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1、广东省广州市西外2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .已知数列 ,满足4 =1 ,4+1=4,+3”,则 6=（）A.3 0 B.3 1 C.4 5 D.4 62 .如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）A B C。-A4GA中，E为BC延A.AB+AD-AJC.AB+AD+AAB.通+而-|丽D.AB-AD+AA3 .已知一 =（2,1,3）,石=（1,2,3）,=（7,6,2）,若h,工三向量共面，则2=（）A.9 B.3 C.-9 D.-34 .已知双曲线耳-1 =1（。0）的右顶点和抛物线y 2=8 x的焦点重合，则。的值为（）a
2、3A.1 B.2 C.3 D.45.已知圆G：（x+i y +y 2=2 5,圆G：（x-1）2+V=l,动圆M与圆C 2外切，同时与圆G内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A.+y2=13C.+/=19 6.已知三个数1,2 2B.土+匕=13 2D 44-9成等比数列，则圆锥曲线片+工=1的 离 心 率 为（）a 2B.亚 C.火 或 叵 D.立 或 叵2 3 27.函数x）=x l n（x+2）的图象在点（1,0）处的切线与直线（a-2）x+y 2 =0垂直，则实数a的 值 为（）A.-2B.-1C.1D.28.已知圆C：/+y 2=2,圆C 2：（x 3 +y 2=4.若过点（o,_ 2
3、）的直线/与圆C 1、G 都有公共点，则直线斜率的取值范围是（）,1 2 八 1 2 1 1 2A.-l,y B.0,y C.T O。l,yD.1 2T二、多选题9 .已知数列 4 为等差数列，其前几项和为S ，且%=-1，%+%=-4,下列选项错误的 是（）A.%=口 B.是递减数列 C.57=-2 1 D.S“取得最小值时，=5 或 61 0 .若方程二+=1 表示的曲线为c,则下列说法中不正确的有（）3T t-A.若 C为椭圆，则l f 3 或，1C.若C为椭圆，且焦点在y 轴上，贝 打 工0,0）的左，右焦点分别为耳，F2,正六边形ABF2CDFt的一边A”的中点恰好在双曲线匕则双曲线
4、的离心率是四、解答题17.已知函数/（x）=d-a?+M a,Z w R）的图象过点（-1,0）,且/（2）=4.求 a,6 的值；求曲线），=/（x）在 点 处 的 切 线 方 程.18.已知数列 q 是公差为g 的等差数列，数列 ,是首项为1 的等差数列，已知a2-b3=a4-b4.求 2;（2）求数列|二一|的前项和人19.如 图，直四棱柱A 8 C O-A A G 的底面是菱形，AA=4,A8=2,NB4O=60。，E,M,N 分别是8C,8 与，4。的中点.(2)证明：MN平面C Q E；(3)求面AM4与面NMA夹角的正弦值.20.已知圆C:(x-2 +(y-3)2=4,直线/：O
5、 +2)x+(2%+l)y=7，+8.(1)求证：直线/过定点，并判断直线/与圆C 的位置关系；(2)当加=1时，过圆C 上点(0,3)作圆的切线4 交直线/于点P,。为圆C 上的动点，求IPQI的取值范围.21.数列%是单调递增的等比数列，%=4吗+/+为 =1 4,数列出 满足a且 e=3/?+1 证明：数列j 是等差数列，并求 4 ,也 的通项公式；设 数 列 的前“项和为刀,，求人2 92 2.如图，椭圆，1(a 6 0)的离心率为也，其短轴和长轴的端点分别2为4 B,C,D,且|A 8|=2.试卷第4 页，共 5 页(1)求椭圆的方程；(2)尸是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线C P
6、,O P 与直线/：x=4 分别交于G、7/两点.若|G|=4,求点P的坐标；(3)直线A M,分别与椭圆交于,F两 点,其中点满足f 工 0 且r 贡 G 若面积是4 0 尸面积的5倍，求t的值.参考答案:1.D【分析】利用累加法可求得的值.【详解】由已知%-4=3 ,a2-a=3 ,a3-a2=6,L ,a6-a5=1 5 ,上 述 等 式 全 力 口 可 得=3 +6 +9 +1 2 +1 5 =4 5,/q =1 +4 5 =4 6.故选：D.2.A【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量率的表达式，即可得答案.【详解】DE =AE-AD=A B+B E-(A D+AJ)A
7、B+B C-A D-X =A B+A b-X ,故选：A.3.C【分析】利用空间向量的共面定理得到2 =+心，再利用空间向量相等的性质及坐标运算即可得解.【详解】因为,b,三 向量共面，所以存在实数加，使得2 =而+怎，即(7,6,2)=m(2,1,-3)+“(-1,2,3)=(2机-,，”+2”,-3机+3)，7 =2m-n所以，6 =加+2 ,解得见=一9,2 =-3m+3/?所以a =9.故选：C.4.B【分析】求出抛物线的焦点坐标，再根据题意可求出。的值.【详解】抛物线y 2=物的焦点为(2,0),因 为 双 曲 线 -耳=1(0)的右顶点和抛物线y2=8 x的焦点重合，a 3答案第1
8、页，共1 6页所以。=2,故选：B5.D【分析】画图，分析出|G M|+|G M|=6 2=|G G|，确定圆心 的轨迹为椭圆，求出4 =3 =8,得到轨迹方程.【详解】如图，由题意得：|CM=5-|MQ|,|GM=I+|M,其中|MQ|=WH，所以 CtM+C2M =5-|M 2|+1+|M P|=6 2 =|qc2|,-)2由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以G，G为焦点的椭圆，设 二+与=1,a-b则2 =6,c =l,解得：=3,/?2=2-c2=9-1 =8,6.D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得。值，然后分类讨论求得圆锥曲线上+片=1的离心率
9、解决即可.a 2【解答】因为三个数1,a,9成等比数列，所 以 =9,则4 =3.当。=3时，曲线方程为二+=1,表示椭圆，3 2则长半轴长为G，半焦距为1,所以离心率为立；3答案第2页，共1 6页2 2当。7时，曲 线 方 程 为 上 表 示 双 曲 线,则实半轴长为近,半焦距为右,所以离心率为V2 2故选：D7.C【分析】根据给定条件，求出函数/*)的导数，再利用导数的几何意义结合垂直条件求解作答.【详解】函数x)=xln(x+2),求导得：r(x)=ln(x+2)+*,则八-1)=-1,即函数x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线斜率为7,因为切线与直线(a 2)x+y 2
10、=0垂直，有(2-a)x(l)=-1.所以“=1.故选：C8.D【分析】由题意可知，过点(。，-2)的直线与两个圆分别相切时为临界位置，用点线距离公式列式求出相切时的左值，然后结合图形可得答案.【详解】如图，由题意可知，过点(。,-2)的直线与两个圆分别相切时为临界位置,即直线介于图形中的两直线之间，设直线/的方程为卜=丘-2,与G相切时有解得=1或%=-1由图知=-1舍去,与G相切时有I-1=2J 1+&219解得攵=1或左=0,由图知=0舍去,=立,所以直线/斜率的取值范围是L y故选：D答案第3页，共16页【分析】利用等差数列的性质及通项公式计算出相应的量，然后逐项分析即可.【详解】由等
11、差数列通项公式知：q,=4+(-1”，所以。2 +%=+。+6 d =2 q +7 d =-4 ,%=q +4d=-1,解得 d =2,q =-9,所以等差数列 ,的通项公式为：=2/7-1 1,对于选项A.%=2 x1 1-1 1 =1 1,故 A正确；对于选项B.由d =2 0,q=-9 0【详解】对于A选项：若C为椭圆，贝IJ,解得1 /2或2 vr v 3,所以A选项3-r r-l不正确；对于B选项：若C为双曲线，贝i J（3 T）（r-l）0,解得/3,所以B选项正确：对于C选项：若C为椭圆，且焦点在y轴上，贝卜-1 3 0,解得2 /3,所以C选项不正确；对于D选项：当_J 0时，
12、即1 1时，双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为产 三，f 3 f 0时，即,3时，双曲线焦点在y轴上，渐近线方程为=三，所 以D选项正确；故选：A C.1 1.A C D【分析】令=1可求;利用已知5“求。”的方法求数列 4通项公式；利用裂项相消法求数列 2的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.【详解】因为+3%+.+（2 n-l）a=2n,所以当“2 2时，+3%+.+（2 n-3）an_ 1 =2（n-l）,7两式相减得（2-1）4=2,所以4=事，又因为当”=1时，4 =2满足上式，所以数列 q的通项公式为：an=-,故A正确，B错误，2n 1h2 =1 _!_（2H+1）（2
13、M-1）（2H+1）2/?-1 2 +1，所以5“=由+包+1 2n2 -1 2 +12/7 4-1 2/1 4-1故C正确;答案第5页，共1 6页因 为 =蜡（,随 着 的 增 大，/在减小，所以数列/为递减数列，故 D正确.故选:A C D.1 2.B C D【分析】以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角,平行线间距离及线面距离.如图所示，以点。为坐标原点，D4为x 轴，C 为 y 轴，力。为 z 轴,则 A（1,O,O）,A（1，O，1），4（1,1,1）,C,（0,1,1）,尸（1,1，；），A选项：r q=f-i,o,|L 平面4 B C 的 法 向
14、量 丽=（0,0,1）,设直线PC,与底面A88所成的角为0,则 s in 0=旦5直线尸 G与底面A 8 C D 所成的角不为3 0。，故 A错误;B 选项：AB=(0,1,1),A E =1-l,0,；n-A=y+z=0设平面AgE的法向量万=(3z),则 _ 1 ,令 z=2,则河=(2,2)nAE=-x+z=02设平面AgE与底面A 8 C。的夹角为。,则 cos a=cos2.二 平面ABE与底面A B C。夹 角 的 余 弦 值 为 故 B正确;答案第6页，共 1 6 页C 选项，丽=（l,T,O）,直线尸q与直线AE的距离为：d=FEC正确;D选项，:FC、HAE,A u平面AB
15、E，尸弓仁平面又 通=（0,l,g）,平面M E的法向量元=（1,2,2）,AF-n _ 2 +i 1直线尸G与平面A 4E的距离为：A=L _=_ 故D正确;同 +（-2）2+2,3故选：B C D.2【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得+加=（加+2,1,4）,贝i J（a +B）a =2（，+2）-l+1 2 =0,解得机=-.故答案为：3,n=l1 2n,n2【分析】根据S =/+l求得4=3,当 22时,利 用%=S,-S,T求得a ”的表达式,验证首项是否适合，即可得答案.【详解】由题意数列 叫的前项和S“=/+l,则4=工=3,当”N 2时,an=Sn-S,
16、”|=n2+l-(n-l)2-(n-l)-l=2 n,q =3不适合上式,故%的通项公式4=3,H=12n,n2故答案为:3,=12n,n2答案第7页，共1 6页15 4【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式,即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径,即可得到方程，解得即可.【详解】双曲线、2一 二=1的渐近线为：Xy=,HP =0 ,m不妨取尤+my =,圆元2 +y 2 -4 y +3 =(),EP x2+(y-2)2=l,所以圆心为(0,2),半径-1,依题意圆心(0,2)到渐近线尢+冲=0的距离：解得m=或机=-.3 3故答案为：士史.3“7 1
17、3 +11 6.-3【分析】设 的 中 点 为p,连接。p,PF2,进而根据正六边形的几何关系得|0用=。，归 用=权，进而根据余弦定理得|用=孚c,再结合双曲线的定义得2“=理再求离心率即可.【详解】解：设A4的中点为P,连接OP,PF2,因为A B g C O耳是正六边形，所以，P O V A Fi,/耳。=6 0。，所以|0周=,|尸制=品，所以，在p/谯 中，由余弦定理得俨鸟=忱用2+闺周2一2归用.用C O S/P/M+4/-0 2 ,解得|PF=2ZC,答案第8页，共1 6页所以2 =|P 周一|制=c-；c,_2c _ 2 c _ V1 3 +1所以双曲线M的离心率，=五=7 二
18、 二-C C2-2故答案为：姮 里1 7.(l)a =2,=3；(2)x+y -3 =0【分析】(1)根据点(-1,0)以及/=4 列方程，从而求得“力的值.(2)利用切点和斜率求得切线方程.【详解】(1)因为函数“力=9-加+6的图象过点(T O),所以-1-4+/2 =0 0.f(x)=3xi-2 a x,-(2)=4,所以,=3 x2?-2 x2 a =1 2-4 a =4 口，由 解得：a=2,b=3.(2)由(1)知/(x)=d 2+3 ,又因为 1)=2,r(l)=3-4-1,所以曲线y =x)在(1 J(1)处的切线方程为y-2=-(X-1),即x+y-3=0.1 8.(l)b“
19、=n 4=七n+l【分析】(1)通过题意易得数列低 是首项为1,公差为1 的等差数列，进而可得结果;答案第9页，共 1 6 页(2)根据裂项相消法求和即可.【详解】(1)-么且数列%的公差为g.,也 一4=，数列 2是首项为1,公差为1的等差数列bn=l+(-l)xl=(2)证明见解析【分析】(1)连接AC,30,则4 c工8。，证明3。2平面A C G，再根据线面垂直的性质即可得证；(2)连接/E,B C，先证明AD/4 C且再证明四边形M N 3 E为平行四边形，从而可得M N)E,再根据线面平行的判定定理即可得证；(3)以。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】(1)证明
20、：连接A C B Z X A G，因为底面A3 C D为菱形，则AC NB D,因为C G !平面 AB C。，8 Z)u平面 AB Q),所以C G B Q,答案第1 0页，共1 6页又 AC n CG=C,4C,CC|U 平面 ACC,所 以 工 平 面 4CG,又 A G u 平面4Cq,所以(2)证明：连接M E,BC，因为 A4C 且所以四边形a q c 力为平行四边形,所以 A D/B。且又 E,M,N 分别是8C,3旦,4。的中点,所以 M E/BC 且 ME=B C，所以 ME/NDBLME=ND,所以四边形MN3E为平行四边形，所以 M N/DE,又M N U 平面C0 E,
21、D E u 平面GOE,所以M N/平面CQE；(3)在菱形A8CO中，Z B A D =6 0,所以AABLUBC都是等边三角形，由E 为BC的中点，得 D E 上BC,又因 AD 8C,所以 A)_LE,答案第11页，共 16页如图，以。为原点建立空间直角坐标系,则 A（2,0,0）,M（l,6,2），A（2,0,4）,N（l,0,2）,福=（0,0,4）,轲=（-1,6,-2）,西=0,0,2）,设平面A41M 的法向量为机=(x,y,z),平 面 的 法 向 量 为 =(a,4 c),令 广 石，故正=(1,0),en=a+2c=0-n=-a+y/3h-2c=0令a=2,故=（2,0,
22、-1）,所以二面角A-幽-N 的正弦值为 1_Vio20.(1)证明见解析；直线/与圆C 恒相交.（2）2 夜-2,2 0+2.【分析】(1)将直线O+2)x+(2优+l)y=7m+8化为机(x+2 y-7)+2 x+y-8=0,根据由于,”e R,可得x+2 y-7 =0 且 2 x+y-8=0,即可证明结论，求得定点坐标，说明该点在圆内，即可判断直线和圆的位置关系.(2)写出4方程，求得点尸坐标，求出I P C I,即可求得答案.答案第12页，共 16页【详解】(1)证明：由/的方程(?+2)*+(2 加+1)丫 =7?+8 得?(犬+2)，-7)+2 +丫-8 =0 ,由于,”wR,故x
23、 +2 y-7 =0 且2 x+y-8 =0,解得x =3,y =2,即直线/过定点M(3,2),因为(3-2 +(2-3)2 =2 4 ,即点M在圆C内部，所以直线/与圆C恒相交.(2)由题知/|：x =0，又机=1 时，/:x+y =5 ,所以联立r=/2+2.2 1.(1)证明见解析，a,=T,bn=-3/7-1(2)7；=8+(3 n-4)-2+l【分析】(1)根据等比数列的定义，求得方程，可得答案，利用取倒数，结合等差数列定义,可得答案；(2)利用错位相减法，可得答案.【详解】(D解：由=1“设等比数列 4 的公比为夕，则子+见+七夕=1 4,整理可得2/-5”2 =0,解得q =g
24、或2,当勺=；时，数列 4 递减，不符合题意，故 a“=%q-2=2”,b,1 1 1 c又因为匕向=玄七，4=不，所 以 一一二=3,3 +1 2%b所 以 数 列;是 以 2为首项，公差为3的等差数列，所 以;=2 +3(-1)=3 -1,所 以 =丁 .23 一 1(2)解:由(1),y-=(3 n-l)x 2 答案第1 3 页，共 1 6 页所以1,=2x2+5 x 22+8 x 23+(3-4)x2T+(3-l)x2 口27；,=2 x 22+5 x 23+8 x 24+-+(3H-4)x2n+(3n-l)x2),+l 所以匚-匚得，7；=4+3x22+23+24+.+2-(3-l)
25、x 2 e22X(1-2,|)=4+3i-(3/2-l)x2n+l=-8-(3H-4)X2),+I所以 7,=8+(3 4卜2。22.(l)y +y2-l(2)P(O,1)或 P(,|)f=l【分析】（1）根据短轴，离心率的定义与椭圆的基本量的关系求解即可.（2）设直线CP的方程为丫=乂+2）,仇 0）,联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出点尸的坐标，从而得到点G,H的坐标，根据|G|=4列出方程即可得到结果.（3）分别设直线4 0,直线8M的方程，联立椭圆的方程，再利用三角形的面积公式表达出面积是AA产面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.=4【详解】由 题 意 可 知|AB|=2b=2,解
26、 得 从=1a2=b2+c2 c2=3所以椭圆的方程为工+V=14-（2）设直线CP的方程为y=一（工+2）,（无0）由1x=4 zy人(x+2)得 G(4,6%)y=kx+2）联立直线CP的 方 程 与 椭 圆 方 程 消 去 丁可得（1+4公*+16/x+16-4=01 +y=1答案第14页，共16页 2-8 3 4k、1 +4/i +4k设a（x。，%），则（_2）XJ 6 K 4,所以 上 竺 ，即 p 1 +4公 l +4/r2 0 1 +4公又因为(2,0),所以3=21渣2=，所以直线。P的方程为y =-*(x-2),1 +4公,所以|G”|=4,因为左 0,所以衣=二或二从而得
27、P(0,l)或 电 句(3)EM e J b BW-l l M l S闰r H O,1 3直线AM的斜率为k、=-五，直线BM斜率为2=,1 3直线AM的方程为y =-x +l，直线BM的方程为y =五工一 1，得(入1卜2-4枕=0,口工=0/=言 ，口 E由 J 4 得（9+/卜2_ 2a=0 X =o,x=1 _ L,尸3.r+9QSAMF=-MAMFsinZAMF,S=MBMEsinZBME,ZAMF=ABME,5s=SABME,J5MAMF=MBME,现一幽 ME MF又，贡G,5t4f整理方程得：5(r +l)=Z2+9,解得：r =l.答案第1 5页，共1 6页【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为（西,凶）,优,先）;（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为七+x?、x,x2（或y +%、%为）的形式；（5）代入韦达定理求解.答案第1 6页，共1 6页