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1、5.55.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系第第5 5章章 弯曲内力弯曲内力5.15.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例5.25.2 梁的支座和载荷的简化梁的支座和载荷的简化5.35.3 剪力和弯矩剪力和弯矩5.45.4 剪力剪力方程和弯矩方程方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。荀子荀子 劝学劝学1一、弯曲实例一、弯曲实例5.15.1 弯曲的概念弯曲的概念和和实例实例工厂厂房的天车大梁工厂厂房的天车大梁火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：
2、阳台的挑梁：二、弯曲的概念：二、弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条变为一条曲线曲线。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁弯曲变形弯曲变形工程中常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，该轴与杆工程中常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，该轴与杆件的轴线形成整个杆件的纵向对称面。当作用于梁上的所有外件的轴线形成整个杆件的纵向对称面。当作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内时，弯曲变形后的轴线也位于这个对称面力都在纵向对称面内时，弯曲变形后的轴线也位于这个对称面内变
3、成一条曲线。内变成一条曲线。纵向对称面纵向对称面MF1F2q弯曲变形弯曲变形受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内梁的纵向对称平面内。变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。弯曲变形弯曲变形平面弯曲平面弯曲:弯曲变形后的轴线为平面曲线弯曲变形后的轴线为平面曲线,且该且该 平面曲线仍与外力共面平面曲线仍与外力共面。5.25.2 梁的梁的支座和载荷的简化支座和载荷的简化一、支座的几种基本形式一、支座的几种基本形式1.活活动铰支座动铰支座例如
4、：对于车床的主轴，主轴安装在两个滚动轴承内。在轴发生弯曲变形时，中部的滚柱轴承不约束轴线方向的位移，可简化为可动铰支座。2.固定铰固定铰支座支座例如：对于车床的主轴，主轴安装在两个滚动轴承内。在轴发生弯曲变形时，左端向心推力轴承可以约束轴线方向上的位移，可简化为固定铰支座。火车火车轮轴：轮轴：是通过车轮置于钢轨上，钢轨不限制车轮平面的轻微偏转，但车轮凸缘与钢轨的接触却可约束沿轮轴轴线方向的位移。所以，就可以把一条钢轨对车轮的约束看作是固定铰支座，另一个看作是可动铰支座。3.固固定端定端车床上的车刀及刀架：车床上的车刀及刀架：车刀一端用螺钉压紧、固定于刀架上，使车刀一端用螺钉压紧、固定于刀架上，
5、使车刀被压紧部分既不能有相对位移，也不能相对转动，这种形式可简化为车刀被压紧部分既不能有相对位移，也不能相对转动，这种形式可简化为固定端。固定端。二、载荷的简化二、载荷的简化作用在梁上的力，是各种各样的，经简化和抽象归纳起来可分为：1.1.集中力：集中力：当外力作用的范围远小于梁轴线的长度时，可将外力看作是作用于一点处的集中力。像传动轴上的传动力，车床主轴和车刀上的切削力等。吊车梁上的吊重也可简化为集中力吊车梁上的吊重也可简化为集中力。2.2.均布载荷：均布载荷：连续作用在梁的一段或整个梁上的横向载荷，可以简化为沿梁轴线作用的分布载荷。若载荷沿梁轴线均匀分布，就简称均布载荷。分布载荷的大小常用
6、载荷集度q表示。2.2.集中力偶：集中力偶：工程中的某些梁通过与梁连接的构件，对梁的作用力向梁工程中的某些梁通过与梁连接的构件，对梁的作用力向梁的轴线简化，可以得到一个力偶的轴线简化，可以得到一个力偶M M，该力偶只作用在承力构件与梁连接处，该力偶只作用在承力构件与梁连接处很小的区域内，称该力偶为集中力偶。很小的区域内，称该力偶为集中力偶。集中力偶集中力偶 TP集中集中力TTqq(x)线性（非均匀）线性（非均匀）分布载荷分布载荷均匀分布载荷均匀分布载荷分布载荷分布载荷载荷集度载荷集度 q(N/m)三、静定梁三、静定梁M 集中力偶集中力偶q(x)分布力分布力1 1、悬臂梁、悬臂梁：一端固一端固定
7、另一端为自由端定另一端为自由端2 2、简支梁、简支梁：两端均为铰支座两端均为铰支座3 3、外伸梁、外伸梁：梁的一梁的一端伸出支座之外端伸出支座之外 集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）一、弯曲内力的确定（截面法）：一、弯曲内力的确定（截面法）：例例已知：如图，已知：如图，F，a，l。求：距求：距A 端端 x 处截面上内力。处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：解：求外力（支座反力）求外力（支座反力）5.35.3 剪力和弯矩剪力和弯矩ABFFAYFAXFBYmmx求内力求内力FsMMFs 弯曲构件内力：弯曲构件内力：剪力，剪力，弯矩。弯矩。FAYA
8、CFBYFC研究对象：研究对象：m-m 截面的左段：截面的左段：若研究对象取若研究对象取m-m 截面的右段：截面的右段：ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1.弯矩：弯矩：M 构件受弯时构件受弯时，与横，与横截截面面垂直的分布内力系的合力偶垂直的分布内力系的合力偶之矩之矩（弯矩）。（弯矩）。AFAYCFBYFC2.剪力：剪力：Fs 构件受弯时构件受弯时，与横，与横截截面相切的面相切的分布内力系的合力（分布内力系的合力（剪力）。剪力）。剪力和弯矩同为梁横截面上的内力。剪力和弯矩同为梁横截面上的内力。二、弯曲内力的符号规定二、弯曲内力的符号规定:为使两种算法得到的同一截面上的弯矩和剪力，非但
9、数值相等且正负号也一致，则与梁的变形联系起来。剪力剪力Fs:Fs(+)Fs(+)Fs()Fs()+_ 左上右下为左上右下为正；正；反之为反之为负负 或者：或者：截截面上的面上的剪剪力绕保留部分顺时力绕保留部分顺时针方向为针方向为正正；反之为反之为负负。规定：截面的左段相规定：截面的左段相对右段向上错动时，对右段向上错动时，Fs规定为规定为正；正；反之为反之为负。负。二、弯曲内力的符号规定二、弯曲内力的符号规定:弯矩弯矩M：M(+)M(+)M()M()+_ 截面上的弯曲变形向截面上的弯曲变形向下凸时，下凸时，M M规定为规定为正；正；或者说梁的上表面受或者说梁的上表面受压时弯矩为压时弯矩为正正，
10、反之，反之为为负负。左顺右逆为左顺右逆为正；正；反之为反之为负负二、弯曲内力的符号规定二、弯曲内力的符号规定:按照有关符号规定，任意截面上的剪力和弯矩，无论根据这个截面左侧或右侧的外力来计算，所得结果的数值和符号都是一样的。并得到以下两条规律：1.1.横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力在面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力在y y轴上轴上投影的代数和。投影的代数和。2.2.横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力
11、对该截面形心力矩的代数和。面形心力矩的代数和。例例：求求1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。qLM1解解qqLab11221-1 1-1 截面截面2-2 2-2 截面截面qLM2x2例例：求图所示梁求图所示梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：（解：（1 1）确定支座反力）确定支座反力（2 2）求内力）求内力1-1截面取左侧考虑：2-2截面取右侧考虑：1.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122例例：梁梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。解：（解：（1 1）确定支座反力）确定支座反力RARB(2)1-
12、1(2)1-1截面左段右侧截面：截面左段右侧截面：2 2-2 2截面右段左侧截面：截面右段左侧截面：RA5.45.4剪剪力方力方程和弯程和弯矩矩方程方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程 反映梁横截面上的剪力和弯反映梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。(-)注意：弯矩图中正的弯矩值绘在 x 轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。lqAB画剪力图和弯矩图的步骤画剪力图和弯矩图的步骤：1 1、利用静力方程确定支座反力。、利用静力方程确定支座反力。2 2、根据载荷、根据
13、载荷p p分段列出剪力方程、弯矩方程。分段列出剪力方程、弯矩方程。3 3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状 描点绘出剪力图、弯矩图。描点绘出剪力图、弯矩图。4 4、确定最大的剪力值、弯矩值。、确定最大的剪力值、弯矩值。注意注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为：不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。F(x)xF解解：求支反力求支反力写出内力方程写出内力方程根据方程画内力图根据方程画内力图 例例 列出梁内力方程并画出内力图。列出梁内
14、力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL 注意：弯矩图中正的弯矩值绘在 x 轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图的满布荷载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程xFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql28l/2M 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图BlAq*载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称*剪力为零的截面弯矩有极值。ql 2FS 例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作
15、梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图和弯矩图。解：解：1、求支反力求支反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出BFBFAxlAF abCAC段段CB段段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAF abC3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图FS FblxFblMxFablBFBFAxlAF abC*在 集中力F 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解:1、求支反力、求支
16、反力Me FA FBBlACab2 2、列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段：弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段：FA FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时发生在发生在C截面右侧截面右侧FslxMe lMxMealMeb*集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab解解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY 例例 画出梁的内力图。3、根据方程画内力图1kN/m2kN
17、ABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)5.55.5 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、一、剪力、弯矩与分布载荷间的关系剪力、弯矩与分布载荷间的关系1 1、支反力：、支反力：LqFAyFBy2 2、内力方程、内力方程3 3、讨论如下、讨论如下x对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxAy 剪力图上某点处的切线剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大斜率等于该点处载荷集度的大小。小。q(x)M(x)+d M(x)Fs(
18、x)M(x)dxAy 弯矩图上某点处的切弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的线斜率等于该点处剪力的大小。大小。Fs(x)+dFs(x)q、Fs和和M三者三者的微分关系的微分关系二、微分关系的应用二、微分关系的应用-作作Fs 图和图和 M 图（用于定形）图（用于定形）2 2、分布力、分布力q(x)=常数时常数时1 1、分布力、分布力q(x)=0)=0时时 （无分布载荷）（无分布载荷）Fs 图：图：M图：图：剪力图为一条剪力图为一条水平线水平线；弯矩图为一条弯矩图为一条斜直线斜直线。剪力图为一条剪力图为一条斜直线斜直线；弯矩图为一条弯矩图为一条二次曲线二次曲线。（1 1）当分布力的方向向上时）
19、当分布力的方向向上时 剪力图为剪力图为斜向上斜向上的斜直线；的斜直线；弯矩图为弯矩图为上凸上凸的二次曲线。的二次曲线。（2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时Fs图：图：M图：图：M(x)剪力图为剪力图为斜向下斜向下的斜直线；的斜直线；弯矩图为弯矩图为下凸下凸的二次曲线。的二次曲线。Fs图：图：M图：图：M(x)2 2、分布力、分布力q(x)=常数时常数时控制点控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：三、简易法作内力图：利用微分关系利用微分关系定形定形，利用，利用特殊点的内力值特殊点的内力值来来定值定值
20、利用利用积分关系积分关系定值定值 基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）；2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；4、确定控制点内力的数值大小及正负；5、画内力图。作图时应注意结合以下几点*集中力偶处剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力 偶的大小。*弯矩极值处剪力为零的截面、集中力及集中力偶作用的截面。*集中力处剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。*端部无集中力，剪力为零，端部无集中力偶，弯矩为零。例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突
21、变，突变值等于集中力偶的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、确定支反力（可省略）、确定支反力（可省略）AB：BC：2、画内力图、画内力图Fym；q 0,M-qa2(Fs 0,所以所以Fs图向正方向斜图向正方向斜)(积分关系积分关系FsB=FsA+0)MC=MB+(-1/2qa a)=-qa2 1/2 qa2MB=MA+(-qa a)=0-qa2 )(FsC 左左=FsB+qa=-qa+qa=0)Fsx2kN2kN解解：1 1、支反力、支反力2 2、画内力图、画内力图AC段段：剪力图为一条水平线；剪力图为一条水平线；BD段段：剪力图为斜向下的斜直线；剪
22、力图为斜向下的斜直线；CD段：剪力图为零；段：剪力图为零；A、C、B 截面剪力图有突变；截面剪力图有突变；突变值的大小为其集中力的值。突变值的大小为其集中力的值。1kN/mABC D2kN2m1m1mFAYFBYxM(x)2kNm2kNm弯矩图为一条斜直线弯矩图为一条斜直线弯矩图为一条水平线。弯矩图为一条水平线。弯矩图为下凸的二次曲线。弯矩图为下凸的二次曲线。qBAD Da a4 4a aFAyFBy例题例题试画出梁剪力图和弯矩图。试画出梁剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力qa2 2确定控制面确定
23、控制面 由由于于AB段段上上作作用用有有连连续续分分布布载载荷荷，故故A、B两两个个截截面面为为控控制制面面，约约束束力力FBy右右侧侧的的截截面面，以以及及集集中中力力qa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。C （+）（-）qBAD Da a4 4a aFAyFByqaqa1 1确定约束力确定约束力2确确定定控控制制面面，即即A、B、D两侧截面。两侧截面。3从从A截截面面左左测测开开始始画画剪力图。剪力图。Fs 9qa/4 7qa/4qa（+）M （+）（-）qBAD Da4a4aFAyFByqaqa Fs 9qa/4 7qa/4qa4求求出出剪剪力力为为零零的的点点到到A的
24、距离。的距离。B截面的弯矩为截面的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2 AB段段为为抛抛物物线线。且且有有极大值。该截面的弯矩为极大值。该截面的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/325从从A截截面面左左测测开开始始画画弯弯矩图矩图 81qa2/32qa25.6 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内
25、小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与载荷满足线性关系。即力、应力、位移）必然与载荷满足线性关系。即 在弹性范围内满足虎克定律。在弹性范围内满足虎克定律。三、步骤：三、步骤：1、梁上的几个载荷分解为单独的荷载作用；梁上的几个载荷分解为单独的荷载作用；2、分别作出各项载荷单独作用下梁的弯矩图；、分别作出各项载荷单独作用下梁的弯矩图；3、将其相应的纵坐标叠加即可（、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图注意：不是图 形的简单拼凑）。形的简单拼凑）。例例 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力，力F作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。qFABFq=+
26、AABB=MxM1x+M2x例例 作下列图示梁的内力图作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FFFsxFs1xFs2x0.5F0.5F0.5F+FF0.5FFLL0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFLFLLL0.5F0.5F例例 绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=+-2Fax2FaM2xMFaFaaFL/2xMFL/2xM2+-FL/2=FL/4xM1=+FFL/250kN2m2m20kNm20kNm=+50kN20kNm20kNmxM250kNm+=x-20kNmM1x-20kNmM30kNm-20kNm四
27、、对称性与反对称性的应用：四、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下对称结构在对称载荷作用下 Fs 图反对称，图反对称，M 图对称；图对称；对称结构在反对称载荷作用下对称结构在反对称载荷作用下 Fs 图对称，图对称，M 图反对称。图反对称。某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架。7平面刚架和曲杆的内力图平
28、面刚架和曲杆的内力图平面刚架平面刚架平面刚架的内力图平面刚架的内力图平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。特点：特点：刚架各杆横截面上的内力有：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN。刚架刚架用刚性接头连接的杆系结构用刚性接头连接的杆系结构刚性接头的特点刚性接头的特点：约束约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力受力既可传力，也可传递力偶矩既可传力，也可传递力偶矩2、平面刚架内力图规定、平面刚架内力图规定：弯矩图弯矩图：画在各杆的受：画在各杆的受拉拉一侧，不注明正、负号。一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力
29、图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明 正、负号。正、负号。3、平面曲杆：、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件轴线为一条平面曲线的杆件。4、平面曲杆内力图规定：、平面曲杆内力图规定：弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉拉的一侧。的一侧。剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面刚架相同。：与平面刚架相同。曲杆曲杆未受力时，轴线即为曲线的杆件未受力时，轴线即为曲线的杆件例例 试作图示刚架的内力图。F1F2alAB
30、CFN 图F2+Fs图F1+F1aM 图F1a+F2 lF11.外力分析外力分析2.建立内力方程建立内力方程BC 段：段：AB 段：段：试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。3.画内力图画内力图弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受拉一侧弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续BC 段：段：AB 段：段：求曲杆内力M使杆微段愈弯的弯矩为正使杆微段愈弯的弯矩为正FS，FN正负符号规定同前正负符号规定同前 三内力分量三内力分量 符号规定符号规定与弯矩相对应的与弯矩相对应的点，画在横截面点，画在横截面弯曲时受拉一侧弯曲时受拉一侧 画弯矩图画弯矩图平面曲杆的内力图平面曲杆的内力图