的连续连续可可导导，且且，其其中中（(,.,)12nf xxxIR(,.,)i12ngxxx0），即即有有个个约约束束条条件件，则则的的极极值值出出现现在在区区间间的的边边界界或或偏偏,.i1 2k k(,.,)12nf xxxI导导数数（函函数数为为）全全部部为为零零的的点点上上.kiii 1Lfg 这这就就是是拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法.Ch26.三三角角不不等

47、等式式 26.1 设设，且且，则则就就是是同同一一个个三三角角形形的的内内角角.,(,)0 ,26.2 若若为为同同一一个个三三角角形形的的内内角角，则则有有下下列列不不等等式式：,；sinsinsin3 32；coscoscos32；sinsinsin3 381第第 17 页页；coscoscos18；sinsinsin22294；coscoscos22234（锐锐角角三三角角形形）；tantantan3 3；cotcotcot3；sinsinsin32222；coscoscos3 32222；sinsinsin12228；coscoscos3 32228；sinsinsin22232224

48、；coscoscos22292224；tantantan3222.cotcotcot3 3222Ch27.习题习题 27.1 设设，求求证证：.,.,(,12nxxx0 1()().()321111xxxn12n1x1x1x227.2 设设，且且，求求证证：.,.,12nxxx0.12n1xxx2()().()12n11x1x1x227.3 设设，且且，求求证证：.,.,12na aaR .1 2na aa1.12n12naaaaaa27.4 设设，且且，求求证证：.,a b c0 abc1 333abcabbcca27.5 设设，求求证证：.,a b c d0 abcd2b2c3dc2d3a

49、d2a3ba2b3c31第第 18 页页27.6 设，求证：设，求证：.,a b c0 222abcbcacababcbccaab27.7 设，求证：设，求证：.,a b0 nN()()nnn 1ab112ba 27.8 设，且，若，求设，且，若，求,.,12nxxxR .22212nxxx1nN n2 (,.,).()()()555n1212nnnni1i2ini 1i 1i 1xxxf xxxxxxxxx的最小值的最小值.27.9 设，且，求证：设，且，求证：.,a b cR abcabc222111321a1b1c27.10 设，求证：设，求证：.,a b cR()()()2222223

50、 2a1bb1cc1a227.11 设，且设，且,求证：求证：.,a b cR abbcca3()()()2221a1b1c827.12 设，且，求证：设，且，求证：.,a b c0 abc1()()3332226 abc15 abc27.13 设，且，求证：设，且，求证：.,a b c0 abc2444333abcabcabc27.14 设，求证：设，求证：.,a b c0()()()()3333338 abcabbcca27.15 设，求证：设，求证：.,a b c0()33331abcabcabc727.16 设，且，求证：设，且，求证：.,a b c0 abc12224abc3abc9