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1、不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 个对称变量法Ch21. 个对称变量法Ch22. 法Ch23. 法Ch24. 法Ch25. 拉格朗日乘数法Ch26. 三角不等式Ch2
2、7. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式各项符号一样，且，那么：式为伯努利不等式.当时，式变为： Ch2. 均值不等式为正实数，记： ，为平方平均数，简称平方均值； ，为算术平均数，简称算术均值； ，为几何平均数，简称几何均值； ，为调和平均数，简称调和均值.那么： 时，等号成立. 注：当且仅当.式称为均值不等式.为正实数序列，实数，那么记：式的称为幂平均函数.为正实数序列，且实数，那么：当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.为非负实数序列，且，假设为正实数序列，且实数，那么：式称为加权幂平均函数.为正实数序列，且实数，对那么： 即： 当时，式对任何
3、都成立，即关于是单调递增函数.式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.Ch4. 柯西不等式和均为实数，那么： 时，等号成立.注：当且仅当.式为柯西不等式.柯西不等式还可以表示为：简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方我们将简称为积均值，记：.那么：，即： 4.3推论1：假设为实数，那么： 时，等号成立.式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.4.4推论2：假设和均为实数，那么： 时，等号成立.4.5推论3：假设为正实数，那么：Ch5. 切比雪夫不等式；，且均为实数.那么： 或时，等号成立.式为切比雪夫不等式.由于有，条件，即序列同调，所以使用时，常采用 (注：不失一般性)切比雪夫不等式常常表
4、示为：简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值.即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 那么：即： Ch6. 排序不等式；为实数，对于的任何轮换，都有以下不等式：式称排序不等式也称重排不等式.其中，称正序和，称反序和，称乱序和. 故式可记为：正序和乱序和反序和 6.2推论：假设为实数，设为的一个排序，那么：Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切，假设函数是向下凸函数，那么：式是向下凸函数的定义式.注：表示区间和函数在区间都是实数.对任意，存在二次导数，那么在区间为向下凸函数；时，假设，那么在区间为严格向下凸函数.在区间为向下凸函数
5、，那么函数在在区间对任何也是向下凸函数.是一个在区间的向下凸函数，设，为实数，且，那么对任何，有：式就是加权的琴生不等式.简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值.Ch8. 波波维奇亚不等式是一个在区间的向下凸函数，那么对一切，有：式就是波波维奇亚不等式.波波维奇亚不等式可以写成：简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值.是一个在区间的向下凸函数，那么：其中：，对所有的式是普遍的波波维奇亚不等式.当，时，代入式得：即： 式正是式.Ch9. 加权不等式，且，那么：式就是加权的均值不等式，简称加权不等式.式形式直接理解为：几何
6、均值不大于算术均值.Ch10. 赫尔德不等式，实数且，那么： 时，等号成立.式称为杨氏不等式.和为正实数，且，那么：式称为赫尔德不等式. 时，等号成立.赫尔德不等式还可以写成：即：，即： 简称：“幂均值的几何均值不小于积均值.注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.、和为三个正实数序列，且，那么：式称为加权赫尔德不等式. 时，等号成立.(;)，为正实数且，那么：式称为普遍的赫尔德不等式.10.6推论：假设，那么：简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方.；为正实数，且，那么： 时，等号成立.式称为第一闵可夫斯基不等式.；为正实数，且，
7、那么： 时，等号成立.式称为第二闵可夫斯基不等式.；为三个正实数序列，且，那么： 时，等号成立.式称为第三闵可夫斯基不等式.为任意实数，考虑多项式：的系数作为的函数可表达为：对每个，我们定义 那么式类似于二项式定理，系数为：.为正实数，那么对每个有： 时，等号成立.式称为牛顿不等式.为正实数，按定义，那么： 时，等号成立.称麦克劳林不等式.为正实数序列，并设为任意实数.记：；为所有可能的积之和，普及的所有轮换. ：表示共有个参数的所有积之和，共有个参数的指数是，第和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有个和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有个参数
8、的指数是，第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：.即： ：表示共有个参数的所有积之和，共有个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有个参数的指数是，第个和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：.由于表达式比拟多，所以我们规定：.，且，那么：式称为舒尔不等式.15.2 解析式将上式代入式得：即：即：即： 式与式等价，称为舒尔不等式.，设，那么： 或及轮换，等号成立.按照式写法，即：，那么：式
9、是我们最常见的舒尔不等式形式.15.4推论：设实数，实数且或，那么：式中，就得到式.15.5推论：设实数，那么：15.6推论：假设，那么对于一切，有：Ch16. 定义序列和，当满足以下条件： 且 对一切，式都成立.那么：就是的优化值，记作：.注：这里的序列只有定性的比拟，没有定量的比拟.为非负实数序列，设和为正实数序列，且，那么： 或时，等号成立.式就缪尔海德不等式.式假设实数，实数，且满足，；设，那么：满足序列条件，那么：即式为： 用通俗的方法表达即： 式就缪尔海德不等式的常用形式.17.3例题：设为非负变量序列，考虑和.由16.1中的序列优化得：由缪尔海德不等式式得： 将代入得：即： 由柯
10、西不等式：即：即： 式式等价，这就证明了式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到式是成立的.式可以用来表示，这正是缪尔海德不等式的式.的函数为向下凸函数，且当两个序列和满足，那么：式称为卡拉玛塔不等式.为严格向下凸函数，即不等取等号，且，那么：假设函数为严格向上凸函数，那么卡拉玛塔不等式反向.在区间对一切为单调增函数，那么当时，有；假设在区间对一切为严格单调增函数，当时，有.在区间对一切为单调减函数，那么当时，有；假设在区间对一切为严格单调减函数，当时，有.在区间为可导函数，当对一切，那么在区间为单调递增函数；当对一切，那么在区间为单调递减函数.和满足以下条件： 函数和在区间是连续的，且； 函数和
11、在区间可导； 导数对一切成立，那么对一切有： 式就是单调函数不等式.Ch20.个对称变量法，对于具有变量对称形式的不等式，采用以下变量代换：；，那么.代换后的不等式，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为法.20.2常用的代换如下： 法的不等式假设，那么： Ch21.个对称变量法在的不等式中，采用以下变量代换：上述变换强烈含有“平均的意味：对应“算术平均值；对应“积均值；对应“几何平均值.时，那么： 式称为傻瓜不等式.即：“算术平均值“积均值“几何平均值.，那么 式称为正值定理.假设，任给，那么当且仅当，且时，那么：，等式成立.这称为定理.Ch22.法22.1 法即设；.那么函
12、数变换为.这与Ch20.个对称变量法类似.是单调的，那么当时，到达极值.是凸函数，那么当时，到达极值.是的线性函数，那么当时，到达极值.是的二次三项式，那么当时，到达极值.Ch23.法23.1 法即23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：其中，分别都是的函数. 假设，那么； 假设或，且，那么； 假设或，且，那么； 假设，且，那么； 假设或或，且，那么.23.3 常用的形式 Ch24.法24.1 法即本法对多于个变量的对称不等式非常有用.24.2 设为任意实数序列， 选择使，； 用其平均数代替和，经过屡次代换后各项都趋于一样的极限.24.3 设实数空间的函数是一个对称的连续函数，满
13、足其中，序列是由序列经过预定义变换而得到的.预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如，等等.24.4 例题说明例题：设实数，证明：.解析：采用法.设： 那么： 其中，.由得：由式得：证毕.25.1 设函数在实数空间的连续可导，且，其中，即有个约束条件，那么的极值出现在区间的边界或偏导数函数为全部为零的点上.这就是拉格朗日乘数法.26.1 设，且，那么就是同一个三角形的内角.26.2 假设为同一个三角形的内角，那么有以下不等式： ； ； ； ； ； ； 锐角三角形； ； ； ； ； ； ； ； ； .27.1 设，求证：.27.2 设，且，求证：.27.3 设，且，求证：.27.4 设，且，求证：
14、.27.5 设，求证：.27.6 设，求证：.，求证：.27.8 设，且，假设，求的最小值.27.9 设，且，求证：.27.10 设，求证：.，且,求证：.，且，求证：.，且，求证：.，求证：.，求证：.，且，求证：.，求证：.，且，求证：.，且，求证：，且，求证：.，求证：.，且，求证：.27.23设不等式：对一切实数都成立，求的最小值.，且，求证：.27.1 设，求证：.解析：设：，那么：因为，所以 由伯努利不等式：当且时， 或时，式等号成立.由均值不等式： 时，式等号成立.由式得： 时， 式等号成立.设：，那么由式得： 那么：；.上面各式相乘得：证毕.27.2 设，且，求证：.解析：因为
15、，所以设，那么由伯努利不等式： 将代入式，并代入得：证毕.27.3 设，且，求证：.解析：因为，且，所以由均值不等式： 即： 时，式等号成立.由柯西不等式：即：即： 时，式等号成立.将式代入式得： 时， 式等号成立. 证毕.27.4 设，且，求证：.解析：因为，且，所以由均值不等式： 时，式等号成立.由均值不等式：，即： 时，式等号成立.，设，那么因为，所以由切比雪夫不等式：即： 时，式等号成立.将代入式得： 时， 式等号成立. 证毕.27.5 设，求证：.解析：记，那么： 待证式为： 由柯西不等式：即： 由式，只需证明 设多项式：那么： 代入式得： 根据定义：得：，即：；，即：那么： 由麦克
16、劳林不等式：，即：代入式得：，式得证. 时，等号成立. 证毕.27.6 设，求证：.解析：不等式左边=不等式右边=那么不等式其实就是： 由于是对称不等式，假设，那么 且，即： 那么有排序不等式：其中，为正序和；为乱序和. 时，等号成立. 证毕.，证：.解析：当时，不等式成立；当时，不等式成立；当时，构建函数.那么函数的导数；二次导数，故在时函数为向下凸函数.由琴生不等式： 将， ，带入式得：，即：综上，当、和时， 都成立,即时，成立. 证毕.27.8 设，且，假设，求的最小值.解析：记，.那么 假设，那么 由于，所以与无关，那么与同单调性.即： 由切比雪夫不等式：假设与同单调性，那么有： 设：
17、，那么满足与同单调性.代入式得：即： 由均值不等式：，即：故： 构建函数： 那么导函数：，故为向下凸函数.由琴生不等式：取加权时，上式变为： 即：即： 将和式代入式得：故：的最小值是.27.9 设，且，求证：.解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为：时，常常采用的参数方程是：，因为将它带入方程时满足，这个三角函数的根本关系. 对于三角形的内角，同样有关系和. 而此题初始条件.设.，因为，所以 那么当为三角形的内角时， 满足条件.带入不等式左边得： 构建函数，那么在区间函数为向下凸函数，故由琴生不等式得：函数值的均值不小于均值的函数值. 当加权时，式变为：即： 即：即： 将式带入式得：. 证毕.27.1
18、0 设，求证：.解析：因为，由柯西不等式式那么：即：. 证毕.，且,求证：.解析：对赫尔德不等式：当 ，时，式为：即： 设：，；代入式得： 式就是赫尔德不等式.将式代入上式得：开方出来即： 将代入式得：.时等号成立. 证毕.，且，求证：.解析：采用法.设：，那么：在20.2常用的代换如下： ； 那么：；于是，待证式变为：即：，即：，即： 法的不等式 ，即：故：式成立，即待证式成立. 证毕.，且，求证：.解析：由舒尔不等式： 即：即：即：即：两边都加得： 式就是舒尔不等式.设，代入式得：将代入上式得：即： 式就是我们要证明的不等式. 证毕.，求证：.解析：待证式化为：即： 解析1：缪尔海德不等式
19、： 或时，等号成立.由于，满足缪尔海德不等式的条件，即：，故满足序列.那么：，即：式成立. 证毕.解析2：采用法.设：，.在20.2常用的代换如下： ， 即式等价于：即：，即：即： 式是与式等价的.法的不等式： 是成立的，故式成立. 证毕.解析3：采用琴生不等式.构建函数 那么为向下凸函数.采用琴生不等式式： 那么：；上面三式相加得： 将带入得：即：. 证毕.，求证：.解析：待证式： 即：即：，即： 由排序不等式得：所以：式得证. 证毕.，且，求证：.解析：待证式： 将式齐次化： 化简式： 将式代入式：即待证式为： 由舒尔不等式：即：即： 由缪尔海德不等式：取：即：即： 由+2两式相加得： 式
20、是由舒尔不等式和缪尔海德不等式相加得到的结果，而式就是待证式，这证明，式即式是成立的. 证毕.，求证：.解析：因为，所以设待证式变为：因为待证式两边都是正数，所以取对数后为： ，假设，且 设，那么： 而且(，) 由，根据Ch16. 定义序列，那么：就是的优化值，于是序列 构建函数： 函数的导函数为：，其二次导函数为： 由式，函数是向下凸函数，对于两个序列和由卡拉玛塔不等式得： 将带入得：而这正是待证式式. 证毕.，且，求证： .解析：先介绍一个不等式：假设，那么 证明如下： 式得分子为：带入式得：，那么：式成立.由式得：； 而： 故由：时等号成立. 证毕.，且，求证： 解析：采用法 设：设：，
21、那么：， 采用导数法求的极值点.由式的导数为零得：即：即：即： 那么极值点为：，其中， 采用盛金公式求式得.盛金公式：；判别式：式得实数解为：.代入式得到这些极值点的函数值：在边界点的函数值为：故： 由于即： 其中：由得到：；由得到：；由得到：；由琴生不等式得到： 构建函数显然为向下凸函数，故函数的均值不小于均值的函数值.即：即： 再由得到：，代入式得：即：，式得证. 故由式：.时等号成立. 证毕.，且，求证：.解析：采用法.，假设，那么：，故：，设： 设：，那么： 那么：，即：故： 将，代入式得：即： 下面只需证明即可.将代入式： 由于：，所以：即：代入式得：，即：由式得：即：. 证毕.，求
22、证：.解析：不等式即：设： 那么对于对称类不等式，当时，假设是上式的因子，那么可用法.即假设，那么可采用法. 采用长除法分解因式故： 由式说明，此题可以采用法 采用法，就是将不等式改写成： 其中分别都是关于的函数.将式展开化简后得： 由于对称，轮换求和后扩展项数是倍，故由式简化为： 根据法同理：；由于前两项为偶次项，所以当有任何负值时，最后一项显然不小于为正值的值. 故我们设.当时：即：当时，；根据法第条：. 证毕.，且，求证：.解析：此题采用琴生不等式.构建函数：，在区间，为向下凸函数.根据琴生不等式：对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值即： 即： 将及代入式得： 由均值不等式： 设
23、：，那么式为：，即：即： 因为，所以那么由式得：，故： 将式代入式得：. 证毕.另：采用拉格朗日乘数法.设：，那么：拉氏函数： 偏导数：，即：同理：；.那么：，即：即： 故：或.同理可得：.而由，同样得到：故极值点：.即的极小值为.27.23设不等式：对一切实数都成立，求的最小值.解析：注意到那么不等式变为 设：；，那么： 及：代入式：即： 其中， 式两边与之间的关系由式限制.由于，个变量中有两个的符号一样，不妨设为.因为时，式只要即可.当时，设，由均值不等式得： 当时，式得等号成立. 由均值不等式得：即：即： 上面用到了： 由式得： 将式代入式得：于是： 比拟两式得：. 故：的最小值为.，且，求证：.解析：采用法. 齐次化： 设：，那么式变为：即：即：即：即： 以下常用式：即： 即： 将代入得：即： 采用法必须牢记的几个不等式：A B C D E F G 即舒尔不等式 因为，所以根据傻瓜不等式： 故由F可得：即：，即：即： 定理的取值要求一致. 将代入只要 那么满足式要求.式即：即： 设，那么由傻瓜不等式得，代入式得：即：，即：即：，即： 在是式恒成立.这样，式成立，倒退回去那么式成立. 证毕.此题不好.将此题展开来，那么是求证：