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1、2.2.1 对数与对数运算 第二课时 讲读设计教学目标：1. 熟练掌握对数的运算性质；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决对数计算问题。3. 熟记对数的换底公式并利会用它进行计算教学重点：对数的运算性质教学难点：对数的运算性质的应用教学过程：一、预习反馈1（1）对数定义：如果，那么数 x叫做 ，记作 ；（2）指数式与对数式的互化： ；2幂的运算性质.（1） ； （2） ； （3） .二、学习目标1.理解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化；2.会利用指数式与对数式之间的关系求对数式中变量的值。三、自学与探究(一)自学提示 整合教材知识,落实基本能力探究一: 对数运算性质及推导问题：由，如何探
2、讨和、之间的关系？问题：设, ，由对数的定义可得：M=，N= MN=，MN=p+q，即得MN=M + N根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a 0，a 1，M 0， N 0 ，则（1）；（2）；（3） .反思：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）探究二: 换底公式的推导问题1.已知指数式，将其转化为对数式是什么？问题2. 若把指数式两边同取（0, 且）为底数的对数，你能得到什么式子？你能求出的表达式吗？问题3.综合问题1、2的结果，你能得到什么结论？将得到的结论写在下
3、面：对数换底公式：换底公式的意义：可将不同底对数化为同底对数，便于使用运算性质。(二）合作探讨例1计算：（1）； （2）； （3）； （4）lg。例2 用, , 表示下列各式：（1）； （2） .例3已知，求下列各式的值：（1） （2） （3）例4将下列各式用一个对数符号表示：（1） （2） 例5利用对数的换底公式化简下列各式： (1) （2） (BC选作)（1）已知，求的值。(三)探究提升 精研高考题点,提升备考智能题型一利用对数的运算性质化简、求值例1计算下列各式的值：(1)lglg lg； (2)lg 25lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)方法一原式(5lg 22lg 7
4、)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5(lg 2lg 5)lg 10.方法二原式lglg 4lg 7lglg()lg.(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.反思与感悟1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2lg 51在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变
5、形要化到最简形式.变式训练1计算下列各式的值：(1)(lg 5)22lg 2(lg 2)2； (2).解(1)原式(lg 5)2lg 2(2lg 2)(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg 2lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21.(2)原式.题型二利用换底公式化简、求值例2计算：(1)lg 20log10025； (2)(log2125log425log85)(log1258log254log52).解(1)lg 20log100251lg 21lg 2lg 52.(2)(log2125log425log85)(log1258log254log
6、52)(log253log52log5)(log23log22log52)(31)log25(111)log52313.反思与感悟1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式.2.常用的公式有：logablogba1，logbmlogab，logab等.变式训练2(1)(log29)(log34)等于()A. B. C.2 D.4(2)log2log3log5_.答案(1)D(2)12解析(1)(log29)(log34)(log232)(log322)2log23(2log32)4log23log324.(2)原式12.题型三换底公式、对数运算性质的综合运用例3已知log18
7、9a,18b5，求log3645.解方法一log189a,18b5，log185b.于是log3645.方法二log189a,18b5，log185b.于是log3645.方法三log189a,18b5，lg 9alg 18，lg 5blg 18，log3645.反思与感悟1.这类问题一般利用换底公式、对数的运算性质求解.2.解题时应观察要求值与已知式子中底数与真数的关系，如log182log181log189.变式训练3已知log147a，log145b，则log3528_.答案解析log3528.题型四利用对数式与指数式的互化解题例4(1)设3a4b36，求的值；(2)已知2x3y5z，且
8、1，求x，y，z.解(1)方法一由3a4b36，得alog336，blog436，由换底公式得log363，log364，2log363log364log36361.方法二由3a4b36，两边取以6为底数的对数，得alog63blog64log6362，log63，log64log62，log63log62log661.(2)令2x3y5zk(k0)，xlog2k，ylog3k，zlog5k，logk2，logk3，logk5，由1，得logk2logk3logk5logk301，k30，xlog2301log215，ylog3301log310，zlog5301log56.反思与感悟1.在对
9、数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.2.对于这类连等式可令其等于k(k0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.变式训练4已知3a5bM，且2，则M_.答案解析由3a5bM，得alog3M，blog5M，故logM3logM5logM152，M.四、当堂检测1.若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子正确的个数为()logaxlogayloga(xy)； logaxlogayloga(xy)；logalogaxlogay； loga(xy)logaxlogay.A.0
10、 B.1 C.2 D.3答案A解析根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确.故选A.2.lg 83lg 5的值为()A.3 B.1 C.1 D.3答案D解析lg 83lg 5lg 8lg 53lg 8lg 125lg (8125)lg 1 0003.3. 已知2m5n10，则_.答案1解析因为mlog210，nlog510，所以log102log105lg 101.4. 计算：（1） ； （2） .五、归纳小结1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的
11、前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：logaNn(logaN)n，loga(MN)logaMlogaN，logaMlogaNloga(MN).六、课后作业一、选择题1.的值为()A.2 B. C.1 D.答案D解析原式，故选D.2.化简log6122log6的结果为()A.6 B.12 C.log6 D.答案C解析原式log6log62log6log6.3.等于()A.lg 3 B.lg 3 C. D.答案C解析原式logloglog94log35log32log35log310，故选C.4.已知lg 2a，lg 3b，则log
12、312等于()A. B. C. D.答案A解析log312.5.已知x，y为正实数，则()A.2lg xlg y2lg x2lg y B.2lg(xy)2lg x2lg yC.2lg xlg y2lg x2lg y D.2lg(xy)2lg x2lg y答案D解析2lg x2lg y2lg xlg y2lg(xy).故选D.6.如果方程(lg x)2(lg 2lg 3)lg xlg 2lg 30的两根为x1，x2，那么x1x2的值为()A.5 B.6 C.lg 2lg 3 D.lg 2lg 3答案B解析由题意得lg x1lg x2lg 2lg 3lg 6，x1x26.二、填空题7.lglg的值
13、是_.答案1解析lglglglg 101.8.化简(log43log83)(log32log92)_.答案解析原式()()log23.9.若lg 2a，lg 3b，则log512等于_.答案解析log512.10.已知函数f(x)alog2xblog3x2，且f()4，则f(2 016)_.答案0解析由f()alog2blog324，得alog22 016blog32 0162.alog22 016blog32 0162.f(2 016)alog22 016blog32 0162220.三、解答题11.计算下列各式的值：(1)； (2)lg 5(lg 8lg 1 000)(lg 2)2lg lg 0.06.解(1)原式1.(2)原式lg 5(3lg 23)3(lg 2)2lg 6lg 623lg 5lg 23lg 53lg2223lg 2(lg 5lg 2)3lg 523lg 23lg 523(lg 2lg 5)2321.