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1、圆锥曲线专题01离心率问题21五组秒杀公式模型 2第组秒杀公式2第组秒杀公式6第组秒杀公式10第组秒杀公式12第组秒杀公式142建立 f(a，b，c)=0模型171 f(a，b，c)=0型(明显)172 f(a，b，c)=0型(隐含)213离心率范围(最值)模型274椭圆(双曲线)+圆(抛物线)模型 351椭圆(双曲线)+圆(抛物线)求范围型 352椭圆(双曲线)+圆(抛物线)求值型38专题02共焦点椭圆、双曲线模型 44|MF1|=a+m，|PF2|=a-m；442sin2e21+2cos2e22=146专题03圆锥曲线模型 501椭圆模型 502双曲线模型 553抛物线模型 614含两种曲
2、线模型 75专题04最值模型 831几何法解决的最值模型 832代数法解决的最值模型 90专题05范围问题模型 971用函数思想解决的模型 972用建立不等关系解决的的模型98专题06标准方程(轨迹)的模型1021椭圆的标准方程 1022抛物线的标准方程 1073双曲线标准方程的模型 1094动点的轨迹方程 112专题07定点模型（定点问题-确定方程）1161已知核心方程(显性)之直线过定点模型1162 已知核心方程(隐性)和未知核心方程直线过定点模型125题型一已知核心方程(隐性)125题型二未知核心方程1283圆过定点模型 134专题08定值问题-巧妙消参 1461斜率型定值型问题 146
3、题型一斜率问题146题型二斜率之和问题151题型三斜率之积问题154题型四斜率综合问题1592距离型定值型问题 1623面积型定值型问题 177题型一三角形面积问题177题型二两三角形面积的和差积商问题184题型三四边形面积问题1874数量积、角度及参数型定值问题 190题型一数量积型定值问题190题型二角度型定值问题197题型三参数型定值问题200专题09取值范围模型 2031斜率型取值范围模型 2032参数及点的坐标(横或纵)型取值范围模型2133长度和距离型取值范围模型 2254面积与数量积型取值范围模型 235专题10最值问题-构造函数2461单变量型三角形面积最值问题 2462双变量
4、型三角形面积最值问题 2543 三角形面积型最值逆向与三角形面积运算型最值问题2614 距离型、参数型、数量积型及四边形面积型最值问题269专题11证明关系型问题2841证明数量关系型问题 2842证明位置关系型问题 297专题12探索性问题-肯定结论3081探究是否存在常数型问题 3082探究是否存在点型问题 3163探究是否存在直线型问题 32812024届高考数学专项圆锥曲线模型含答案专题专题0101离心率问题离心率问题1五组秒杀公式模型第组秒杀公式第组秒杀公式(1)e椭圆=ca=1-ba2；(2)e双曲线=ca=1+ba2=1+k2=1+tan2(其中与k为渐近线的倾斜角与斜率)例例
5、1 1 (1)已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的两条渐近线的夹角为 60，则双曲线 C 的离心率为()A2 B3 C3 或2 33D2 33或2答案答案 D 解析解析秒杀 两条渐近线的夹角为 60，一条渐近线的倾斜角为 30，斜率为33 e=1+k2=2 33或一条渐近线的倾斜角为60，斜率为3e=1+k2=2故选D通法 两条渐近线的夹角为 60，且两条渐近线关于坐标轴对称，ba=tan 30=33或ba=tan 60=3由ba=33，得b2a2=c2-a2a2=e2-1=13，e=2 33(舍负)；由ba=3，得b2a2=c2-a2a2=e2-1=3，e=2(舍负)故
6、选D(2)双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线方程为y=7x，则E的离心率为()A2B2 147C2 2 D2 3答案答案C解析解析秒杀渐近线的斜率为 7e=1+k2=2 2通法由题意，双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线方程为y=7x，即ba=7，所以双曲线的离心率为e=ca=a2+b2a2=1+ba2=2 2，故选(3)(2019全国)双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为 130，则C的离心率为()A2sin 40B2cos 40C.1sin50D.1cos50答案答案 D D 解析解析秒杀由题意可得-ba=tan 130，所
7、以 e=1+b2a2=1+tan2130=1+sin2130cos2130=1|cos130|=1cos50故选D(4)(2017全国)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为()A63B33C23D13答案答案A解析解析秒杀由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a又直线bx-ay+2ab=0与圆相切，圆心到直线的距离d=2aba2+b2=a，解得a=3b，ba=13，e=1-ba2=1-132=63故选A(5)(2019全国)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，
8、b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若F1A=AB，F1BF2B=0，则C的离心率为_2答案答案2解析解析秒杀由F1A=AB，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2又F1BF2B=0，F1BF2=90 OF2=OB，OBF2=OF2B又 F1OA=BOF2，F1OA=OF2B，BOF2=OF2B=OBF2，OBF2为等边三角形一条渐近线的倾斜角为60，斜率为3e=1+k2=2通法一：由F1A=AB，得 A 为 F1B 的中点又 O 为 F1F2的中点，OA BF2又F1BF2B=0，F1BF2=90 OF2=OB，OBF2=OF2B又
9、F1OA=BOF2，F1OA=OF2B，BOF2=OF2B=OBF2，OBF2为等边三角形如图所示，不妨设B为c2，-32c点B在直线y=-bax上，ba=3，离心率e=ca=2通法二：F1BF2B=0，F1BF2=90在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|=|OB|=c如图，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得|BH|OH|=ba，且|BH|2+|OH|2=|OB|2=c2，|BH|=b，|OH|=a，B(a，-b)，F2(c，0)又F1A=AB，A为F1B的中点OAF2B，ba=bc-a，c=2a，离心率e=ca=2【对点训练】【对点训练】1已知F1，F2分别是双曲线x
10、2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交渐近线于点M，N，且点M，N在x轴的同侧，若四边形MNF2F1为正方形，则该双曲线的离心率为()A2 B3 C2D51答案答案D解析解析秒杀由题意，e=1+k2=5通法不妨设点M，N在x轴的上方，把x=c代入渐近线的方程y=bax，得y=bca因为四边形MNF2F1为正方形，所以bca=2c，所以b=2a，由此可得c=5a所以该双曲线的离心率e=ca=5故选D2已知双曲线x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的一条渐近线与直线 x+3y+1=0 垂直，则双曲线的离心率等于()A6 B2 33C10 D32答案答
11、案C解析解析秒杀由于双曲线的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的渐近线方程为y=3x，e=1+k2=10通法由于双曲线的一条渐近线与直线 x+3y+1=0垂直，则双曲线的渐近线方程为 y=3x，可得ba=3，可得b2=9a2，即c2-a2=9a2，亦即c2=10a2，故离心率为e=ca=103已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为()A2 B3 C2D53答案答案C解析解析秒杀依题意，设双曲线的渐近线y=bax的倾斜角为，则由双曲线的对称性得3=3，=3，e=1+k2=2选C通法依题
12、意，设双曲线的渐近线y=bax的倾斜角为，则由双曲线的对称性得3=，=3，ba=tan3=3，双曲线C的离心率e=1+ba2=2，选C4双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为()A2 B3 C2D624答案答案A解析解析秒杀由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为4，e=1+k2=2故选A通法由题易知双曲线 C 的一条渐近线与 x 轴的夹角为4，故双曲线 C 的离心率 e=cos4-1=2故选A5(2019天津)已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l若l与双曲线x2a2-
13、y2b2=1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A2 B3 C2D55答案答案D解析解析秒杀由题设知k=2，e=1+k2=5故选D通法由已知易得，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线l：x=-1，所以|OF|=1又双曲线的两条渐近线的方程为y=bax，不妨设点A-1，ba，B-1，-ba，所以|AB|=2ba=4|OF|=4，所以ba=2，即b=2a，所以b2=4a2又双曲线方程中c2=a2+b2，所以c2=5a2，所以e=ca=56已知F是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线
14、交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|=2a，记该双曲线的离心率为e，则e2=()A1+172B1+174C2+52D2+546答案答案A解析解析秒杀由题意得，e=1+4e2,e4-e2-4=0，解得e2=1+172，故选A通法由题意得，F(-c，0)，该双曲线的一条渐近线为y=-bax，将x=-c代入y=-bax得y=bca，bca=2a，即bc=2a2，4a4=b2c2=c2(c2-a2)，e4-e2-4=0，解得e2=1+172，故选A7(2017全国)若双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2B3 C
15、2 D2 337答案答案A解析解析秒杀设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，化成一般式bx-ay=0，圆心(2，0)到直线的距离为22-12=|2b|a2+b2，解得ba=3，e=1+ba2=28过双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为()A3B)5C10D138答案答案C解析解析秒杀双曲线渐近线方程为y=bax，与直线y=-(x-a)联立由-bax=-x+a，得x=a2a-b，由bax=-x+a，得x=a2a+b根据题意，若a2a-ba=a2a+b2，得a(a
16、-b)=(a+b)2，此式不可4能，若a2a+ba=a2a-b2，则 a(a+b)=(a-b)2，解得 b=3a双曲线的离心率 e=1+ba2=10故选C9设F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且|F1F2|=2|OP|，PF1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是()A5 B2 C4D29答案答案B解析解析秒杀由|F1F2|=2|OP|可知|OP|=c，所以PF1F2为直角三角形，可知a2=b21tan2a2=b2，e=1+ba2=2通法由|F1F2|=2|OP|可知|OP|=c，所以 PF1F2为直角三角形，且 PF1 PF
17、2由 SPF1F2=a2可知|PF1|PF2|=2a2，又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2(|PF1|-|PF2|)2=-2|PF1|PF2|+|F1F2|2，即4a2=-4a2+4c2，e2=c2a2=84=2，又e1，e=2，故选B10设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0t0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF 与FB 反向，则该双曲线的离心率为()A52B3 C5 D5211答案答案C解析解析秒杀设实轴长为2a，虚轴
18、长为2b，令AOF=，则由题意知tan=ba，在AOB中，AOB=180-2，tanAOB=-tan2=|AB|OA|，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，设|OA|=m-d，|AB|=m，|OB|=m+d，OA BF，(m-d)2+m2=(m+d)2，整理得 d=14m，-tan2=-2tan1-tan2=|AB|OA|=m34m=43，解得ba=2或ba=-12(舍去)，e=1+ba2=512已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且MF NF=0，MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为_12答案答案2 解析解析秒杀因为MF
19、NF=0，所以MF NF 设双曲线的左焦点为F，则由双曲线的对称性知四边形FMFN为矩形，则有|MF|=|NF|，|MN|=2c不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF|-|NF|=2a，所以|MF|-|NF|=2a因为SMNF=12|MF|NF|=ab，所以|MF|NF|=2ab在RtMNF中，|MF|2+|NF|2=|MN|2，即(|MF|-|NF|)2+2|MF|NF|=|MN|2，所以(2a)2+22ab=(2c)2，把c2=a2+b2代入，并整理，得ba=1，所以e=ca=1+ba2=25第组秒杀公式第组秒杀公式(1)e椭圆=ca=2c2a=|F1F2|PF1|+|PF2|
20、=sinF1PF2sinF1F2P+sinF2F1P(2)e双曲线=ca=2c2a=|F1F2|PF1|-|PF2|=sinF1PF2|sinF1F2P-sinF2F1P|例例 2 2 (6)设椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2 F1F2，PF1F2=30，则C的离心率为()A36B13C12D33答案答案D解析解析秒杀在RtPF2F1中，令|PF2|=1，PF1F2=30，|PF1|=2，|F1F2|=3e=2c2a=|F1F2|PF1|+|PF2|=33通法如图，在RtPF2F1中，PF1F2=30，|F1F2|=2c，
21、|PF1|=2ccos30=4 3c3，|PF2|=2ctan 30=2 3c3|PF1|+|PF2|=2a，即4 3c3+2 3c3=2a，可得3c=ae=ca=33(7)(2018全国)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F1=60，则C的离心率为()A1-32B2-3 C3-12D3-1答案答案 D 解析解析秒杀 e=ca=2c2a=|F1F2|PF2|+|PF1|=sinF1PF2sinPF1F2+sinPF2F1=sin90sin30+sin603-1故选D通法由题设知 F1PF2=90，PF2F1=60，|F1F2|=2c，所以|PF2|=c，
22、|PF1|=3c由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，即3c+c=2a，所以(3+1)c=2a，故椭圆C的离心率e=ca=23+1=3-1故选D(8)已知 F1，F2分别是双曲线 E：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，sinMF2F1=13，则E的离心率为()A2 B32C3 D2答案答案A解析解析秒杀作出示意图，如图，离心率e=ca=2c2a=|F1F2|MF2|-|MF1|=sinF1MF2sinMF1F2-sinMF2F1=2 231-13=2故选A6通法因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|=b2a又sinMF2F1=1
23、3，所以|MF1|MF2|=13，即|MF2|=3|MF1|由双曲线的定义，得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=2b2a，所以b2=a2，所以c2=b2+a2=2a2，所以离心率e=ca=2故选A(9)点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，F1PF2的最大值是60，则椭圆的离心率e=_答案答案12解析解析秒杀e=ca=2c2a=|F1F2|PF2|+|PF1|=12通法如图所示，当点 P与点B重合时，F1PF2取得最大值60，此时|OF1|=c，|PF1|=|PF2|=2c由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=4c=2a，所以椭圆的离心率e=ca=12(10)椭圆
24、C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，若F关于直线3x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为_答案答案3-1解析解析秒杀设F为椭圆的右焦点，则AFAF，AFF=3，|AF|=3|AF|，|FF|=2|AF|，因此椭圆C的离心率为2c2a=|FF|AF|+|AF|=23+1=3-1(11)(2018北京)已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(ab0)，双曲线N：x2m2-y2n2=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 _；双曲线N的离心率为_答案答案3-12解析解析秒杀双曲线N的离心率e1=1+tan260
25、=2椭圆M的离心率e2=sinFDCsinDFC+sinDCF=sin90sin30+sin60=3-1通法一：如图，双曲线N的渐近线方程为y=nmx，nm=tan 60=3，双曲线N的离心率e1满足e21=1+n2m2=4，e1=2由y=3x，x2a2+y2b2=1，得x2=a2b23a2+b2设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|=2x=c，4x2=c24a2b23a2+b2=a2-b2，得3a4-6a2b2-b4=0，3-6b2a2-b2a22=0，解得b2a2=2 3-3椭圆M的离心率e22=1-b2a2=4-2 3e2=3-17通法二：双曲线N的渐近线方程为y=nmx，则nm
26、=tan 60=3又c1=m2+n2=2m，双曲线N的离心率为c1m=2如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|=2c2=2，即c2=1又 E为椭圆 M上一点，则|EF|+|EC|=2a，即1+3=2a，a=1+32椭圆M的离心率为c2a=21+3=3-1(12)如图，F1，F2是椭圆 C1与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的交点，若 AF1BF1，且AF1O=3，则C1与C2的离心率之和为()A2 3 B4C2 5 D2 6答案答案A解析解析秒杀连接AF2，椭圆C1的离心率e1=sinF1AF2sinAF1F2+sinA
27、F2F1=sin90sin60+sin30=3-1双曲线C2的离心率e2=sinF1AF2sinAF1F2-sinAF2F1=sin90sin60-sin30=3+1e+e1=2 3通法设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，又AF1BF1，且AF1O=3，故|AF1|=|OF1|=|OA|=|OB|=c，A-c2，32c，代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，结合b2=a2-c2及e=ca，整理可得，e4-8e2+4=0，0e0，b0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为()A3 B2 33C1+3
28、D2+314答案答案C解析解析秒杀设F为双曲线的左焦点，连接PF，则F PF=90，PFF=30，PFF=60，e=ca=2c2a=|F1F2|PF2|-|PF1|=sin90|sin30+sin60|3+1故选C8通法设 F 为双曲线的左焦点，|FF|=2c，依题意可得|PO|=|PF|=c，连接 PF，由双曲线的定义可得|PF|-|PF|=2a，故|PF|=2a+c，在 PF O 中，POF =120，由余弦定理可得 cos120=c2+c2-(2a+c)22c2，化简可得c2-2ac-2a2=0，即ca2-2ca-2=0，解得ca=1+3 或ca=1-3(不合题意，舍去)，故双曲线的离心
29、率e=1+3，故选C15已知等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=2CD=4，BAD=60，双曲线以A，B为焦点，且经过C，D两点，则该双曲线的离心率等于()A2B3C5D3+115答案答案D解析解析秒杀因为AB=2CD=4，BAD=60，所以DB=23，AD=BC=2，e=ca=2c2a=|AB|BD|-|AD|=23-1=3+1故选C通法因为 AB=2CD=4，BAD=60，所以 DB=23，AD=BC=2，则由双曲线的定义可得 2a=|DB|-|DA|=23-2，2c=|AB|=4，即3-1=a，c=2，故双曲线的离心率是e=ca=23-1=23+12=3+1故选D16已知F是椭圆E：x2
30、a2+y2b2=1(ab0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=2|QF|，且PFQ=120，则椭圆E的离心率为()A13B12C33D2216答案答案C解析解析秒杀设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1根据对称性，线段FF1与线段PQ在点 O 处互相平分，所以四边形 PFQF1是平行四边形，|FQ|=|PF1|，FPF1=180-PFQ=60，又|FP|=2|PF1|，所以FPF1是直角三角形，FF1P=90，FPF1=60，F1FP=30，e=ca=2c2a=|F1F2|PF2|-|PF1|=sin60|sin90+sin30|=33故选C通法设F1是椭圆
31、E的右焦点，连接PF1，QF1根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|=|PF1|，FPF1=180-PFQ=60，根据椭圆的定义，|PF|+|PF1|=2a，又|PF|=2|QF|，所以|PF1|=23a，|PF|=43a，而|F1F|=2c，在 F1PF 中，由余弦定理，得(2c)2=23a2+43a2-223a43acos60，得c2a2=13，所以椭圆E的离心率e=ca=33故选C17已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y=bax恰为线段PF2的垂直平分线
32、，则双曲线C的离心率为()A2 B3 C5 D617答案答案C解析解析秒杀由已知F1PF2是直角三角形，F2PF1=90，sinPF1F2=bc，PF2F1=ac，e=ca=sin90|sinPF1F2+sinPF2F1|=bcac1|-|即ba=2，所以e=1+ba2=5故选C通法如图，直线PF2的方程为y=-ab(x-c)，设直线PF2与直线y=bax的交点为N，易知Na2c，abc又9线段PF2的中点为N，所以P2a2-c2c，2abc因为点P在双曲线C上，所以(2a2-c2)2a2c2-4a2b2c2b2=1，即5a2=c2，所以e=ca=5故选C18椭圆C：x2a2+y2b2=1(a
33、b0)的左焦点为F，若F关于直线3x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A12B3-12C32D3-118答案答案D解析解析秒杀设F1是椭圆C的右焦点，连接AF1，AF由已知F1AF是直角三角形，FAF1=90，AF1F=60，AFF1=30，e=sinF1AFsinAF1F+sinAFF1=sin90sin60+sin303-1故选D通法设 F(-c，0)关于直线3x+y=0 的对称点为 A(m，n)，则nm+c(-3)=-1，3m-c2+n2=0，解得 m=c2，n=32c，代入椭圆方程可得c24a2+34c2b2=1化简可得e4-8e2+4=0，又0e0，b0)，则|
34、BM|=|AB|=2a，MBx=180-120=60，M 点的坐标为 2a，3a M 点在双曲线上，4a2a2-3a2b2=1，a=b，c=2a，e=ca=2故选D10(14)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A，过原点O的直线l与C交于点P，Q，且直线AP与直线AQ的斜率之积为-12，则C的离心率是()A12B63C22D24答案答案C解析解析秒杀k1k2=e2-1-12=e2-1e=22故选C通法设P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)，A(a，0)所以kAPkAQ=y1x1-a-y1-x1-a=2211yx-a2，又因为21xa2+21yb2=1y21=21b2(a2
35、-x)a2，所以kAPkAQ=-b2a2，即b2a2=12，所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=22，故选C(15)设A1，A2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得kPA1kPA2-12，则该椭圆的离心率的取值范围是()A 0，12B 0，22C22，1D12，1答案答案C解析解析秒杀k1k2=e2-1e2-1-12e22，故选C通法椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A1(-a，0)，A2(a，0)，设 P(x0，y0)，根据题意，kPA1kPA2=y20 x20-a2-12，而x20a2+y20b2=1，所以y20
36、x20-a2=-b2a2，于是b2a212，即a2-c2a212，1-e222，又e1，故22e0，b0)上，且关于坐标原点 O对称若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPAkPB=3，则双曲线C的离心率为()A2B4C10 D10答案答案A解析解析秒杀k1k2=e2-13=e2-1e=2故选A通法设A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|x1|)，则 B(-x1，-y1)，则 kPAkPB=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21因为点P，A 在双曲线 C 上，所以 b2x20-a2y20=a2b2，b2x21-a2y21=a2b2，两式相减可
37、得y20-y21x20-x21=b2a2，故b2a2=3，于是 b2=3a2又因为c2=a2+b2，所以双曲线C的离心率e=1+ba2=2故选A(17)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，若k1k2=54，则双曲线的离心率为()A2 B32C2D52答案答案B解析解析秒杀k1k2=e2-154=e2-1e=32故选B通法设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(-x1，-y1)，k1k2=y2-y1x2-x1y2+y1x2+x1=y22-y21x22-x21，由点M、N在双曲线上得x21
38、a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1，两式相减可得y22-y21x22-x21=b2a2，k1k2=54，b2a2=54，b=52a，c=a2+b2=1132a，e=ca=32故选B【对点训练】【对点训练】19设A1，A2分别为双曲线C：y2a2-x2b2=1(a0，b0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1kMA212，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A 0，62B 1，62C62，+D 1，3219答案答案B解析解析秒杀k1k2=e2-1e2-112，解得1e2(*)又点M(x0，y0)在双曲线y2a2-x2b2=1上，所以y20=a2x20b2+1，代入
39、(*)式化简得a2b22，所以b2a212，所以c2-a2a2=e2-112，解得1e62故选B20已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是_20答案答案32，1 解析解析秒杀 k1+k2=1，k1k2=e2-1由基本不等式得，1=k1+k2 2 k1k2=e2-1，解得32eb0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则B-x1，-y1，所以x2a2+y2b2=1，x21a2+y21b2=1，两式相减得x2-x21a2=-y2-y21b2，所以y2-y21x2-x21=-b2a2，所以直线 PA，PB 斜率的
40、绝对值之和为y-y1x-x1+y+y1x+x12y2-y21x2-x21=2ba，由题意得2ba1，所以 a24b2=4a2-4c2，即 3a24c2，所以 e234，又因为0e1，所以32eb0)相交于A，B两点，若M12是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_答案答案63解析解析秒杀由题意得，k0k=e2-1e=63通法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得，b2x21+a2y21=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0，2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0，b2(x1-x2)=-a2(y1-y2)
41、b2a2=-y1-y2x1-x2=13，a2=3b2a2=3(a2-c2)，2a2=3c2，e=63(19)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且AB的中点为M 1，12，则椭圆的离心率为()A12B22C14D32答案答案B解析解析秒杀由题意得，k0k=e2-1即12-bc=e2-1，e=22故选B通法因为FP的斜率为-bc，FPl，所以直线l的斜率为-bc设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由22221122xa2+yb2=1xa2+yb2=1得21yb2-22yb2=-21xa2-22xa2
42、，即y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)因为AB的中点为M 1，12，所以-bc=-2b2a2，所以a2=2bc，所以b2+c2=2bc，所以b=c，所以a=2c，所以椭圆的离心率为22，故选B(20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0，弦的中点坐标是M(-4，1)，则椭圆的离心率是()A12B22C32D55答案答案C解析解析秒杀由题意得，k0k=e2-1e=32故选C通法一设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得22221122xa2+yb2=1，xa2+yb2=1，两式相减得y1-y
43、2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2.因为kAB=y1-y2x1-x2=1，且x1+x2=-8，y1+y2=2，所以b2a2=14，e=ca=1-ba2=32，故选C通法二将直线方程x-y+5=0代入x2a2+y2b2=1(ab0)，得(a2+b2)x2+10a2x+25a2-a2b2=0，设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=-10a2a2+b2，又由中点坐标公式知 x1+x2=-8，所以10a2a2+b2=8，解得a=2b，又c=a2-b2=3b，所以e=ca=32故选C(21)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)，过点P(3，6)的
44、直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则双曲线C的离心率为()A2B32C3 55D52答案答案B解析解析秒杀由题意得，k0k=e2-1e=32故选B13通法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12,15)，则x1+x2=24，y1+y2=30，由x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1，两式相减得，(x1+x2)(x1-x2)a2=(y1+y2)(y1-y2)b2，则y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)=4b25a2，由直线 AB 的斜率 k=15-612-3=1，所以4b25a2=1，则b2a2=54，双曲线的离
45、心率e=ca=1+b2a2=32，所以双曲线C的离心率为32故选B第组秒杀公式第组秒杀公式过椭圆或双曲线的焦点 F 作倾斜角为 直线与椭圆或双曲线相交 A、B 两点，且 AF=FB，则有|ecos|=|-1|+1|(其中为直线的倾斜角，F在线段AB上)例例 5 5 (22)倾斜角为4的直线经过椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点 F，与椭圆交于 A、B 两点，且AF=2FB，则该椭圆的离心率为()A32B23C22D33答案答案B解析解析秒杀由题可知，ecos4=|2-1|2+1|，所以e=23，故选B通法由题可知，直线的方程为y=x-c，与椭圆方程联立得x2a2+y2b2=1y=
46、x-c，所以(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有两个交点，则0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=-2b2ca2+b2y1y2=-b4a2+b2，又AF=2FB，所以(c-x1，-y1)=2(x2-c，y2)，所以-y1=2y2，可得22-y2=-2b2ca2+b2-2y=-b4a2+b2，所以12=4c2a2+b2，所以e=23，故选B(23)已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为()A13B33C12D32答案答案B解析解析秒杀由题可知，|ec
47、os|=|2-1|2+1|，即eca=|2-1|2+1|，所以e=33，故选B通法延长 AF 交椭圆于点 B，设椭圆左焦点为 F，连接 AF，BF根据题意|AF|=b2+c2=a，|AF|=2|FB|，所以|FB|=a2根据椭圆定义|BF|+|BF|=2a，所以|BF|=3a2在 AFF 中，由余弦定理得cos F AF=|FA|2+|FA|2-|FF|22|FA|FA|=2a2-4c22a2 在 AF B 中，由 余 弦 定 理 得 cos F AB=|FA|2+|AB|2-|BF|22|FA|AB|=13，所以2a2-4c22a2=13，解得a=3c，所以椭圆离心率为e=ca=33故选B(
48、24)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若AF=3FB，则该双曲线的离心率为()A52B62C2 33D3答案答案A解析解析秒杀由题可知，|ecos|=|3-1|3+1|，即cabc=12，即ba=12所以e=1+ba2=52，14故选B通法由题意得直线l的方程为x=bay+c，不妨取a=1，则x=by+c，且b2=c2-1将x=by+c代入x2-y2b2=1，(b0)，得(b4-1)y2+2b3cy+b4=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=-2b3cb4-1，y1y
49、2=b4b4-1由AF=3FB，得y1=-3y2，所以-2y2=-2b3cb4-1-3y22=b4b4-1，得3b2c2=1-b4，解得b2=14，所以c=b2+1=54=52，故该双曲线的离心率为e=ca=52，故选A(25)设 F1，F2分别是椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若AF1F2的面积是BF1F2面积的三倍，cosAF2B=35，则椭圆E的离心率为()A12B23C32D22答案D解析秒杀设|F1B|=k k0，依题意可得|AF1|=3k，|AB|=4k，|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-kcosAF
50、2B=35，在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B，(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)(2a-k)，化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k0，故a-3k=0，a=3k，|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，|ecos|=|3-1|3+1|，即eca=|3-1|3+1|，所以e=23，故选D通法设|F1B|=k k0，依题意可得|AF1|=3k，|AB|=4k，|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k cosAF2B=35，在 ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|B