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1、惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测高二数学试题一单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1. 过点且平行于直线直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.【详解】解：设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得.所以所求的直线方程为.故选：A2. 已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】B【解析】【分析】利用等差中项的性质得导方程，利用通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【
2、详解】设等差数列的公差为d.由已知条件，得，即，解得.故选B.3. 棱长为的正四面体中，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】.故选：A.4. 已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出椭圆方程，结合已知条件，即可容易求得结果.【详解】根据题意，椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，则，故椭圆方程为.故选：B.5. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的定义可得结果.【详解】由题意
3、可知，向量在坐标平面上的投影向量是.故选：B.6. 直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线方程，求所过定点，探究弦在垂直时取的最短，结合垂直直线斜率乘积为，由点斜式方程，可得答案.【详解】由，则令，解得，故直线过定点，由，则圆心，半径，当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，故直线为，则.故选：B.7. 已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断【详解】解：，直线与直
4、线的斜率均存在直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合；对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合；对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合故选：D8. 在数列中，若（为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；不是等方差数列；若是等方差数列，则（为常
5、数）也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的定义，结合等方差数列的定义逐一判断即可.【详解】是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公差为的等差数列；故正确数列中，所以是等方差数列；故不正确因为是等方差数列，所以，把以上的等式相加，得，即数列是等方差数列，故正确；是等差数列，则设，是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故正确.正确命题的是，故选：A二多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，
6、有选错的得0分.9. 已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ）A. 为等差数列B. C. 最小值为D. 为单调递增数列【答案】BC【解析】【分析】根据求出，并确定为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前项和分析求解.【详解】对于A，当时，时满足上式，所以,所以，所以为等差数列，故A正确；对于B，由上述过程可知，故B错误；对于C，因为，对称轴为，又因为，所以当或3时，最小值为，故C错误；对于D，由上述过程可知的公差等于2，所以单调递增数列，故D正确.故选:BC.10. 已知空间中，则下列结论正确的有（ ）A. B. 与共线的单位向量是C. D. 平面的一个法向量是【答案】ACD【解析】【
7、分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD,根据模长公式可判断C,根据共线可判断B.【详解】对于A,，故故A正确；对于B,不是单位向量，且与不共线，故B错误；对于C,故C正确；对于D，设，则，所以，又，所以平面的一个法向量是故D正确.故选：ACD11. 已知曲线，则下列判断正确的是（ ）A. 若，则是圆，其半径为B. 若，则是双曲线，其渐近线方程为C. 若，则是椭圆，其焦点在轴上D. 若，则是两条直线【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可【详解】若时，转化为，半径为，故A错误；若，当，是焦点在轴上的双曲线，当，是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，
8、令，整理可得均是的渐近线，故B正确；若，转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；若，转化为，双曲线不是两条直线，故D错误.故选：BC12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）A. 椭圆的长轴长为B. 的周长为C. 线段AB长度的取值范围是D. 面积的最大值是【答案】BC【解析】【分析】由题
9、意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆定义可判断B；由椭圆性质可判断C；设所在直线方程为，分别联立椭圆、圆的方程，求出A，B两点的横坐标，得出根据单调性可得最大值判断D.【详解】对于A，由题知，椭圆中，得，则，故A错误；对于B，由椭圆定义知，所以的周长，故B正确；对于C，由椭圆性质可知，所以，故C正确；对于D,设所在直线方程为，联立可得，联立可得，则，显然当时，函数是减函数，所以当时，有最大值4，故D错误.故选：BC三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 抛物线：的焦点坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.【详解】由已知，所以故 ，所以焦点坐
10、标为： 故答案为：14. 已知双曲线经过点，则离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据经过的点可得，进而根据双曲线方程得，由离心率公式即可求解.【详解】双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，所以它的离心率为.故答案为：.15. 已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程_.（写出一个正确答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】找出一条满足条件直线方程即可.【详解】圆的圆心为，半径为2，若要使圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离应该为1，则直线可以为：，此时由圆得圆心为：，半径为2，则如图所示：由图可知圆上只
11、有点到直线的距离为1，故答案为：（答案不唯一）.16. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.【详解】根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量，同理可知，与分别为平面与的法向量.设直线的方向向量，则，即，取，则.设直线与平面所成角为，则.故答案为：.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知数列满足.（1）求
12、数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据累加迭代即可求解通项；（2）根据等差数列的求和公式即可求解.【小问1详解】当时，当时，满足上式，；【小问2详解】，则，所以是以0为首项，为公差的等差数列，故，.18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，（1）求证：（2）求EF与CG所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，易知坐标表示，利用空间向量的数量积运算易得，故；（2）在（1）的条件下，易知的坐标表示，利用可求得EF与CG所成角的余弦值.【小问1详解】依题意，建立
13、以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空直角坐标系，如图，则，则，所以，故，即EFCF.【小问2详解】由（1）得，则，所以，所以EF与CG所成角的余弦值为.19. 已知，为平面内的一个动点，且满足.（1）求点的轨迹方程；（2）若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)首先设点，利用两点间距离表示，化简求轨迹方程；（2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解.【小问1详解】由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得，整理得.【小问2详解】由（1）可知，曲线 圆心到直线的距离，所以弦的长度.20. 已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中
14、为原点.（1）求抛物线的方程；（2）若，求面积的最小值.【答案】（1） （2）4【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得结果；（2）设出直线的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理写出的面积表达式即可求得其最小值.【小问1详解】由抛物线经过点知，解得，则抛物线的方程为；【小问2详解】由题知，直线不与轴垂直，设直线，由消去，得，设，则，因为，所以即，所以解得（舍去）或，所以即，所以直线，所以直线过定点，当且仅当或时，等号成立，所以面积的最小值为4.【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0不妨设直线方程为，代入由可得当且仅当时等号成立所以面积的最小值为4【解法三】当直线斜率不存
15、在时，则为等腰直角三角形，此时，当直线斜率存在时，设直线，由消去，得，则，因为，所以即，所以解得（舍去）或，所以直线，所以直线过定点，综上：面积的最小值为4.21. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，是的中点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接交于，则是的中点连结，则，从而平面，再由，即可得到平面，由此能证明平面平面（2）连接，即可证明平面，如图以为坐标原点，分别以、为、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与面成的角的正弦值【小问1详解】证明：连接交于，则是的中点，连接，是的中点，平面，平面，平面；又，平面
16、，平面，平面，又与相交于点，平面，所以平面平面【小问2详解】解：连接，因为四边形是菱形，所以，又，所以为等边三角形，所以，又，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，如图，以为坐标原点，分别以、为、轴建立空间直角坐标系，则，设面的法向量为，依题意有，则，令，则，所以，所以直线与面成的角的正弦值是22. 已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为（1）求双曲线的方程；（2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由【答案】（1） （2）存在；定点，【解析】【分析】（1）由渐近线夹角得出渐近线的倾斜角，从
17、而得的值，再由求得得双曲线方程；（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入双曲线方程，设点，得，再设，计算，由其为常数求得，同时验证当直线斜率为0时，此值也使得为刚才的常数，即得结论【小问1详解】双曲线的渐近线为，又，故其渐近线的倾斜角小于，而双曲线的两条渐近线的夹角为，则渐近线的的倾斜角为，则，即又，则所以双曲线的方程是【小问2详解】当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入，得，即设点，则设点，则令，得，此时当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点对于点所以存在定点，使为定值【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线方程，圆锥曲线中的的定值问题，解题方法是设交点坐标为，设直线方程并代入圆锥曲线方程整理后应用韦达定理得（或），代入题设要得定值的式子，利用定值得出参数值并验证特殊表形下也成立