《2024届高考数学专项圆锥曲线知识全归纳.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届高考数学专项圆锥曲线知识全归纳.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、圆锥曲线圆锥曲线一、椭圆及其性质一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之和为常数(大于 F1F2)的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2abcOA1A2B2B1x=a2cx=-a2cyxF1F2abcA1A2B2B1y=a2cy=-a2c标准方程x2a2+y2b2=1 ab0y2a2+x2b2=1 ab0范围-axa且-byb-bxb且-aya顶点A1-a,0，A2a,0，B10,-b，B20,bA10,-a，A20,a，B1-b,0，B2b,0轴长长轴长=2a，短轴长=2b，
2、焦距=F1F2=2c，c2=a2-b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径PF1=a+ex0，PF2=a-ex0PF1=a-ey0，PF2=a+ey0焦点弦左焦点弦|AB|=2a+e(x1+x2)，右焦点弦|AB|=2a-e(x1+x2).离心率e=ca=1-b2a20e0,b0y2a2-x2b2=1 a0,b0范围x-a或xa，yR Ry-a或ya，xR R顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+ex0，|PF2|=
3、-a+ex0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e1准线方程x=a2cy=a2c渐近线y=baxy=abx切线方程x0 xa2-y0yb2=1x0 xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：SF1PF2=b2tan2=c y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinsin-sin=sin(+)sin-sinyxF1F2P第2页 共29页三、三、抛物线及其性质抛物线及其性质定义平面内与一个定点F和一条
4、定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线方程y2=2pxp0y2=-2pxp0 x2=2pyp0 x2=-2pyp0图形yxFx=-p2yxFx=p2yxFy=-p2yxFy=p2顶点0,0对称轴x轴y轴焦点Fp2,0F-p2,0F 0,p2F 0,-p2准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2离心率e=1范围x0 x0y0y0切线方程y0y=p x+x0y0y=-p x+x0 x0 x=p y+y0 x0 x=-p y+y0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 AB=2p(最短焦点弦)焦点弦AB为过y2=2px p0焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为.则：(1)AF=x1
5、+p2BF=x2+p2AB=x1+x2+p,(2)x1x2=p24y1y2=-p2(3)AF=p1-cosBF=p1+cos1|FA|+1|FB|=2P(4)AB=2psin2SAOB=p22sinAB为过x2=2py(p0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为.则：(1)AF=p1-sinBF=p1+sin(2)AB=2p2cosSAOB=p22cos(3)AFBF=，则：=-1+1sinyxFx=-p2ABOyxFABOy2=2px(p0)y2=2px(p0)第3页 共29页四、四、圆锥曲线的通法圆锥曲线的通法F1F2POxyOxyFPMOxyF1F2P椭圆双曲线抛物线点
6、差法与通法点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.2、直线与圆锥曲线的位置关系（1 1）直线的设法：）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y=kx+b，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a,0)则设直线：x=my+a,可避免对斜率进行讨论（2 2）研究通法：）研究通法：联立y=kx+bF(x,y)=0 得：ax2+bx+c=0判别式：判别式：=b24ac,韦达定理：x1+x2=ba，x1x2=ca（3 3）弦长公式：）弦长公式：AB=(x1
7、-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2(y1+y2)24y1y23、硬解定理设直线y=kx+与曲线x2m+y2n=1相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)由：y=kx+nx2+my2=mn,可得：(n+mk2)x2+2kmx+m(2-n)=0判别式：=4mn(n+mk2-2)韦达定理：x1+x2=-2kmn+mk2,x1x2=m(2-n)n+mk2由：|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2,代入韦达定理：|x1-x2|=n+mk24、点差法：若直线l与曲线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN中点，MN的斜率为k
8、MN，则：在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中,有kMNy0 x0=b2a2;在双曲线x2a2y2b2=1(ab0)中,有kMNy0 x0=b2a2；在抛物线y2=2px(p0)中,有kMNy0=p.(椭圆椭圆)设M、N两两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，第4页 共29页则有x12a2+y12b2=1,(1)x22a2+y22b2=1.(2)(1)(2)，得x12x22a2+y12y22b2=0.y2y1x2x1y2+y1x2+x1=b2a2.又kMN=y2y1x2x1,y1+y2x1+x2=2y2x=yx.kMNyx=b2a2.圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程1、参数方
9、程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数x=f(t)y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2、直线的参数方程(1)过定点P(x0,y0)、倾斜角为(2)的直线的参数方程x=x0+tcosy=y0+tsin(t为参数)(2 2)参数参数t t的几何意义：的几何意义：参数t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M0M|
10、=|t|，|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离.当点M在M0上方时，t0；当点M在M0下方时，tb0)的参数方程为x=acosy=bsin(为参数)；椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的参数方程为x=bcosy=asin(为参数)；(2 2)参数参数 的几何意义：的几何意义：参数表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P对应的离心角为=QOx(过P作PQx轴，交大圆即以2a为直径的圆于Q)，切不可认为是=POx.5 5、双曲线的参数方程（1）双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)的参数方程x=asecy=btan(为参数)；sec=1cos双曲线y2a2-x2b2=1(ab0)的参数方程x
11、=bcoty=acsc(为参数)；csc=1sin（2 2）参数）参数 的几何意义：的几何意义：参数表示双曲线上某一点的离心角.6、抛物线的参数方程（1）抛物线y2=2px参数方程x=2pt2y=2pt(t为参数，t=1tan)；（2 2）参数）参数t t的几何意义：的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t=1kOP仿射变换与齐次式仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.2、椭圆的变换：椭圆b2x2+a2y2=a2b2变换内容x=xy=aby x=xy=bay x=baxy=y x=abxy=y 圆方程x
12、2+y2=a2x2+y2=b2图示yxABOCyxABOCyxABOCyxABOC点坐标A(x0,y0)A(x0,aby0)A(x0,y0)A(bax0,y0)斜率变化k=abk，由于kACkBC=1kACkBC=bakACbakBC=b2a2k=abk，由于kACkBC=1kACkBC=bakACbakBC=b2a2弦长变化则AB=1+k2x1-x2AB=1+k2x1-x2=1+(ab)2k2x1-x2yxPOQ第6页 共29页面积变化SABC=baSABC(水平宽不变，铅锤高缩小)SABC=abSABC(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，kOPkAB=b2a2，中垂线问题kOPkMP
13、=b2a2，且xM=c2x0a2yN=-c2y0b2，拓展拓展1 1：椭圆内接ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到OBC为120的等腰三角形；ABC为等边三角形；拓展拓展2 2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OAPB4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且kOAkOB=b2a2,则经过仿射变换后kOAkOB=1，所以SAOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：kOAkOB=b2a2SAOB=ab2OM=sinOA+cosOB 0,2，三者等价5、平移构造齐次式：（圆
14、锥曲线斜率和与积的问题）（1 1）题设：）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2 2）步骤：）步骤：将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.由中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C，所有直线方程统一写为：mx+ny=1将圆锥曲线C展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1 1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆
15、x2a2+y2b2=1(ab0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则xMxN=a2时，AMN=BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则yMyN=b2时，AMN=BMN，即短轴为角平分线；2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分AOC则有：k1+k2=tan+tan(-)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程第7页 共29页(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的
16、直线系方程为y-y0=k(x-x0)(除直线x=x0),其中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,其中A,B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0(除l2)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+=0(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0(A0，B0)垂直的直线
17、系方程是Bx-Ay+=0,是参变量4、圆系方程(1)过直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0,是待定的系数(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,是待定的系数(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A,B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中,分别为MA,MB的倾斜角，则：、MA MB 为定值直线AB恒过定点；、kMAkMB
18、为定值直线AB恒过定点；、+=(00)上的两动点，,分别为OA,OB的倾斜角，则：OAOBkOAkOB=-1-=2直线AB恒过定点(2p,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于右顶点D的两动点，其中,分别为DA,DB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DADBkDAkDB=-1-=2直线AB恒过定点(ac2a2+b2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y-y0=k(x-x0)可求得定点坐标(x0,y0)2含参形式复杂的通过变换主元法变换主元法求解定点坐标.变换主元法：变换主元法：将直线化为h(x,y)+f(x,y)
19、=0,解方程组：h(x,y)=0f(x,y)=0 可得定点坐标.eg:直线方程：（2m+1）x+(m-5)y+6=0,将m看作主元，按照降幂排列：（2x+y）m+x-5y+6=0,解方程组：2x+y=0 x-5y+6=0,解得：x=-611y=1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：圆的直径式方程：（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，第8页 共29页该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明
20、点恒在圆上.(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）SABC=12MNd，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）SABC=12水平宽铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）SAOB=12x1y2-x2y1例题例题1.1.在平面直角坐标系xOy中，已知点O 0,0，A x1,y1，B x2,y2不共线，证明：AOB的面积为SAOB=12x1y2-x2y1.2、面积中最值的求解(1)f(x)=x2+x+x+n型：令t=x+nx=t-n进行代换后裂项转化为：y=at+bt(2)f(x)=x+nx2+x+型：先在分母中配出分子式f(x)=x+n(x+n)2+(x+n)+令t=x
21、+n，此时：y=tt2+t+，分子分母同时除t，此时y=1t+t+，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f(x)=x+x+n型：令t=x+n x=t2-n进行代换后裂项，可转化为：y=at+bt第9页 共29页五、五、椭圆的二级结论椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e b 0)的两个顶点为 A1(-a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上，则在点P0处的切线方程是x0 xa2+y0yb2=
22、1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0 xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则kOMkAB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0 xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0 xa2+y0yb2.15.若 PQ 是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上对
23、中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB0),则(1)1a2+1b2=A2+B2;(2)L=2 a4A2+b4B2a2A2+b2B2.第10页 共29页17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(ab0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点Ma2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0.(ii)对C2上任一点P(x0,y0)在C1上存在唯一
24、的点M,使得M的任一直角弦都经过P点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a0,.b0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m1)的充要条件是k1k2=-1+m1-mb2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a 0,b 0)上任一点 A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线BC有定向且kBC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2=，则椭圆的焦点三角形的面积
25、为SF1PF2=b2tan2，P acc2-b2tan22,b2ctan2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2=,PF2F1=，则a-ca+c=tan2tan2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1e b 0)上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 2a-|AF2|PA|+|PF1|2a+|AF2|,当
26、且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=acosy=bsin(ab0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2.29.设 A,B 为椭圆x2a2+y2b2=k(k 0,k 1)上两点，其直线 AB 与椭圆x2a2+y2b2=1
27、相交于 P,Q,则 AP=BQ.第11页 共29页30.在 椭 圆x2a2+y2b2=1 中，定 长 为 2 m(o b0)的通径，定长线段 L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是 AB 中点，则当 l S 时，有(x0)max=a2c-l2ec2=a2-b2,e=ca;当 l b0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2=,PF1F2=,F1F2P=，则有sinsin+sin=ca=e.35.经过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A
28、1|P2A2|=b2.36.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.(1)1|OP|2+1|OQ|2=1a2+1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2a2+b2;(3)SOPQ的最小值是a2b2a2+b2.37.MN是经过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN 是经过椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a b 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心 O 的半弦 OP MN，则2a|MN|+1|OP|2=1a2+1b2.39.设椭圆x2a2+y
29、2b2=1(ab0),M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l：x=a2m(或y=b2m)上.40.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.第12页 共29页41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k0)的平行弦的中
30、点必在直线l：y=kx的共轭直线y=kx上,而且kk=-b2a2.43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA PBPC PD=b2cos2+a2sin2b2cos2+a2sin2.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，F1PF2的外(内)角平分线为l，作 F1、F2分别垂直 l 于 R、S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、S 形成的轨迹方程是 x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x xc2a2y2+b2xc2.45.设ABC内接于椭圆，且AB为的直径
31、，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)和x2a2+y2b2=(0b0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交
32、于点P(x0,0),则-a2-b2ax0b0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2=，则(1)|PF1|PF2|=2b21+cos.(2)SPF1F2=b2tan2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则MBN=90a-ma+m=a2n-m2b2(n+a)2.第13页 共29页52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点PL，若EPF=，则是锐角且sine或arcsine(当且仅当|PH|
33、=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL，e是离心率，EPF=，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则 是锐角且 sin e 或 arcsine(当且仅当|PH|=abc时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点PL，EPF=,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且sine2或arcsine2(当且仅当|PH|=bca2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来
34、，则b2|F1A|F1B|(2a2-b2)2a2(当且仅当ABx轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设 A、B 是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB=,PBA=,BPA=，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cos|a2-c2cos2.(2)tantan=1-e2.(3)SPAB=2a2b2b2-a2cot.57.设A、B 是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且 xA、xB的横坐标xAxB=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、
35、Q两点，则PBA=QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PAB+QAB=180.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且PBA=QBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足xAxB=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且PAB+QAB=180,则点A、B的横坐标满足xAxB=a2.59.设A,A是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ是与AA垂直的弦，则直线AQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b
36、2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的左焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB、CD 则8ab2a2+b2|AB|+|CD|2(a2+b2)a.第14页 共29页61.到椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)两焦点的距离之比等于a-cb(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆(xa)2+y2=b2.62.到椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴两端点的距离之比等于a-cb(c为半焦距)的动点 M的轨迹是姊妹圆 xae2+y2=be2.63.到椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两准线和x轴的交点的距离之比为a-cb(c为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 xae22+y2=be22(
37、e为离心率).64.已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一个动点，A,A是它长轴的两个端点,且AQAP,AQAP，则Q点的轨迹方程是x2a2+b2y2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的端点为A,A,P(x1,y1)是椭圆上的点过P作斜率为-b2x1a2y1的直线l，过A,A分别作垂直于长轴的直线交l于M,M,则(1)|AM|AM|=b2.(2)四边形MAAM面积的最小值是2ab.67.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点
38、F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.68.OA、OB是椭圆(x-a)2a2+y2b2=1(a0,b0)的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab2a2+b2,0.(2)以OA、OB 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 x-ab2a2+b22+y2=ab2a2+b22(x0).69.P(m,n)是椭圆(x-a)2a2+y2b2=1(ab0)上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则(1)直线AB必经过一个定点2ab2+m(a2-b2)a2+b2,n(b2-a2)a2+b2.(2)以PA、PB为直径的两圆的另
39、一个交点 Q的轨迹方程是x-ab2+a2ma2+b22+y-b2na2+b22=a2b4+n2(a2-b2)(a2+b2)2(xm且yn).70.如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么(1)d1d2=b2，且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相切.(2)d1d2b2，且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相离，(3)d1d2b0)的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、第15页 共29页D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的内部一定点，
40、AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦 AB 平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦 AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径
41、之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,
42、则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=bax及y=-bax第16页 共
43、29页的平行线，与x轴于M,N，与y轴交于R,Q.,O为原点，则：(1)|OM|2+|ON|2=2a2；(2)|OQ|2+|OR|2=2b2.90.过平面上的 P点作直线 l1:y=bax及l2:y=-bax的平行线，分别交 x轴于 M,N，交 y轴于 R,Q.(1)若|OM|2+|ON|2=2a2，则P的轨迹方程是x2a2+y2b2=1(a0,b0).(2)若|OQ|2+|OR|2=2b2，则P的轨迹方程是x2a2+y2b2=1(a0,b0).91.点P为椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过 P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y
44、=-bax于Q,R，记OMQ与ONR的面积为S1,S2，则：S1+S2=ab2.92.点P为第一象限内一点，过 P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y=-bax于Q,R，记OMQ与ONR的面积为S1,S2，已知S1+S2=ab2，则P的轨迹方程是x2a2+y2b2=1(a0,b0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b2a，过焦点最长弦为长轴94.过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.95.与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)有共焦点的椭圆方程为x2a2+y2b2+=1(ab0，-b2)96.与椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)有共焦点的椭圆方
45、程为y2a2+x2b2+=1(ab0，-b2)97.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的PF1F2叫做焦点三角形若r1=|PF1|，r2=|PF2|，F1PF2=，PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中：当r1=r2时，即点P为短轴端点时，最大；cos=r21+r22-4c22r1r2=r1+r22-2r1r2-4c22r1r2=4b22r1r2-1=2b2r1r2-12b2r1+r222-1=2b2-a2a2=b2-c2a2当且仅当r1=r2时，等号成立.S=12|PF1|PF2|sin=c|y0|=sin1+cosb2=b2tan2，当|
46、y0|=b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；PF1F2的周长为2(a+c)98.AB为过F的焦点弦，则1FA+1FB=2ab299.已知椭圆:x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点分别为F1、F2.椭圆在点P处的切线为l，Ql.且满第17页 共29页足AQF1=014.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.5.PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则PF1F2的内切圆必切于与P
47、在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上，则在点P0处的切线方程是x0 xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0 xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为A
48、B的中点，则kOMkAB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0 xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0 xa2-y0yb2.15.若 PQ 是双曲线x2a2-y2b2=1(b a 0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).第19页 共29页16.若双曲线x2a2-y2b2=1(ba0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1
49、(AB0),则(1)1a2-1b2=A2+B2;(2)L=2 a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(ab0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点Ma2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0.(ii)对C2上任一点P(x0,y0)在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P
50、1P2通过定点M(mx0,-my0)(m1)的充要条件是k1k2=1+m1-mb2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,bo)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点F1PF2=，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2=b2cot2=b22tan，P acc2+b2cot22,b2ccot2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,PF1