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1、圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义 平面内一动点 P 与两定点 F1、F2距离之和为常数(大于 F1F2)的点轨迹第二定义 平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹M F1d1=M F2d2=e焦点 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形yxF1F2abcO A1A2B2B1x=a2cx=-a2cyxF1F2abcA1A2B2B1y=a2cy=-a2c标准方程x2a2+y2b2=1 a b 0 y2a2+x2b2=1 a b 0 范围-a x a 且-b y b-b x b 且-a y a顶点 A1-a,0，A2a,0，B10,-b，B20,b A10,-a，A20,a，B1-b,0，B
2、2b,0 轴长长轴长=2a，短轴长=2b，焦距=F1F2=2c，c2=a2-b2焦点 F1-c,0、F2c,0 F10,-c、F20,c 焦半径 P F1=a+e x0，P F2=a-e x0P F1=a-e y0，P F2=a+e y0焦点弦 左焦点弦|A B|=2a+e(x1+x2)，右焦点弦|A B|=2a-e(x1+x2).离心率 e=ca=1-b2a20 e 1 准线方程 x=a2cy=a2c切线方程x0 xa2+y0yb2=1x0 xb2+y0ya2=1通径 过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长 A B=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|P F1|+|P F2|=2a，
3、周长为：2a+2c(2)焦点三角形面积：SF1PF2=b2 t a n2(3)当 P 在椭圆短轴上时，张角 最大，1-2 e2c os(4)焦长公式：P F1=b2a-c c os、MF1=b2a+c c osMP=2ab2a2-c2 2 c os=2ab2b2+c2 2 s i n(5)离心率：e=(+)s i n+s i n s i nyxF1F2POM第 1 页 共 29 页2024 高考数学专项练习圆锥曲线基础知识手册二、双曲线及其性质第一定义 平面内一动点 P 与两定点 F1、F2距离之差为常数（大于 F1F2）的点轨迹第二定义 平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹M F
4、1d1=M F2d2=e焦点 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1 a 0,b 0 y2a2-x2b2=1 a 0,b 0 范围 x-a 或 x a，y R y-a 或 y a，x R顶点 A1-a,0、A2a,0 A10,-a、A20,a 轴长 虚轴长=2 b，实轴长=2 a，焦距=F1F2=2 c，c2=a2+b2焦点 F1-c,0、F2c,0 F10,-c、F20,c 焦半径|P F1|=a+e x0，|P F2|=-a+e x0左支添“-”离心率 e=ca=1+b2a2e 1 准线方程 x=a2cy=a2c渐
5、近线 y=bax y=abx切线方程x0 xa2-y0yb2=1x0 xb2-y0ya2=1通径 过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 A B=2 b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|P F1|-|P F2|=2 a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S F1PF2=b2 t a n2=c y(4)离心率：e=F1F2 P F1-P F2=si n si n-si n=si n(+)si n-si n yxF1F2P第 2 页 共 29 页三、抛物线及其性质定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线方
6、程 y2=2 px p 0 y2=-2 px p 0 x2=2 py p 0 x2=-2 py p 0 图形yx Fx=-p2yxFx=p2yxFy=-p2yxFy=p2顶点 0,0 对称轴 x 轴 y 轴焦点 Fp2,0 F-p2,0 F 0,p2 F 0,-p2 准线方程 x=-p2x=p2y=-p2y=p2离心率 e=1范围 x 0 x 0 y 0 y 0切线方程 y0y=p x+x0 y0y=-p x+x0 x0 x=p y+y0 x0 x=-p y+y0 通径 过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 A B=2 p(最短焦点弦)焦点弦A B 为过 y2=2 p x p 0 焦点的弦，A(x1
7、,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为.则：(1)A F=x1+p2BF=x2+p2A B=x1+x2+p,(2)x1x2=p24y1y2=-p2(3)A F=p1-c o sBF=p1+c o s1|F A|+1|F B|=2P(4)A B=2 psin2S A OB=p22 s inA B 为过 x2=2 p y(p 0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为.则：(1)A F=p1-s inBF=p1+s in(2)A B=2 p2 c o sS A OB=p22 c o s(3)A F BF=，则：=-1+1s inyx Fx=-p2ABOyxFABOy2=2 p x(p
8、 0)y2=2 p x(p 0)第 3 页 共 29 页四、圆锥曲线的通法F1F2PO xyO xyFPMO xyF1 F2P椭圆 双曲线 抛物线点 差 法 与 通 法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直 线 的 设 法：1 若题目明确涉及斜率，则设直线：y=k x+b，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2 若题目没有涉及斜率或直线过(a,0)则设直线：x=my+a,可避免对斜率进行讨论（2）研 究 通 法：联立y=k x+bF(x,y)=0 得：a
9、 x2+b x+c=0判 别 式：=b2 4 a c,韦达定理：x1+x2=ba，x1x2=ca（3）弦 长 公 式：A B=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4 x1x2=1+1k2(y1+y2)2 4 y1y2 3、硬解定理设直线 y=k x+与曲线x2m+y2n=1 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)由：y=k x+nx2+my2=mn,可得：(n+mk2)x2+2 k mx+m(2-n)=0判别式：=4 mn(n+mk2-2)韦达定理：x1+x2=-2 k mn+mk2,x1x2=m(2-n)n+mk2由：|x1-x2|=
10、(x1+x2)2-4 x1x2,代入韦达定理：|x1-x2|=n+mk2 4、点差法：若直线 l 与曲线相交于 M、N 两点，点 P(x0,y0)是弦 M N 中点，M N 的斜率为 kMN，则：在椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)中,有 kMNy0 x0=b2a2;在双曲线x2a2y2b2=1(a b 0)中,有 kMNy0 x0=b2a2；在抛物线 y2=2 p x(p 0)中,有 kMN y0=p.(椭 圆)设 M、N 两两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，第 4 页 共 29 页则有x12a2+y12b2=1,(1)x22a2+y22b2=1.(2)(1)(2)，得x
11、12 x22a2+y12 y22b2=0.y2 y1x2 x1y2+y1x2+x1=b2a2.又 kMN=y2 y1x2 x1,y1+y2x1+x2=2 y2 x=yx.kMNyx=b2a2.圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数x=f(t)y=g(t)并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2、直线的参数方程(1)过定点
12、P(x0,y0)、倾斜角为(2)的直线的参数方程x=x0+t co s y=y0+t sin(t 为参数)(2)参 数 t 的 几 何 意 义：参数 t 表示直线 l 上以定点 M0为起点，任意一点 M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M0M|=|t|，|t|表示直线上任一点 M 到定点 M0的距离.当点 M 在 M0上方时，t 0；当点 M 在 M0下方时，t 0；当点 M 与 M0重合时，t=0；(3)直线方程与参数方程互化：y yo=t a n(x xo)x=x0+t co s y=y0+t sin(t 为参数)(4)直 线 参 数 方 程：x=x0+a ty
13、=y0+b t(t 为参数)，当 a2+b2=1 时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当 a2+b2 1 时，将参数方程化为x=x0+aa2+b2ty=y0+ba2+b2t 然后在进行计算.3、圆的参数方程（1）圆心(a,b)，半径 r 的圆(x-a)2+(y-b)2=r2参数方程x=a+r co s y=b+r sin(为参数)；特 别：当 圆 心 在 原 点 时，半 径 为 r 的 圆 x2+y2=r2的 参 数 方 程 为：x=r co s y=r sin(是参数).(2)参 数 的 几 何 意 义：表示 x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消
14、参 的 方 法：利用 sin2+co s2=1，yxF1F2PNOMyxM0tOM1P(x,y)rxy第 5 页 共 29 页可得圆方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 4、椭圆的参数方程(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的参数方程为x=a co s y=b sin(为参数)；椭圆y2a2+x2b2=1(a b 0)的参数方程为x=b co s y=a sin(为参数)；(2)参 数 的 几 何 意 义：参数 表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点 P 对应的离心角为=QO x(过 P 作P Q x 轴，交大圆即以 2 a 为直径的圆于 Q)，切不可认为是=P O x.5、双曲线
15、的参数方程（1）双曲线x2a2-y2b2=1(a b 0)的参数方程x=a sec y=b t a n(为参数)；sec=1co s 双曲线y2a2-x2b2=1(a b 0)的参数方程x=b co t y=a csc(为参数)；csc=1sin（2）参 数 的 几 何 意 义：参数 表示双曲线上某一点的离心角.6、抛物线的参数方程（1）抛物线 y2=2 p x 参数方程x=2 p t2y=2 p t(t 为参数，t=1t a n)；（2）参 数 t 的 几 何 意 义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t=1kOP仿 射 变 换 与 齐 次 式1、仿射变换：在几何中，一个向量
16、空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.2、椭圆的变换：椭圆 b2x2+a2y2=a2b2变换内容x=xy=aby x=xy=bay x=baxy=y x=abxy=y 圆方程x2+y2=a2x2+y2=b2图示yxABOCyxABOCyxABOCyxABOC点坐标A(x0,y0)A(x0,aby0)A(x0,y0)A(bax0,y0)斜率变化k=abk，由于 kA C kB C=1 kA C kBC=bakA C bakB C=b2a2k=abk，由于 kA C kB C=1 kA C kBC=bakA C bakB C=b2a2弦长变化则 A B=1+k2x1-x2 A
17、B=1+k 2x1-x2=1+(ab)2k2x1-x2 yxPOQ第 6 页 共 29 页面积变化S A BC=baS A B C(水 平 宽 不 变，铅锤高缩小)S A BC=abS A B C(水 平 宽 扩 大，铅垂高不变)3、中点弦问题，kOP kA B=b2a2，中垂线问题kOPkMP=b2a2，且 xM=c2x0a2yN=-c2y0b2，拓 展 1：椭圆内接 A BC 中，若原点 O 为重心，则仿射后一定得到 O B C 为 1 20 的等腰三角形；A B C 为等边三角形；拓 展 2：椭圆内接平行四边形 O A P B(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形 O A P B 4
18、、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1 对称中心引出两条直线交椭圆于 A、B 两点，且 kOA kOB=b2a2,则经过仿射变换后 kOA kOB=1，所以 S A OB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1 上三点 A，B，M，满足：kOA kOB=b2a2 S A OB=a b2 O M=sin O A+co s O B 0,2，三者等价 5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题 设：过圆锥曲线上的一个定点 P 作两条直线与圆锥曲线交于 A、B，在直线 P A和 P B 斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线 A B 过定点或者 A B 定斜率的问题.（
19、2）步 骤：将公共点 平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.由中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线 C，所有直线方程统一写为：mx+ny=1将圆锥曲线 C展开，在一次项中乘以 mx+ny=1，构造出齐次式.在齐次式中，同时除以 x2,构建斜率 k 的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆 锥 曲 线 考 点 归 类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点 A、B 是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上的点，A B 与椭圆长轴交点为 N，在长轴上一定存在一个点 M，当仅当则 xM xN=a2时，A M N=BM N，即长轴为角平分线；（2）若点 A、B
20、是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上的点，A B 与椭圆短轴交点为 N，在短轴上一定存在一个点 M，当仅当则 yM yN=b2时，A M N=BM N，即短轴为角平分线；2、关于角平分线的结论：若直线 A O 的斜率为 k1,直线 C O 的斜率为 k2,E O 平分 A O C则有：k1+k2=t a n+t a n(-)=0角平分线的一些等价代换条件：作 x 轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程第 7 页 共 29 页(1)定点直线系方程：经过定点 P0(x0,y0)的直线系方程为 y-y0=k(x-x0)(除直线 x=x0),其中 k 是待定的系数;经过定点 P
21、0(x0,y0)的直线系方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0,其中 A,B 是待定的系数(2)共 点 直 线 系 方 程：经 过 两 直 线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 为(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0(除 l2)，其中 是待定的系数(3)平 行 直 线 系 方 程：直 线 y=k x+b 中 当 斜 率 k 一 定 而 b 变 动 时，表 示 平 行 直 线 系 方 程 与 直 线 A x+By+C=0 平行的直线系方程是 A x+By+=0(0)，是参变量(4)垂 直直 线系 方程：与 直
22、 线 A x+By+C=0(A 0，B 0)垂直 的直 线系 方程 是 Bx-A y+=0,是 参 变量4、圆系方程(1)过 直 线 l:A x+By+C=0 与 圆 C:x2+y2+D x+E y+F=0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 x2+y2+D x+E y+F+(A x+By+C)=0,是待定的系数(2)过 圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与 圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,是待定的系数(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）
23、直线过定点模型：A,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中,分别为 M A,MB 的倾斜角，则：、M A M B 为定值 直线 A B 恒过定点；、kMA kMB为定值 直线 A B 恒过定点；、+=(0 0)上的两动点，,分别为 O A,O B 的倾斜角，则：O A O B kOA kOB=-1-=2 直线 A B 恒过定点(2 p,0).（3）椭 圆 中 直 线 过 定 点 模 型：A,B 是 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上 异 于 右 顶 点 D 的 两 动 点，其 中,分 别为 D A,D B 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：D A D B kD A kD
24、B=-1-=2 直线 A B 恒过定点(a c2a2+b2,0)2、定点的求解方法：1 含参形式简单的直线方程，通过将直线化为 y-y0=k(x-x0)可求得定点坐标(x0,y0)2 含参形式复杂的通过变 换 主 元 法 求解定点坐标.变 换 主 元 法：将直线化为 h(x,y)+f(x,y)=0,解方程组：h(x,y)=0f(x,y)=0 可得定点坐标.eg:直线方程：（2 m+1）x+(m-5)y+6=0,将 m 看作主元，按照降幂排列：（2 x+y）m+x-5 y+6=0,解方程组：2 x+y=0 x-5 y+6=0,解得：x=-61 1y=1 21 1,求得直线过定点（-61 1,1
25、21 1）.3、关于以 A B 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆 的 直 径 式 方 程：（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，第 8 页 共 29 页该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为 0 证明点恒在圆上.(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S A BC=12M N d，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S A BC=12 水平宽 铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S A OB=12x1y2-x2y1 例题 1.在平面
26、直角坐标系 x O y 中，已知点 O 0,0，A x1,y1，B x2,y2 不共线，证明：A O B 的面积为 S A OB=12x1y2-x2y1.2、面积中最值的求解(1)f(x)=x2+x+x+n型：令 t=x+n x=t-n 进行代换后裂项转化为：y=a t+bt(2)f(x)=x+n x2+x+型：先在分母中配出分子式 f(x)=x+n(x+n)2+(x+n)+令 t=x+n，此时：y=t t2+t+，分子分母同时除 t，此时 y=1 t+t+，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f(x)=x+x+n型：令 t=x+n x=t2-n 进行代换后裂项，可转化为：y=a t+bt第
27、 9 页 共 29 页五、椭圆的二级结论1.P F1+P F2=2 a2.标准方程x2a2+y2b2=13.P F1 d1=e b 0)的 两 个 顶 点 为 A1(-a,0),A2(a,0)，与 y 轴 平 行 的 直 线 交 椭 圆 于 P1、P2时A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.1 0.若点 P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1 a b 0 上，则在点 P0处的切线方程是x0 xa2+y0yb2=1.1 1.若 P0(x0,y0)在 椭 圆x2a2+y2b2=1 外，则 过 P o 作 椭 圆 的 两 条 切 线 切 点 为 P1、P2，则 切 点
28、弦 P1P2的 直 线 方程是x0 xa2+y0yb2=1.1 2.A B 是椭圆x2a2+y2b2=1 的不平行于对称轴的弦，M 为 A B 的中点，则 kOM kA B=-b2a2.1 3.若 P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1 内，则被 P O 所平分的中点弦的方程是x0 xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.1 4.若 P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1 内，则过 P O 的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0 xa2+y0yb2.1 5.若 P Q 是 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上 对 中 心 张 直 角 的 弦，则1r12+1r2
29、2=1a2+1b2(r1=|O P|,r2=|O Q|).1 6.若 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上 中 心 张 直 角 的 弦 L 所 在 直 线 方 程 为 A x+By=1(A B 0),则(1)1a2+1b2=A2+B2;(2)L=2 a4A2+b4B2a2A2+b2B2.第 1 0 页 共 29 页1 7.给定椭圆 C1：b2x2+a2y2=a2b2(a b 0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2a b 2,则(i)对 C1上任意给定的点 P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过 C2上一定点 Ma2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0.(i
30、i)对 C2上任一点 P(x0,y0)在 C1上存在唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 P点.1 8.设 P(x0,y0)为 椭 圆(或 圆)C:x2a2+y2b2=1(a 0,.b 0)上 一 点，P1P2为 曲 线 C 的 动 弦,且 弦 P P1,P P2斜率存在，记为 k1,k2,则直线 P1P2通过定点 M(mx0,-my0)(m 1)的充要条件是 k1 k2=-1+m1-mb2a2.1 9.过 椭 圆x2a2+y2b2=1(a 0,b 0)上 任 一 点 A(x0,y0)任 意 作 两 条 倾 斜 角 互 补 的 直 线 交 椭 圆 于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且
31、kBC=b2x0a2y0(常数).20.椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 左 右 焦 点 分 别 为 F1，F2，点 P 为 椭 圆 上 任 意 一 点 F1P F2=，则 椭 圆 的焦点三角形的面积为 S F1PF2=b2t a n2，P acc2-b2t a n22,b2ct a n2.21.若 P 为 椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上异 于长 轴端点 的任 一点,F1,F2是 焦点,P F1F2=,P F2F1=，则a-ca+c=t a n2t a n2.22.椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 焦 半 径 公 式：|M F1|=a+ex0,|M F2|=
32、a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当2-1 e b 0)上 任 一 点,F1,F2为 二 焦 点，A 为 椭 圆 内 一 定 点，则 2 a-|A F2|P A|+|P F1|2 a+|A F2|,当且仅当 A,F2,P 三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上存在两点关于直线 l：y=k(x-x0)对称的充要条件是 x02(a2-b2)2a2+b2k2.26.过 椭 圆 焦 半 径 的 端 点 作 椭 圆 的 切 线，与 以 长 轴 为
33、直 径 的 圆 相 交，则 相 应 交 点 与 相 应 焦 点 的 连 线 必 与 切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P 是椭圆x=a co s y=b sin(a b 0)上一点，则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是 e2=11+sin2.29.设 A,B 为 椭 圆x2a2+y2b2=k(k 0,k 1)上 两 点，其 直 线 A B 与 椭 圆x2a2+y2b2=1 相 交 于 P,Q,则 A P=BQ.第 1 1 页 共 29 页30.在 椭 圆x2a2+y2b2=1 中，定 长 为 2 m(o b 0)的
34、通 径，定 长 线 段 L 的 两 端 点 A,B 在 椭 圆 上 移 动，记|A B|=l，M(x0,y0)是 A B 中 点，则 当 l S 时，有(x0)m a x=a2c-l2ec2=a2-b2,e=ca;当 l b 0)的 两 个 焦 点 为 F1、F2,P(异 于 长 轴 端 点)为 椭 圆 上 任 意 一 点，在 P F1F2中，记 F1P F2=,P F1F2=,F1F2P=，则有sin sin+sin=ca=e.35.经 过 椭 圆 b2x2+a2y2=a2b2(a b 0)的 长 轴 的 两 端 点 A1和 A2的 切 线，与 椭 圆 上 任 一 点 的 切 线 相 交 于
35、P1和 P2，则|P1A1|P2A2|=b2.36.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 O P O Q.(1)1|O P|2+1|O Q|2=1a2+1b2;(2)|O P|2+|O Q|2的最小值为4 a2b2a2+b2;(3)S OPQ的最小值是a2b2a2+b2.37.M N 是 经 过 椭 圆 b2x2+a2y2=a2b2(a b 0)焦 点 的 任 一 弦，若 A B 是 经 过 椭 圆 中 心 O 且 平 行 于 M N 的弦，则|A B|2=2 a|M N|.38.M N 是 经 过 椭 圆 b2x2+a2y2=a2b2(a
36、b 0)焦 点 的 任 一 弦，若 过 椭 圆 中 心 O 的 半 弦 O P M N，则2a|M N|+1|O P|2=1a2+1b2.39.设 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0),M(m,o)或(o,m)为 其 对 称 轴 上 除 中 心，顶 点 外 的 任 一 点，过 M 引 一 条直 线 与 椭 圆 相 交 于 P、Q 两 点，则 直 线 A1P、A2Q(A1,A2为 对 称 轴 上 的 两 顶 点)的 交 点 N 在 直 线 l：x=a2m(或 y=b2m)上.40.设 过 椭 圆 焦 点 F 作 直 线 与 椭 圆 相 交 P、Q 两 点，A 为 椭 圆 长 轴 上 一 个
37、 顶 点，连 结 A P 和 A Q 分 别 交 相 应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 M F N F.第 1 2 页 共 29 页41.过 椭 圆 一 个 焦 点 F 的 直 线 与 椭 圆 交 于 两 点 P、Q,A1、A2为 椭 圆 长 轴 上 的 顶 点，A1P 和 A2Q 交 于 点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 M F N F.42.设 椭 圆 方 程x2a2+y2b2=1,则 斜 率 为 k(k 0)的 平 行 弦 的 中 点 必 在 直 线 l：y=k x 的 共 轭 直 线 y=kx 上,而且 k k=-b2a2.43.设 A、B、C、D 为 椭 圆x2
38、a2+y2b2=1 上 四 点,A B、C D 所 在 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为,，直 线 A B 与 C D 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则P A P B P C P D=b2co s2+a2sin2b2co s2+a2sin2.44.已 知 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0),点 P 为 其 上 一 点 F1,F2为 椭 圆 的 焦 点，F1P F2的 外(内)角 平 分 线 为l，作 F1、F2分 别 垂 直 l 于 R、S，当 P 跑 遍 整 个 椭 圆 时，R、S 形 成 的 轨 迹 方 程 是 x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x c 2a2y2+b
39、2x c 2.45.设 A BC 内 接 于 椭 圆，且 A B 为 的 直 径，l 为 A B 的 共 轭 直 径 所 在 的 直 线，l 分 别 交 直 线 A C、BC 于E 和 F，又 D 为 l 上一点，则 C D 与椭圆 相切的充要条件是 D 为 E F 的中点.46.过 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 右 焦 点 F 作 直 线 交 该 椭 圆 右 支 于 M,N 两 点，弦 M N 的 垂 直 平 分 线 交x 轴于 P，则|P F|M N|=e2.47.设 A(x1,y1)是 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上 任 一 点，过 A 作 一 条 斜 率
40、为-b2x1a2y1的 直 线 L，又 设 d 是 原点到直线 L 的距离,r1,r2分别是 A 到椭圆两焦点的距离，则 r1r2d=a b.48.已 知 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)和x2a2+y2b2=(0 b 0),A、B、是 椭 圆 上 的 两 点，线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 与 x 轴 相 交 于 点P(x0,0),则-a2-b2a x0 b 0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 F1P F2=，则(1)|P F1|P F2|=2 b21+co s.(2)S PF1F2=b2t a n2.51.设 过 椭 圆 的 长 轴 上 一 点 B(m,o)
41、作 直 线 与 椭 圆 相 交 于 P、Q 两 点，A 为 椭 圆 长 轴 的 左 顶 点，连 结 A P 和A Q 分别交相应于过 H 点的直线 M N：x=n 于 M，N 两点,则 M BN=90a-ma+m=a2n-m 2b2(n+a)2.第 1 3 页 共 29 页52.L 是 经 过 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)长 轴 顶 点 A 且 与 长 轴 垂 直 的 直 线，E、F 是 椭 圆 两 个 焦 点，e 是 离心率,点 P L，若 E P F=，则 是锐角且 sin e 或 a rcsin e(当且仅当|P H|=b 时取等号).53.L 是 椭 圆x2a2+y2b2
42、=1(a b 0)的 准 线，A、B 是 椭 圆 的 长 轴 两 顶 点,点 P L，e 是 离 心 率，E P F=，H 是 L 与 X 轴 的 交 点 c 是 半 焦 距，则 是 锐 角 且 sin e 或 a rcsin e(当 且 仅 当|P H|=a bc时 取 等号).54.L 是 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 准 线，E、F 是 两 个 焦 点，H 是 L 与 x 轴 的 交 点，点 P L，E P F=,离心率为 e，半焦距为 c，则 为锐角且 sin e2或 a rcsin e2(当且仅当|P H|=bca2+c2时取等号).55.已知椭 圆x2a2+y2b2
43、=1(a b 0)，直 线 L 通 过其 右焦点 F2,且与 椭圆 相交于 A、B 两点，将 A、B 与椭 圆左 焦 点 F1连 结 起 来，则 b2|F1A|F1B|(2 a2-b2)2a2(当 且 仅 当 A B x 轴 时 右 边 不 等 式 取 等 号，当 且 仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号).56.设 A、B 是 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 长 轴 两 端 点，P 是 椭 圆 上 的 一 点，P A B=,P BA=,BP A=，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|P A|=2 a b2|co s|a2-c2co s2.(2)t a n t
44、 a n=1-e2.(3)S PA B=2 a2b2b2-a2co t.57.设 A、B 是 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)长 轴 上 分 别 位 于 椭 圆 内(异 于 原 点)、外 部 的 两 点，且 xA、xB的横坐标 xA xB=a2，(1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，则 P BA=QBA；(2)若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，则 P A B+QA B=1 80.58.设 A、B 是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，(若 BP 交椭圆于
45、两点，则 P、Q 不关于 x 轴对称)，且 P BA=QBA，则点 A、B 的横坐标 xA、xB满足 xA xB=a2；(2)若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，且 P A B+QA B=1 80,则点 A、B 的横坐标满足 xAxB=a2.59.设 A,A是 椭 圆x2a2+y2b2=1 的 长 轴 的 两 个 端 点，QQ是 与 A A垂 直 的 弦，则 直 线 A Q 与 AQ的 交 点 P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 左 焦 点 F 作 互 相 垂 直 的 两 条 弦 A B、C D 则8 a b2a2+b2|
46、A B|+|C D|2(a2+b2)a.第 1 4 页 共 29 页61.到 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)两 焦 点 的 距 离 之 比 等 于a-cb(c 为 半 焦 距)的 动 点 M 的 轨 迹 是 姊 妹 圆(x a)2+y2=b2.62.到 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 长 轴 两 端 点 的 距 离 之 比 等 于a-cb(c 为 半 焦 距)的 动 点 M 的 轨 迹 是姊妹圆 x ae 2+y2=be 2.63.到 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 两 准 线 和 x 轴 的 交 点 的 距 离 之 比 为a-cb(c 为 半 焦 距)
47、的 动 点 的 轨 迹是姊妹圆 x ae2 2+y2=be2 2(e 为离心率).64.已 知 P 是 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上 一 个 动 点，A,A 是 它 长 轴 的 两 个 端 点,且 A Q A P,AQ AP，则 Q 点的轨迹方程是x2a2+b2y2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)长 轴 的 端 点 为 A,A,P(x1,y1)是 椭 圆 上 的 点 过 P 作 斜 率 为-b2x1a2y1的 直线 l，过 A,A分 别 作 垂 直 于
48、长 轴 的 直 线 交 l 于 M,M,则(1)|A M|AM|=b2.(2)四 边 形 M A AM面 积 的 最小值是 2 a b.67.已 知 椭 圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的 右 准 线 l 与 x 轴 相 交 于 点 E，过 椭 圆 右 焦 点 F 的 直 线 与 椭 圆 相 交 于A、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 A C 经过线段 E F 的中点.68.O A、O B 是 椭 圆(x-a)2a2+y2b2=1(a 0,b 0)的 两 条 互 相 垂 直 的 弦，O 为 坐 标 原 点，则(1)直 线 A B必 经 过 一 个 定 点2 a
49、 b2a2+b2,0.(2)以 O A、O B 为 直 径 的 两 圆 的 另 一 个 交 点 Q 的 轨 迹 方 程 是 x-a b2a2+b2 2+y2=a b2a2+b2 2(x 0).69.P(m,n)是椭圆(x-a)2a2+y2b2=1(a b 0)上一个定点，P A、P B 是互相垂直的弦，则(1)直线 A B 必经 过 一 个 定 点2 a b2+m(a2-b2)a2+b2,n(b2-a2)a2+b2.(2)以 P A、P B 为 直 径 的 两 圆 的 另 一 个 交 点 Q 的 轨 迹 方 程是x-a b2+a2ma2+b2 2+y-b2na2+b2 2=a2 b4+n2(a
50、2-b2)(a2+b2)2(x m 且 y n).70.如果一个椭圆短半轴长为 b，焦点 F1、F2到直线 L 的距离分别为 d1、d2，那么(1)d1d2=b2，且 F1、F2在 L 同侧 直线 L 和椭圆相切.(2)d1d2 b2，且 F1、F2在 L 同侧 直线 L 和椭圆相离，(3)d1d2 b 0)的 长 轴，N 是 椭 圆 上 的 动 点，过 N 的 切 线 与 过 A、B 的 切 线 交 于 C、第 1 5 页 共 29 页D 两点，则梯形 A BD C 的对角线的交点 M 的轨迹方程是x2a2+4 y2b2=1(y 0).72.设 点 P(x0,y0)为 椭 圆x2a2+y2b