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1、第第1 1页页不等式基础必备不等式基础必备1 1、均值定理均值定理：nnnnQAGH（当且仅当（当且仅当.12naaa时取等号）时取等号）注解注解：nQ平方平均值：平方平均值：.22212nnaaaQn；nA算术平均值：算术平均值：.12nnaaaAn；nG几何平均值：几何平均值：.nn1 2nGa aa；nH调和平均值：调和平均值：.n12nnH111aaa；即：；即：.n12nn111Haaa其中，其中，,.12naaa0 例如例如：1a1，2a2，求，求nQ、nA、nG、nH，并比较它们的大小，并比较它们的大小.解：解：.22n125Q1 622；.n12A1 52；.2nG1 221
2、4；.n224H1 311213122 可见：有可见：有nnnnQAGH从大到小的顺序是：从大到小的顺序是：平方算术，几何调和平方算术，几何调和2 2、指数不等式指数不等式：xe1x（当且仅当（当且仅当x0 时取等号）时取等号）注解注解：由于要求不等式右边由于要求不等式右边1x0 ，故：，故：x1 记忆方法见函数图记忆方法见函数图.曲线曲线xye 在在xR 区间都处在直线区间都处在直线y1x的上方，仅在的上方，仅在x0 处相切处相切.即：即：xe1x，当且仅当当且仅当x0 时取等号时取等号.例如例如：x1 时，左边时，左边.xe2 718，右边，右边1x2 Oxyxye y1x第第2 2页页故
3、：故：xe1x3 3、对数不等式对数不等式：ln xx1 （当且仅当（当且仅当x1 时取等号）时取等号）注解注解：由于由于0和负数没有对数，所以：和负数没有对数，所以：x0 记忆方法见函数图记忆方法见函数图.曲线曲线lnyx 在在x0 区间都处在直线区间都处在直线yx1的下方，仅在的下方，仅在x1 处相切处相切.即：即：ln xx1 ，当且仅当当且仅当x1 时取等号时取等号也可以由也可以由xe1x得：得：y 1ey 两边取对数：两边取对数：lny1y，即：，即：ln xx1 例如例如：xe 时，左边时，左边lnlnxe1 ，右边，右边.x1e11 7181 ，故：，故：ln xx1 著名的对数
4、不等式著名的对数不等式是：是：x1xx1xln()(x1 )4 4、柯西不等式柯西不等式：(.)(.)(.)222222212n12n1 12 2n naaabbba ba ba b（当且仅当（当且仅当.n1212naaabbb时取等号）时取等号）注解注解：设向量设向量(,.,)12nAaaa，向量，向量(,.,)12nBb bb，其中：其中：,.12na aa为为A在正交系中的各分量；在正交系中的各分量；,.12nb bb为为B正交系中的各分量正交系中的各分量.则则.222212nAaaa，.222212nBbbb，.1 12 2n nA Ba ba ba b由向量公式：由向量公式：cos,
5、A BA BA B得：得：A BA B两边自乘得：两边自乘得：()222ABA B将上面的结果代入得：将上面的结果代入得：(.)(.)(.)222222212n12n1 12 2n naaabbba ba ba bOxylnyx yx1第第3 3页页这正是这正是柯西不等式柯西不等式.例如例如：1a1，2a2，1b3，2b4 则：则：21a1，22a4，()2212aa5；21b9，22b16，()2212bb25；()()22221212aabb525125；1 1a b3，2 2a b8，()221 12 2a ba b11121.()()22221212aabb125121故：故：()()
6、()2222212121 12 2aabba ba b5 5、琴生不等式琴生不等式：注解注解：设在设在,xa b 区间区间()f x为上凸函数，如图为上凸函数，如图即即()f x的二次导数的二次导数()fx0，则：则：()()()f af babf22 图中，图中，A点为均值的函数值，点为均值的函数值，B点为函数的均值点为函数的均值.即即：对于上凸函数对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值函数的均值不大于均值的函数值.设在设在,xa b 区间区间()f x为下凸函数，如图为下凸函数，如图即即()f x的二次导数的二次导数()fx0，则：则：()()()f af babf22 图中，图中，A
7、点为均值的函数值，点为均值的函数值，B点为函数的均值点为函数的均值.即即：对于下凸函数对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值函数的均值不小于均值的函数值.上面的上面的式，称为式，称为琴生不等式琴生不等式.例如例如：对于函数：对于函数()sinf xx，在，在,x0 区间为上凸函数，区间为上凸函数，OabABOabAB第第4 4页页因为因为()cosfxx，()sinfxx0 （,x0 ）故：故：()sinf xx 在在,x0 区间为上凸函数区间为上凸函数.此时，此时，a0，b ，则，则ab22 ()()f af 00，()()f bf0 即：即：()()f af b00022；而而()()
8、abff122 .故：故：()()()f af babf22 例如例如：二次函数：二次函数()2f xx2x1因为因为()fx2x2，()fx20所以所以()f x下凸函数下凸函数.在在,x0 2 区间有：区间有：()f 01，()f 21，()f 10 即：即：()()f 0f 212 ，()()02ff 102 故：故：()()()f 0f 202f22 其实，在其实，在xR 区间，都满足区间，都满足()()()f af babf22 推广为一般形式推广为一般形式对于对于(,)xa b 的上凸函数，即的上凸函数，即:()fx0，有：，有：()().().()12n12nf xf xf xx
9、xxfnn（,.,(,)12nxxxa b）对于对于(,)xa b 的下凸函数，即的下凸函数，即:()fx0，有：，有：()().().()12n12nf xf xf xxxxfnn（,.,(,)12nxxxa b）这就是这就是琴生不等式琴生不等式.OBA AO12第第5 5页页注意不等号的方向与二次导数的方向一致注意不等号的方向与二次导数的方向一致.6 6、伯努利不等式伯努利不等式：()n1x1nx（x1 ）注解注解：由二项式定理得：由二项式定理得：().()n0122nnnnnn1xCC xC xC x1nxg x在在x1 时，时，()g x0，即：，即：()n1x1nx（仅当（仅当n1
10、时取等号）时取等号）例如例如：当：当x1，n2 时，左边时，左边()()n21x114，右边，右边1nx1213 故：故：()n1x1nx7 7、向量不等式向量不等式：向量三角形：向量三角形：abab和和 abab 向量点乘：向量点乘：a ba b注解注解：由由a，b，ab 构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得.由由a，b，ab 构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得；构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得；由向量积的公式得：由向量积的公式得：cos,a ba ba ba b，即：，即：a ba b；若若(,)123aa aa，(,)12
11、3bb b b，则：，则：112233a ba ba ba b上面这几种基本不等式的简单记忆方法：上面这几种基本不等式的简单记忆方法：均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；柯西琴生伯努利，向量三角点乘积柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.上述不等式的解法统称上述不等式的解法统称“公式法公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的尽量使用的尽量使用.不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不等式上述不等式.二、求不等式的
12、基本方法二、求不等式的基本方法1 1、作差法作差法：将比较的两对象相减后，其差与将比较的两对象相减后，其差与0比较大小的方法比较大小的方法.注解注解：最常用的是构建函数法最常用的是构建函数法.例如，证明例如，证明()()f xg x，则构建，则构建()()()h xf xg x第第6 6页页2 2、作商法作商法：将比较的两正数对象相比后，其商与将比较的两正数对象相比后，其商与1比较大小的方法比较大小的方法.注解注解：例如例如，()f x0，()g x0，证明，证明()()f xg x.将其变形为将其变形为()()f xg x与与1比大小比大小.3 3、公式法公式法：用前面不等式的公式得到结果的
13、方法用前面不等式的公式得到结果的方法.注解注解：即均值定理、柯西不等式等即均值定理、柯西不等式等.4 4、单调性法单调性法：利用函数在某区间的单调性得出大小的方法利用函数在某区间的单调性得出大小的方法.注解注解：例如例如，函数，函数()f x在区间在区间,xa b 单调递增，则有：单调递增，则有：()()f xf a，()()f xf b.5 5、放缩法放缩法：由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小者变得更小；从而使问题得到解决的方法者变得更小；从而使问题得到解决的方法.注解注解：例如例如，n0，原本，原
14、本22nn，将右边减小变为，将右边减小变为()2nn n1式就是放缩法的结果式就是放缩法的结果.6 6、判别式法判别式法：如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：有解的条件是：判别式判别式0 .这里就自然出现了不等式这里就自然出现了不等式.注解注解：本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式.7 7、换元法换元法：将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化.注解注解：特别
15、是三角换元法特别是三角换元法.因为三角函数本身有界因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式所以自然就有不等式.此法要求常此法要求常用的三角恒等式必须熟悉用的三角恒等式必须熟悉.8 8、裂项相消法裂项相消法：将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法而得到简明结果的方法.注解注解：例如例如，在放缩法中的，在放缩法中的式，进一步得：式，进一步得：()21111nn n1n1n第第7 7页页这样，如果是求和这样，如果是求和n2k 11k ，则可得结果：，则可得结果：()()nnn22k 1k 2k 21
16、1111111112kkk1knn 其中的其中的()111n n1n1n是裂项是裂项.在求和过程中，好多项相互抵消在求和过程中，好多项相互抵消()()().()nk 21111111111k1k1223n1nn 9 9、倒序相加法倒序相加法：将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法.注解注解：例如例如，求，求.nS123n.其倒序后为：其倒序后为：().nSnn121.这两个式子按序相加后得：这两个式子按序相加后得：()().()n2S1n2n1n1其中，每个圆括号内的值都是其中，每个圆括号内的值都是()n1，共有，共
17、有n项项.故结果是：故结果是：()n2Sn n1，即：，即：()nn n1S2 1010、极值法极值法（最值法最值法）：求出函数求出函数()f x在某个区间的极值在某个区间的极值，加上边界值找出最值加上边界值找出最值，那么那么函数的最值就是出现不等式的方法函数的最值就是出现不等式的方法.注解注解：函数函数()f x在在xR 区间的最大值是区间的最大值是8，则有，则有()f x8 1111、积分法积分法：积分实际上是求和积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法是简化求和运算的一种方法.如果函数是单调的如果函数是单调的，函函数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号数的每一小区间内就会
18、出现不等号，求和后依然存在不等号.注解注解：积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量.上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：作差与作差与 0 0 比大小，作商与比大小，作商与 1 1 比高下；比高下；套用公式得结果，单调放缩有小大；套用公式得结果，单调放缩有小大；二次函数过零点，判别式与换元法；二次函数过零点，判别式与换元法；第第8 8页页倒序相加来求和，裂项相消去简化；倒序相加来求和，裂项相消去简化；极值最值亦可得，单调积分好方法极值最值亦可得，单调积分好方法.更进一步的内容参见后面附更进一步的内容
19、参见后面附：不等式中级水平必备不等式中级水平必备.例题例题 11 已知：已知：,a b0，*nN，n2，求证：，求证：()nnnabab22 证明证明：均值定理均值定理：nnAG()().()().()nnnnnnnnnnnnnn 1n 1abababababan a22222 即：即：()()()()n 1nnnnnnnn 1nnabababan1nana222 同理：同理：()()()n 1nnnnnnababbn1nb22 由由两式相加得：两式相加得：()()()()()n 1nnnnnnnababn1 abn ab2 即：即：()()()n 1nnnnnababab2n2n222 ，即
20、：，即：()()()n 1nnnnnababab222 即：即：()()()nnnnnnn 1ababab222 ，即：，即：()nnnabab22 琴生不等式琴生不等式构建函数：构建函数：()nf xx（x0）则：则：()n 1fxnx ，()()n 2fxn n1 x0 代入琴生不等式代入琴生不等式()()()f af babf22 得：得：()nnnabab22 权方和不等式权方和不等式权方和不等式：若（权方和不等式：若（a0，b0，m0 或或m1 ）第第9 9页页则：则：m 1nkm 1nk 1kmmnk 1kkk 1aabb 这就是权方和不等式，它是柯西不等式的推论这就是权方和不等式
21、，它是柯西不等式的推论.本题：本题：nnnnn1111n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1ababa b22222()()()()nnnnn11nn1n 1n 1n 1n 1n 1n 1a ba ba ba ba b222 222()()()()()()()例题例题 22 不等式不等式x1x25的解集为（的解集为（）.解析解析：首先将区间按绝对值内各项变号点来分段首先将区间按绝对值内各项变号点来分段.绝对值绝对值x1 内的变号点为内的变号点为x10 ，即：，即：1x1 绝对值绝对值x2 内的变号点为内的变号点为x20 ，即：，即：2x2 于是，整个实数区间被这两个点分成了于是，整个实数区
22、间被这两个点分成了3段，即：段，即：2(,)，2 1,)，1,)在在2(,)区间：区间：x10 ，x20 ，即：即：x1x1()，x2x2()，代入代入x1x25得：得：x1x25()()，即：即：2x15 ，即：，即：2x6 ，即：，即：x3 x3 满足区间满足区间2(,)要求，故：要求，故：(,x3 在在2 1,)区间：区间：x10 ，x20 ，即：即：x1x1()，x2x2()代入代入x1x25得：得：x1x25()()，即：即：35.不满足不等式区间要求，即不满足不等式区间要求，即本区间无解本区间无解.在在1,)区间：区间：x10 ，x20 ，代入代入x1x25得：得：x1x25()(
23、)，即：即：2x15 ，即：，即：2x4，即：，即：x2 x2 满足区间满足区间1,)要求，故：要求，故：,)x2第第1010页页综上，本题的解集为综上，本题的解集为32(,).本题答案本题答案(,)32 .附：附：不等式中级水平必备不等式中级水平必备(修正版修正版)-tobeenough)-tobeenough一、幂平均不等式一、幂平均不等式1 1、幂平均函数幂平均函数：设设,.,12nxxx0，则，则幂平均函数幂平均函数定义为：定义为：().n12nM 0 x xx；()1.()1rrrr12nxxxM rn ()2()1()2这两个式子称为这两个式子称为幂平均函数幂平均函数.2 2、幂平
24、均不等式幂平均不等式：幂平均函数在实数空间是连续且单调递增的幂平均函数在实数空间是连续且单调递增的.利用其增减性得到的不等式称为利用其增减性得到的不等式称为幂平均不等式幂平均不等式.3 3、在在r0 点的证明点的证明：设函数设函数.()lnrrr12nxxxf rn 则：则：lnln.ln().rrr1122nnrrr12nxxxxxxfrxxx 于是：于是：lnln.lnln(.)()ln.0001122nn12nn12n00012nxxxxxxx xxf0 x xxnxxx即：即：ln.().n12nx xxf0n12neex xx而：而：.()1rrrr12nxxxM rn 则：则：.(
25、)ln()lnrrr12nxxx1f rM rrnr故：故：()()()ln()lim ln()limlim()r0r0r0f rf rf 0M 0M rf0rr0 则：则：()()f0M 0e 第第1111页页将将代入代入得：得：().n12nM 0 x xx.()1式证毕式证毕.二、幂平均不等式的推论二、幂平均不等式的推论1 1、调和平均值调和平均值在在r1 点：点：由由()2式得：式得：.().111112nn11112nxxxnM1Hnxxx()3故故r1 的幂平均值是的幂平均值是调和平均值调和平均值.2 2、几何平均值几何平均值在在r0 点：点：由已证明过的由已证明过的()1式：式：
26、().n12nnM 0 x xxG()4故故r0 的幂平均值是的幂平均值是几何平均值几何平均值.3 3、算术平均值算术平均值在在r1 点：点：由由()2式得：式得：.()1111112n12nnxxxxxxM 1Ann()5故故r1 的幂平均值是的幂平均值是算术平均值算术平均值.4 4、平方平均值平方平均值在在r2 点：点：由由()2式得：式得：.()1222222212n12nnnxxxxxxM 2Qnn()6故故r2 的幂平均值是的幂平均值是平方平均值平方平均值.5 5、推论推论：根据根据幂平均函数幂平均函数在实数空间是连续且单调递增，在实数空间是连续且单调递增，r由由1012 可得：可得
27、：nnnnHGAQ()7当且仅当当且仅当.12nxxx时取等号时取等号.第第1212页页以上是由以上是由幂平均不等式幂平均不等式推导的推导的均值定理均值定理，在处理更高次方时，即，在处理更高次方时，即r2 时，时，()2式仍式仍适用适用.三、加权不等式三、加权不等式1 1、加权不等式加权不等式：若若12n0 1,.,，且，且.12n1，则，则i 就是权重，就是权重，当当ka0（,.,k1 2n）时，恒有：）时，恒有：n121 12 2n n12naaaaaa.()8成立成立.()8式就是式就是加权不等式加权不等式.2 2、对、对n2 时：时：此时此时()8式为：式为：121 12 212aaa
28、a取取1212，上式变为：，上式变为：121 2aaa a2 这是二元的这是二元的均值不等式均值不等式.3 3、对、对n3 时：时：此时此时()8式为：式为：3121 12 23 3123aaaaaa 取取12313，上式变为：，上式变为：12331 2 3aaaa a a3 这是三元的这是三元的均值不等式均值不等式.4 4、评价：、评价：此此加权不等式加权不等式为均值加权，由于权重为均值加权，由于权重 的灵活配置，的灵活配置，加权不等式加权不等式比比均值不等均值不等式式更加灵活，也更加高效更加灵活，也更加高效.四、加权琴生不等式四、加权琴生不等式1 1、琴生不等式琴生不等式：对于对于向下凸函
29、数向下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值函数的均值不小于均值的函数值.用数学式子表达为用数学式子表达为：()().().()12n12nf xf xf xxxxfnn()9左边是函数的平均值，右边是平均值的函数值左边是函数的平均值，右边是平均值的函数值.对于对于向上凸函数向上凸函数，只需在函数前面加一个负号就可以直接采用，只需在函数前面加一个负号就可以直接采用()9式式.2 2、加权琴生不等式加权琴生不等式：若函数若函数(,.,)12nf xxx在在,a b区间连续区间连续，且在且在(,)a b区间为区间为向下凸向下凸函数函数，若若12n0 1,.,，且且.12n1，对于一切对于一切,.,(
30、,)12nxxxa b，第第1313页页则：则：().()(.)11nn11nnf xf xfxx()10当当.12n1n时，时，()10式就化为式就化为()9式式.因此，因此，()10式是更普遍的式是更普遍的琴生不等式琴生不等式.3 3、推论推论：设函数设函数f，在区间，在区间,a bR 时，时，f是一个连续函数，则：是一个连续函数，则：对一切对一切,x ya b，恒有：，恒有：()()()11xyf xf yf222()11 对一切对一切,x ya b，(,)0 1 ，恒有：，恒有：()()()()f x1f yfx1y()124 4、向下凸函数判据向下凸函数判据：设函数设函数f，在区间，
31、在区间,a bR 时，时，f是一个连续函数是一个连续函数.如果如果()()()f xf yxyf22 成立，则成立，则f为为向下凸函数向下凸函数.如果如果()fx0，则，则f为为向下凸函数向下凸函数.五、柯西不等式五、柯西不等式1 1、柯西不等式柯西不等式：设设,.,.,12n12naaab bb为实数，则：为实数，则：222221n1n1 1n naabba ba b(.)(.)(.)()13这就是著名的这就是著名的柯西不等式柯西不等式.2 2、推论推论 1 1：设设,.,12naaa0，,.,12nb bb0，则：，则：(.)(.).12n12n1 12 2n naaabbba ba ba
32、 b()143 3、推论推论 2 2：设设,.,12naaa0，,.,12nb bb0，则：，则：(.).2222n12n1212n12naaaaaabbbbbb()15()15式被称为式被称为权方和不等式权方和不等式.4 4、推论推论 3 3：设设,.,12naaa0，,.,12nb bb0，则：，则：.(.).2nn121222212n12n12naaaaaa1aaabbbbbb()16第第1414页页5 5、推论推论 4 4：设设,.,12naaa0，,.,12nb bb0，则：，则：(.).2n12n1212n1 12 2n naaaaaabbba ba ba b()17六、伯努利不等
33、式六、伯努利不等式1 1、伯努利不等式伯努利不等式：设设,.,12nxxx1 ，则：，则：()().().12n12n1x1x1x1xxx()182 2、当、当,.,12nxxxx时：时：()n1x1nx()19可见，可见，()19式是式是()18式的特例，式的特例，()18式更普遍式更普遍.七、切线法不等式七、切线法不等式 即：即：设限法设限法1 1、切线法切线法：设设()f x为实值向下凸函数为实值向下凸函数，,m nR，(,)xm n，直线直线yaxb与与f相相切于切于(,)m n，假设：在，假设：在(,)xm n 区间，始终有：区间，始终有：()f xaxb()20则：则：()20式就
34、称为式就称为切线不等式切线不等式.当当()f xaxb时，前面加负号就可以采用时，前面加负号就可以采用()20式式2 2、指数不等式指数不等式：xex1（x1 ）函数为：函数为：()xf xe，为向下凸函数，为向下凸函数.则：则：0f0e1()，0f 0e1()，在在x0 处的切线方程为：处的切线方程为：yf0 x0f 0 x1()()()故：在故：在x1 区间，由区间，由()20式得：式得：f xx1()，即：，即：xex121()21()式就是式就是指数不等式指数不等式.3 3、对数不等式对数不等式：xx1ln （x0）函数为：函数为：f xx()ln，为向上凸函数，为向上凸函数.设设g
35、xf xx()()ln ，则，则g x()为向下凸函数为向下凸函数.第第1515页页则：则：x 11g 11x()，x 1g 1x0()ln ，在在x1 处的切线方程为：处的切线方程为：yg 1 x1g 1x1()()()()故：在故：在x0 区间，由区间，由()20式得：式得：g xx1()()，即：即：xx1ln()，即：，即：xx1ln 22()22()式就是式就是对数不等式对数不等式.八、定义符号八、定义符号对于对于 3 3 个对称变量的不等式个对称变量的不等式，为了简化书写为了简化书写，便于计算便于计算，我们定义两个简化求和符号我们定义两个简化求和符号.定义（定义（cyclic）：c
36、yc 为单轮换求和：展开项数为为单轮换求和：展开项数为3.(,)(,)(,)(,)cycP x y zP x y zP y z xP z x y()23()23式为单轮换求和定义式式为单轮换求和定义式.根据定义：根据定义：单个求和单个求和：cycxxyz；2222cycxxyz；3333cycxxyz.双积求和双积求和：cycxyxyyzzx；2222cycx yx yy zz x；3333cycx yx yy zz x；32323232cycx yx yy zz x.三积求和三积求和：cycxyzxyzyzxzxy3xyz；2222cyccycx yzx yzy zxz xyxyz xyzx
37、yzx()；22222222cyccycx y zx y zy z xz x yxyz xyyzzxxyzxy()；第第1616页页33332222cyccycx yzx yzy zxz xyxyz xyzxyzx().定义（定义（symmetric）：sym 为双轮换求和：展开项数为为双轮换求和：展开项数为6.(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)symP x y zP x y zP y z xP z x yP x z yP z y xP y x z(,)(,)cyccycP x y zP x z y()24()24式为双轮换求和定义式式为双轮换求和定义式.根据定义：根据定义：单个求和单
38、个求和：symcyccyccycxxy2 xyz2x()；2222222symcyccyccycxxy2 xyz2x()；3333333symcyccyccycxxy2 xyz2x().双积求和双积求和：symcyccyccycxyxyxz2 xyyzzx2xy()；22222222symcyccycx yx yx zy zy xz xz yxyzxy xy()()；3333333symx yx yx zy zy xz xz y 32233cyccyccycxyzxy xyx yz()()().三积求和三积求和：symxyz6xyz .2222222symcycx yzx yzx zyy zx
39、y xzz xyz yx2xyzx；22222222222222symcycx y zx y zx z yy z xy x zz x yz y x2xyzxy；和的平方和的平方：()()2222xyzxyz2 xyyzzx简写为：简写为：22cyccyccycxx2xy 和的立方和的立方：()()3333222222xyzxyz3 x yy zz xxyyzzx6xyz第第1717页页简写为：简写为：()33232cyccycsymcycsymxx3x y6xyzx3x yxyz；九、舒尔不等式九、舒尔不等式1 1、舒尔不等式舒尔不等式：设设x y z0,，对任何，对任何r0，恒有：，恒有：r
40、rrxxyxzyyzyxzzx zy0()()()()()()简写为：简写为：rcycxxyxz0()()()25()25式这就是式这就是舒尔不等式舒尔不等式.2 2、对、对r1 的特例：的特例：3332symxyz3xyzx y 简写为：简写为：32cycsymx3xyzx y，或，或32cycsymxxyzx y（）()26由于：由于：322x xyxzxx yx zxyz()()所以：所以：32cyccyccyccycx xyxzxxyzxyz()()()32cycsymxxyz3xyz()代入代入()25式得式得()26式式.yzx zxyxyzxyz()()()()27由于：由于：y
41、zx zxyxyz()()()22zxyzxyxyzzxyxyz()()()()()2232zxyxyxyzz xy()()()()2222322z xz yxyxyzz x2xyy()()()223223322z xz yxx yy xyzz x2xyy()()32cycsymxx y2xyz 所以所以()27式为：式为：32cycsymxx y2xyzxyz即：即：32cycsymx3xyzx y，这正是，这正是()26式式.34 xyzxyyzzxxyz9xyz()()()第第1818页页简写为：简写为：3cyccyccyc4xxyx9xyz()()()()28不等式左边：不等式左边：4
42、 xyzxyyzzx()()2222224 x yxyzzxxyy zxyzxyzyzz x()2sym4x y3xyz 不等式右边：不等式右边：332cycsymxyz9xyzx3x y15xyz()代入代入()28式得：式得：232symcycsym4x y3xyzx3x y15xyz即：即：23symcycx yx3xyz，即：，即：32cycsymx3xyzx y，这正是，这正是()26式式.2229xyz2 xyyzzxxyzxyz()()()29简写为：简写为：2cyccyccyc9xyx2xyxx 由由222xyz 2 xyyzzxxyz9xyz()()()得左边为：得左边为：2
43、222 xyzxyyzzxxyzxyz()()()()232symcycsym2x y3xyzxx y移项合并得：移项合并得：32cycsymx3xyzx y，这正是，这正是()26式式.2222223xyz3 x y z2 xyyzzx()简写为：简写为：222 23cycsymx3 x y zxy()30由由3xyz3 xyz代入代入()29式得：式得：()()222222339xyz9xyz2 xyyzzxxyz3 x y zxyz3 xyz即：即：2222223xyz3 x y z2 xyyzzx().对于对于r1 时，与此类似推导时，与此类似推导.第第1919页页十、缪尔海德不等式十
44、、缪尔海德不等式1 1、缪尔海德不等式缪尔海德不等式：设设123123aaab bb,为实数为实数，且且123aaa0，123bbb0，11ab，1212aabb，123123aaabbb；设设x y z0,，则有：，则有：333333121212121212aaaaaaaaaaaaaaaaaaxyzx zyyxzy zxzxyzyx333333121212121212babbbbbbbbbbbbbbbbxy zx zyy x zy zxz xyzyx简写为：简写为：331212abaabbsymsymxyzxy z()31这就是这就是缪尔海德定理缪尔海德定理.2 2、推广为一般式推广为一般式
45、：.nn1212abaabb12n12nsymsymxxxxxx()32十一、赫尔德不等式十一、赫尔德不等式1 1、赫尔德不等式赫尔德不等式：设设,123aaa，,123b bb，,123ccc为正实数，则有：为正实数，则有：()()()()33333333331231231231 1 12 2 23 3 3aaabbbccca b ca b ca b c简写为：简写为：33333333iiii i ii 1i 1i 1i 1abca b c()332 2、推广为一般式推广为一般式：iinmmnijiji 1j 1j 1i 1aa ()343 3、推论推论：()().()(.)nn12n1 2
46、n1a1a1a1a aa()35十二、排序不等式十二、排序不等式1 1、正序和正序和：前面前面缪尔海德不等式缪尔海德不等式的前提就是一个数列的有序化，即数是按从大到小、的前提就是一个数列的有序化，即数是按从大到小、或者从小到大排列，这种按一定增减性排列的数就是有序数或者从小到大排列，这种按一定增减性排列的数就是有序数.当有序数列当有序数列 na和和 nb的增减性相同时：的增减性相同时：.n1 12 2n nSa ba ba b称为称为正序和正序和.第第2020页页2 2、反序和反序和：当有序数列当有序数列 na是从小到大排列，是从小到大排列，nb是从大到小排列时：是从大到小排列时：.n1 12
47、 2n nSa ba ba b称为称为反序和反序和.当然，若当然，若 na时从大到小排列，时从大到小排列，nb是从小到大排列时，是从小到大排列时，nS也是也是反反序和序和.3 3、乱序和乱序和：当数列当数列 na无序排列，或者无序排列，或者 nb无序排列，或者两者都无序排列时：无序排列，或者两者都无序排列时：.n1 12 2n nSa ba ba b称为称为乱序和乱序和.4 4、排序不等式排序不等式：正序和正序和 乱序和乱序和 反序和反序和()36()36式称为式称为排序不等式排序不等式.十三、切比雪夫不等式十三、切比雪夫不等式1 1、切比雪夫不等式切比雪夫不等式：设设,.,12nxxx和和,
48、.,12nyyy为任意两组实数，若为任意两组实数，若 nx与与 ny的的升降同序升降同序.即：即：若若.12nxxx，则，则.12nyyy；若若.12nxxx，则，则.12nyyy.则：则：nnniiiii 1i 1i 1111x yxynnn ()37()37式称为式称为切比雪夫不等式切比雪夫不等式.练习练习 练习练习 11 设设a b c,是一个三角形的三边长，求证：是一个三角形的三边长，求证：abc2bccaab.练习练习 22 设设a b c0,，求证：，求证：abc3bccaab2.练习练习 33 设设x y z1,，且，且1112xyz，求证：，求证：xyzx1y1z1.练习练习
49、44 设设12nxxx,.,为任意实数，证明不等式：为任意实数，证明不等式：第第2121页页n12222221121nxxxn1x1xx1xx.练习练习 55 设设x y0,，且，且xy2，求证：，求证：2222x yxy2().练习练习 66 设设a b0,，且，且ab1 ，求证：，求证：22ab1a1b13.练习练习 77 设设a b c0,，且，且abc1，求证：，求证：1111ab1bc1ca1.练习练习 88 设设x y z0,，且，且xyz1，求证：，求证：()()()()()()333xyz31y 1z1z 1x1x 1y4.练习练习 99 设设,a b c0，求证：，求证：22
50、2abc3 321a1b1c.练习练习 1010 已知已知,x y1，求证：，求证：()y 1xxyxy1.练习练习 1111 对实数对实数,.,12nxxx，求，求.12nxxxxxx的最小值的最小值.练习练习 1212 若函数若函数(,)f x y z在实数区间在实数区间,a b为向下凸函数，为向下凸函数，,x y za b，求证：，求证：()()()()()()()xyzxyyzzxf xf yf z3 f2 f2 f2 f3222 练习练习 1313 设设().nn 1nn 110P xa xaxa xa 为正系数的多项式，且为正系数的多项式，且nii 0a1 ，求证：，求证：()()