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1、不等式基础必备不等式基础必备一、基本不等式的公式一、基本不等式的公式1 1、均值定理：、均值定理：Q Qn n A An n G Gn n H Hn n（当且仅当（当且仅当a a1 1 a a2 2 .a an n时取等号）时取等号）注解：注解：Q Qn n平方平均值：平方平均值：Q Qn n A An n算术平均值：算术平均值：A An n a a1 12 2 a a2 22 2 .a an n2 2；n na a1 1 a a2 2 .a an n；n nG Gn n几何平均值：几何平均值：G Gn n n na a1 1a a2 2.a an n；H Hn n调和平均值：调和平均值：H
2、Hn n n n1 11 11 1 .a a1 1a a2 2a an n，即：，即：n n1 11 11 1 .H Hn na a1 1a a2 2a an n其中，其中，a a1 1,a a2 2,.,.a an n 0 0例如：例如：a a1 1 1 1，a a2 2 2 2，求，求Q Qn n、A An n、G Gn n、H Hn n，并比较它们的大小，并比较它们的大小.解：解：Q Qn n 1 12 2 2 22 2 2 25 51 1 2 2 1 1.6 6；A An n 1 1.5 5；2 22 2G Gn n 2 21 1 2 2 2 2 1 1.4 4；H Hn n 2 21
3、 11 1 1 12 2 2 24 4 1 1.3 32 2 1 13 32 2可见：有可见：有Q Qn n A An n G Gn n H Hn n从大到小的顺序是：从大到小的顺序是：平方算术，几何调和平方算术，几何调和2 2、指数不等式：、指数不等式：e ex x 1 1 x x（当且仅当（当且仅当x x 0 0时取等号）时取等号）注解：注解：由于要求不等式右边由于要求不等式右边1 1 x x 0 0，故：，故：x x 1 1记忆方法见函数图记忆方法见函数图.y y 1 1 x xy yy y e ex x曲线曲线y y e ex x在在x x R R区间都处在直线区间都处在直线y y 1
4、 1 x x的上方，仅在的上方，仅在x x 0 0处相切处相切.即：即：e e 1 1 x x，当且仅当当且仅当x x 0 0时取等号时取等号.x xO Ox x例如：例如：x x 1 1时，左边时，左边e ex x 2 2.718718，右边，右边1 1 x x 2 2故：故：e ex x 1 1 x x3 3、对数不等式：、对数不等式：lnln x x x x 1 1（当且仅当（当且仅当x x 1 1时取等号）时取等号）注解：注解：由于由于 0 0 和负数没有对数，所以：和负数没有对数，所以：x x 0 0记忆方法见函数图记忆方法见函数图.曲线曲线y y lnln x x在在x x 0 0
5、区间都处在直线区间都处在直线y y x x 1 1的下方，仅在的下方，仅在x x 1 1处相切处相切.即：即：lnln x x x x 1 1，当且仅当当且仅当x x 1 1时取等号时取等号也可以由也可以由e ex x 1 1 x x得：得：e ey y 1 1 y y两边取对数：两边取对数：y y 1 1 lnln y y，即：，即：lnln x x x x 1 1例如：例如：x x e e时，左边时，左边lnln x x lnlne e 1 1，右边，右边x x 1 1 e e 1 1 1 1.718718 1 1，故：，故：lnln x x x x 1 14 4、柯西不等式：、柯西不等式
6、：O Oy yy y x x 1 1y y lnln x xx x(a a1 12 2 a a2 22 2.a an n2 2)()(b b1 12 2 b b2 22 2.b bn n2 2)(a a1 1b b1 1 a a2 2b b2 2.a an nb bn n)2 2a a（当且仅当（当且仅当1 1 b b1 1a aa a2 2.n n时取等号）时取等号）b b2 2b bn n注解：注解：设向量设向量A A(a a1 1,a a2 2,.,.,a an n)，向量，向量B B (b b1 1,b b2 2,.,.,b bn n)，则则A A a a1 12 2 a a2 22
7、2.a an n2 2，B B b b1 12 2 b b2 22 2 .b bn n2 2，2 22 2A A B B a a1 1b b1 1 a a2 2b b2 2.a an nb bn n由向量公式：由向量公式：A A B B A A B B coscos A A,B B 得：得：A A B B A A B B两边自乘得：两边自乘得：A A2 2B B(A A B B)2 22 2将上面的结果代入得：将上面的结果代入得：(a a1 12 2 a a2 22 2.a an n2 2)()(b b1 12 2 b b2 22 2.b bn n2 2)(a a1 1b b1 1 a a2
8、2b b2 2.a an nb bn n)2 2例如：例如：a a1 1 1 1，a a2 2 2 2，b b1 1 3 3，b b2 2 4 4则：则：a a1 12 2 1 1，a a2 22 2 4 4，(a a1 12 2 a a2 22 2)5 5；b b1 12 2 9 9，b b2 22 2 1616，(b b1 12 2 b b2 22 2)2525；(a a1 12 2 a a2 22 2)()(b b1 12 2 b b2 22 2)5 5 2525 125125；a a1 1b b1 1 3 3，a a2 2b b2 2 8 8，(a a1 1b b1 1 a a2 2b
9、 b2 2)2 2 11112 2 121121.(a a1 12 2 a a2 22 2)()(b b1 12 2 b b2 22 2)125125 121121故：故：(a a1 12 2 a a2 22 2)()(b b1 12 2 b b2 22 2)(a a1 1b b1 1 a a2 2b b2 2)2 25 5、琴生不等式：、琴生不等式：注解：注解：设在设在x x a a,b b 区间区间f f(x x)为上凸函数，如图为上凸函数，如图即即f f(x x)的二次导数的二次导数f f(x x)0 0，f f(a a)f f(b b)a a b b f f()则：则：2 22 2O
10、OA AB B图中，图中，A A点为均值的函数值，点为均值的函数值，B B点为函数的均值点为函数的均值.即：即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值.设在设在x x a a,b b 区间区间f f(x x)为下凸函数，如图为下凸函数，如图即即f f(x x)的二次导数的二次导数f f(x x)0 0，a ab bB B则：则：f f(a a)f f(b b)a a b b f f()2 22 2O OA A图中，图中，A A点为均值的函数值，点为均值的函数值，B B点为函数的均值点为函数的均值.即：即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值对
11、于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值.上面的式，称为上面的式，称为琴生不等式琴生不等式.例如：对于函数例如：对于函数f f(x x)sinsin x x，在，在x x 0 0,区间为上凸函数，区间为上凸函数，a ab b因为因为f f(x x)coscos x x，f f(x x)sinsin x x 0 0（x x 0 0,）故：故：f f(x x)sinsin x x在在x x 0 0,区间为上凸函数区间为上凸函数.O OB BA A 此时，此时，a a 0 0，b b ，则，则a a b b 2 22 2f f(a a)f f(b b)0 0 0 0 0 0；2 22 2f f(a
12、a)f f(0 0)0 0，f f(b b)f f()0 0，即：，即：而而f f(a a b b f f(a a)f f(b b)a a b b)f f()1 1.故：故：f f()2 22 22 22 2例如：二次函数例如：二次函数f f(x x)x x2 2 2x2x 1 1因为因为f f(x x)2x2x 2 2，f f(x x)2 2 0 0所以所以f f(x x)下凸函数下凸函数.在在x x 0 0,2 2 区间有：区间有：f f(0 0)1 1，f f(2 2)1 1，f f(1 1)0 0即：即：f f(0 0)f f(2 2)0 0 2 2 1 1，f f()f f(1 1)
13、0 02 22 2f f(0 0)f f(2 2)0 0 2 2 f f()2 22 2f f(a a)f f(b b)a a b b f f()2 22 2O O1 12 2故：故：其实，在其实，在x x R R区间，都满足区间，都满足 推广为一般形式推广为一般形式对于对于x x(a a,b b)的上凸函数，即的上凸函数，即:f f(x x)0 0，有：，有：f f(x x1 1)f f(x x2 2).f f(x xn n)x x x x2 2 .x xn n f f(1 1)（x x1 1,x x2 2,.,.,x xn n(a a,b b)）n nn n对于对于x x(a a,b b)
14、的下凸函数，即的下凸函数，即:f f(x x)0 0，有：，有：f f(x x1 1)f f(x x2 2).f f(x xn n)x x x x2 2 .x xn n f f(1 1)（x x1 1,x x2 2,.,.,x xn n(a a,b b)）n nn n这就是这就是琴生不等式琴生不等式.注意不等号的方向与二次导数的方向一致注意不等号的方向与二次导数的方向一致.6 6、伯努利不等式：、伯努利不等式：(1 1 x x)n n 1 1 nxnx（x x 1 1）注解：注解：由二项式定理得：由二项式定理得：0 01 12 22 2n nn n(1 1 x x)n n C Cn n C C
15、n nx x C Cn nx x .C Cn nx x 1 1 nxnx g g(x x)在在x x 1 1时，时，g g(x x)0 0，即：，即：(1 1 x x)n n 1 1 nxnx（仅当（仅当n n 1 1时取等号）时取等号）例如：当例如：当x x 1 1，n n 2 2时，左边时，左边(1 1 x x)n n(1 1 1 1)2 2 4 4，右边，右边1 1 nxnx 1 1 2 2 1 1 3 3故：故：(1 1 x x)n n 1 1 nxnx7 7、向量不等式：、向量不等式：向量三角形：向量三角形：a a b b a a b b和和 a a b b a a b b 向量点乘
16、：向量点乘：a a b b a a b b注解：注解：由由a a，b b，a a b b构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得.由由a a，b b，a a b b构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得；构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得；由向量积的公式得：由向量积的公式得：a a b b a a b b coscos a a,b b a a b b，即：，即：a a b b a a b b；若若a a (a a1 1,a a2 2,a a3 3)，b b (b b1 1,b b2 2,b b3 3)，则：，则：a a b b a a1
17、1b b1 1 a a2 2b b2 2 a a3 3b b3 3上面这几种基本不等式的简单记忆方法：上面这几种基本不等式的简单记忆方法：均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；柯西琴生伯努利，向量三角点乘积柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.上述不等式的解法统称“上述不等式的解法统称“公式法公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的尽量使用尽量使用.不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不等式述不等式.二、求不
18、等式的基本方法二、求不等式的基本方法1 1、作差法：、作差法：将比较的两对象相减后，其差与将比较的两对象相减后，其差与 0 0 比较大小的方法比较大小的方法.注解：注解：最常用的是构建函数法最常用的是构建函数法.例如，证明例如，证明f f(x x)g g(x x)，则构建，则构建h h(x x)f f(x x)g g(x x)2 2、作商法：、作商法：将比较的两正数对象相比后，其商与将比较的两正数对象相比后，其商与 1 1 比较大小的方法比较大小的方法.注解：注解：例如，例如，f f(x x)0 0，g g(x x)0 0，证明，证明f f(x x)g g(x x).将其变形为将其变形为f f
19、(x x)与与 1 1 比大小比大小.g g(x x)3 3、公式法：、公式法：用前面不等式的公式得到结果的方法用前面不等式的公式得到结果的方法.注解：注解：即均值定理、柯西不等式等即均值定理、柯西不等式等.4 4、单调性法：、单调性法：利用函数在某区间的单调性得出大小的方法利用函数在某区间的单调性得出大小的方法.注解：注解：例如，函数例如，函数f f(x x)在区间在区间x x a a,b b 单调递增，则有：单调递增，则有：f f(x x)f f(a a)，f f(x x)f f(b b).5 5、放缩法：、放缩法：由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小由等式的一
20、边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小者变得更小；从而使问题得到解决的方法者变得更小；从而使问题得到解决的方法.注解：注解：例如，例如，n n 0 0，原本，原本n n2 2 n n2 2，将右边减小变为，将右边减小变为n n2 2 n n(n n 1 1)式就是放缩法的结果式就是放缩法的结果.6 6、判别式法：、判别式法：如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：有解的条件是：判别式判别式 0 0.这里就自然出现了不等式这里就自然出现了不等式.注解：注解：本方法用于处理二次函数时，
21、包括二次函数的分式本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式.7 7、换元法：、换元法：将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化.注解：注解：特别是三角换元法特别是三角换元法.因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式.此法要求常此法要求常用的三角恒等式必须熟悉用的三角恒等式必须熟悉.8 8、裂项相消法：、裂项相消法：将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法而得到简明结果的
22、方法.注解：注解：例如，在放缩法中的式，进一步得：例如，在放缩法中的式，进一步得：n n1 11 11 11 1 2 2n nn n(n n 1 1)n n 1 1n n这样，如果是求和这样，如果是求和 n n1 1，则可得结果：，则可得结果：2 2k kk k 1 1n nn n1 11 11 11 11 11 1 1 1 1 1()1 1(1 1)2 2 2 22 2k kn nn nk k 1 1k kk k 2 2k kk k 2 2k k 1 1其中的其中的1 11 11 1 是裂项是裂项.n n(n n 1 1)n n 1 1n n在求和过程中，好多项相互抵消在求和过程中，好多项相
23、互抵消(k k 2 2n n1 11 11 11 11 11 11 11 11 1)()().()1 1 k k 1 1k k1 12 22 23 3n n 1 1n nn n9 9、倒序相加法：、倒序相加法：将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法.注解：注解：例如，求例如，求S Sn n 1 1 2 2 3 3.n n.其倒序后为：其倒序后为：S Sn n n n(n n 1 1).2 2 1 1.这两个式子按序相加后得：这两个式子按序相加后得：2S2Sn n (1 1 n n)(2 2 n n 1 1).(n n
24、 1 1)其中，每个圆括号内的值都是其中，每个圆括号内的值都是(n n 1 1)，共有，共有n n项项.故结果是：故结果是：2S2Sn n n n(n n 1 1)，即：，即：S Sn n n n(n n 1 1)2 21010、极值法（最值法）、极值法（最值法）：求出函数求出函数f f(x x)在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么函数的最值就是出现不等式的方法函数的最值就是出现不等式的方法.注解：注解：函数函数f f(x x)在在x x R R区间的最大值是区间的最大值是 8 8，则有，则有f f(x x)8 81111、积分法：、积分法：积分
25、实际上是求和，是简化求和运算的一种方法积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法.如果函数是单调的，函如果函数是单调的，函数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号.注解：注解：积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量.上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：作差与作差与 0 0 比大小，作商与比大小，作商与 1 1 比高下；比高下；套用公式得结果，单调放缩有小大；套用公式得结果，单调放缩有小大；二次函数过零点，判别式与换元法；二次函数过零点
26、，判别式与换元法；倒序相加来求和，裂项相消去简化；倒序相加来求和，裂项相消去简化；极值最值亦可得，单调积分号方法极值最值亦可得，单调积分号方法.a an n b bn na a b bn n ()例题例题 已知：已知：a a,b b 0 0，n n N N，n n 2 2，求证：，求证：2 22 2*证明：证明：用均值定理：用均值定理：A An n G Gn nn nn na an n b bn na an n b bn na an n b bn na an n b bn nn na a b ba a ()().()n nn na a().().()2 22 22 22 22 2n nn n
27、1 1n n 1 1n nn nn nn nn n 1 1a an n b bn na a b ba a b bn n 1 1即：即：a a (n n 1 1)()()nanan n()nana()n n2 22 22 2n n 1 1a an n b bn na an n b bn nn nn n)nbnb()同理：同理：b b (n n 1 1)()(2 22 2n n由两式相加得：由两式相加得：1 1a an n b bn nn nn n(a a b b)(n n 1 1)()(a a b b)n n(a a b b)()()2 2n nn nn nn n 1 1a an n b bn
28、na a b ba an n b bn nn nn n)2n2n()()()即：即：2n2n(2 22 22 2 1 1a an n b bn na a b ba an n b bn nn nn na an n b bn nn na a b bn na an n b bn nn n 1 1)()()()，即：，即：()()()即：即：(2 22 22 22 22 22 2a an n b bn na a b bn n()即：即：2 22 2 用琴生不等式用琴生不等式构建函数：构建函数：f f(x x)x xn n（x x 0 0）则：则：f f(x x)nxnxn n 1 1，f f(x x)n n(n n 1 1)x xn n 2 2 0 0a an n b bn na a b bn nf f(a a)f f(b b)a a b b f f()得：得：()代入琴生不等式代入琴生不等式2 22 22 22 2