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1、第五章第五章 弯曲内力弯曲内力华北电力大学力学教研室华北电力大学力学教研室本章内容本章内容:1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例2 梁的约束和类型梁的约束和类型3 剪力和弯矩剪力和弯矩4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系6 刚架和曲梁的内力刚架和曲梁的内力起重机大梁起重机大梁1目录5. 1 弯曲弯曲的概念和实例的概念和实例车削工件车削工件目录火车轮轴火车轮轴目录MeMe一、弯曲的概念一、弯曲的概念受力特点：受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力
2、偶（其矢量垂直于杆轴）作用。偶（其矢量垂直于杆轴）作用。ABF主要变形特征：杆的轴线在变形后变为曲线主要变形特征：杆的轴线在变形后变为曲线以弯曲为主要变形的杆件通称为以弯曲为主要变形的杆件通称为梁梁。梁梁 对称弯曲：纵向对称面纵向对称面MP1P2q 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。5-2 、梁的约束和类型梁的约束和类型( (简化模型）简化模型）M 集中力偶集中力偶 集中力集中力
3、P(1)(1)固定端固定端XAYAMA3. 支座简化支座简化(2)(2)固定铰支座和可动铰支座固定铰支座和可动铰支座可动铰可动铰支座支座固定铰固定铰支座支座3 静定梁的基本形式静定梁的基本形式主要研究主要研究等直梁等直梁。u 简支梁简支梁u 外伸梁外伸梁u 悬臂梁悬臂梁 集中力集中力PM 集中力偶集中力偶梁的支反力均可由平面力系的三个独立梁的支反力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出。的平衡方程求出。静定梁静定梁和和静不定梁静不定梁梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。静定梁静定梁静不定梁静不定梁FBFAyFAxMA ABFCCFAyFAxFBBA5-3 梁
4、的弯曲内力梁的弯曲内力-剪力和弯矩剪力和弯矩一、梁的剪力和弯矩一、梁的剪力和弯矩lalFFA取左侧分离体分析取左侧分离体分析lalFFFASlFaFBxlalFxFMAmmxFBFAFAFSyAmmxxCM 0yF 0CMaABF 由其右边分离体的平衡条件同样可得由其右边分离体的平衡条件同样可得 0yF 0CMlalFFFFBS0SBFFF0 xlFxaFMB称为称为剪力剪力称为称为弯矩弯矩xlalFxaFxlFMBammxABF FBFAFAFSyAmmxxCMMFSmF mBCFB剪力和弯矩的符号规则：剪力和弯矩的符号规则：截面法求剪力和弯矩的步骤截面法求剪力和弯矩的步骤:(1)所求内力处
5、截开截面所求内力处截开截面,取取一部分来研究一部分来研究;(2)将该截面上内力设为正将该截面上内力设为正值值;(3)由平衡方程求解内力由平衡方程求解内力; 0yF 0CM例例 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面A-(11)、 A+ (22)、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 0yF 0AM032aFFaaFB)(2FFBFFFAB)(3 FFA xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截面11 0yF 01CM01aFM) (1顺顺FaMFF1S截面截面22 0yF 02CM02aFM) (2顺顺FaM02SFFFAFFF
6、FA22SM1FS1F C111FAM2FS2F C222 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截面3303aFaFMA) (3逆逆FaMFFFB24S截面截面4404aFMB) (24顺顺FaM03SFFFAFFFFA23S xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB4内力内力11223344FS-P2P2P2PM-Pa-PaPa-2Pa xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F5-4、剪力方程和弯矩方程、剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图显示剪力和弯矩随截面位移的变化
7、规律的图形则显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。)(SSxFF )(xMM 剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变力和弯矩随截面位置变化的函数式化的函数式xFsxM例例1 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的均布荷载作用。试写出的均布荷载作用。试写出剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程,作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxM
8、AxFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql 2FS BlAq3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2Sl/2M ql28例例2 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试写出剪力方作用。试写出剪力方程与弯矩方程程与弯矩方程,作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出xBlAF abCFBFAAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlF
9、xMB)()( axxlFbxM0 xBlAF abCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)L-x3、作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图FblFS lxFaF BlAabCMxFabl bxlFaFxFB0S axlFbxF0S lxalFaFxFBS lxaxllFaxlFxMB)()(lFbFmax,SlFabMmax发生在集中荷发生在集中荷载作用处载作用处发生在发生在AC段段ba时时FS FblxFblF BlAabC为极大值。为极大值。时，时，42/maxFlMlbaMxFabl例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试
10、写出剪力方程与弯矩方程写出剪力方程与弯矩方程,作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe 0AM0elFMAMe FA FBBlACab2、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段： lxlMFxFA0eS弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xxAFAMe M(x)FS(x)3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时lbMMemax lMxFeS发生在发生在C截面右侧截面右
11、侧BlACabFslxMe lxMealMebM xlMxFxMAe xllMMxFxMAee例例4 简支梁受力如图简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：解：1、求支座反力、求支座反力qlFA83可利用平衡方程可利用平衡方程 对所求反力进行校核。对所求反力进行校核。 0yF 0AM 0BMqlFB81042llqlFB0)42(2lllqlFA2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程 AC段：段： CB段：段： qxqlxF83)(S22183)(qxqlxxMqlxF81)(S)2(lxl
12、)20(lx )20(lx )(81)(xlqlxM)2(lxl3、求控制截面内力，绘、求控制截面内力，绘FS、M图图 FS图：图：AC段段qlFA83S右qlFC81S左CB段段qlFB81S左剪力图为斜直线剪力图为斜直线qxqlxF83)(SqlxF81)(S剪力方程为常数，剪力图为剪力方程为常数，剪力图为水平线水平线。M图：图：AC段段求极值判断顶点位置求极值判断顶点位置0AM2161qlMC0d)(dxxM21289)83(qllMlx83CB段段0BM2161qlMC弯矩图为二次抛物线弯矩图为二次抛物线弯矩图是斜直线弯矩图是斜直线22183)(qxqlxxM)(81)(xlqlxM0
13、)(1SxFBlAqql 2FS 222qxqlxxM qxqlxF2SM ql28 qxxFddS xFxxMSdd5-5 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系 0yF xqxxFddS 0CM xFxxMSdd xxqxFddS 02ddddSxxxqxxFxMxMxM xxFxMddS 0ddSSSxxqxFxFxF略去略去mmnnmmCnnq(x) FS(x) M(x)OF yxMe q(x)xdxFS(x)+dFS(x) M(x)+dM(x) xqxxM22dd xqxxFddS xFxxMSddq(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系间的微
14、分关系其中分布荷载集度其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。以向上为正，向下为负。OF yxMe q(x)几种常见荷载下几种常见荷载下FS 图和图和M 图的特征图的特征向上）向上）(0 cq向下）向下）(0 cq0q)0(ScbcxF)0(212cdbxcxM)0( c)0( ccF SbcxM0)(SxF 1 ) 时，弯矩时，弯矩M(x)可能为极值。 或2)集中力作用处集中力作用处3)集中力偶作用处集中力偶作用处利用以上特征利用以上特征1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关、可以不建立剪力
15、方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。系直接绘制剪力图和弯矩图。利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1求支座反力；求支座反力；2分段确定剪力图和弯矩图的形状；分段确定剪力图和弯矩图的形状；3计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；和弯矩图；4确定确定 和和 。maxSFmaxMB3aACMe =3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3例例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图示的剪力图和弯矩图。系校核图示的剪力图和弯矩图。x4
16、qa2/35qa2/3qa2/18M解：支反力为解：支反力为qaFA35qaFB31 0BM 0Y03232aFaaqqaAFAFBB3aACMe =3qa2axq02ABFaqFAC段段 q=0 剪力图为水平直线剪力图为水平直线剪力值剪力值qaFFA35S1 1、 校核剪力图校核剪力图FS5qa/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe =3qa2axqxAM(x)FS(x)FA1 1、 校核剪力图校核剪力图CB段段q=常量常量0 剪力图为向右下方剪力图为向右下方倾斜的斜直线倾斜的斜直线因因C点处无集中力点处无集中力作用，剪力图在该作用，剪力图在该处无突变，故处无突变，故qaFFA35S
17、CqaaqFFCB31)2(SSBBFFS即即FS5qa/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe =3qa2axqM(x)FS(x)FSCMCx-aq2、 校核弯矩图校核弯矩图AC段段剪力剪力=常量常量弯矩图弯矩图斜率为斜率为 正值的斜直线正值的斜直线弯矩值：弯矩值：支座支座A：MA=0C截面左侧截面左侧:235qaaFMACB3aACMe =3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3x4qa2/35qa2/3qa2/18M也可通过积分也可通过积分 来复核弯矩值：来复核弯矩值： xFxxMSdd qaaFxxFMMACAC350dSSAC段内剪力图的面积段内剪力图的面积FS5qa/3
18、xqa/38a/3x4qa2/35qa2/3qa2/18MCB段段 q=负常量负常量 弯矩图弯矩图曲率为负曲率为负(向下凸向下凸)的抛物线的抛物线C点处有集中力偶点处有集中力偶作用作用弯矩图突变弯矩图突变222eCC34335qaqaqaMMM支座支座B：MB=0B3aACMe =3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3x4qa2/35qa2/3qa2/18M aqaqaxxFMMCECE35352134d2S这些均与图中所示相符。这些均与图中所示相符。0)(SxF存在存在 的截面的截面，即弯矩即弯矩M(x)在此处有极值在此处有极值（抛物线的顶点）。（抛物线的顶点）。 0)(SSaxqF
19、FCE3/8ax 2181qaFS5qa/3xqa/38a/3x4qa2/35qa2/3qa2/18M例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。已知：已知： kN81AyFmkN5 .96AMkN29ByF( (逆时针逆时针) )1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m Me=5kNmF=50kNMA FAx FAyFBy813129Fs图图( (kN) )1.45 m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m Me=5kNmF=50kNMA FAx FAyFBy 96.5515.5315534M(kNm)kN20kNm40m
20、 m/kN10q kN35kN25m4m1ABC练习题练习题平面刚架：平面刚架： 某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架。75-6 5-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力l 刚架的内力图刚架的内力图刚节点刚节点刚节点刚节点 在连接两部分的在连接两部分的节点处夹角不变。节点处夹角不变。u 内力特点内力特点内
21、力分量：轴力、剪力和弯矩内力分量：轴力、剪力和弯矩u 内力的正负号内力的正负号内力只有面内内力。内力只有面内内力。u 内力的正负号内力的正负号FNFNFsFs作刚架内力图的约定：作刚架内力图的约定：1.剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致;2.剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但应注明正、负号；应注明正、负号；3.弯矩图应注意协调一致，一般画在各杆的受压一弯矩图应注意协调一致，一般画在各杆的受压一侧；侧； 刚架在面内受力时，平面刚架杆件的内力刚架在面内受力时，平面刚架杆件的内力一般有：轴力、剪力、弯矩一般有
22、：轴力、剪力、弯矩例例 试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。解：从自由端取分离体作为研解：从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程，可究对象写各段的内力方程，可不求固定端不求固定端A处的支反力。处的支反力。 0NxFCB段：段：(内侧受压内侧受压) qxxFS)20(2)(2axqxxM)20(ax FS(x)M(x)CqxxxqBCA3a2a )0(2NaxqaxF(内侧受压内侧受压)BA段：可看成是段：可看成是BC段的延伸段的延伸 0SxF axqaxM022FS(x)M(x)qBCx2axxqBCA3a2aF=2qa BCA2aa2aDq2qaFN图2qaFS图M图2qa2
23、0NxF qxxFS)20(2)(2axqxxM )0(2NaxqaxF 0SxF axqaxM022二、平面曲杆二、平面曲杆 某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。FR弯矩的符号约定弯矩的符号约定使杆的曲率增加（即外侧受拉）使杆的曲率增加（即外侧受拉）为正为正作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。目录例：画出该曲杆的内力图例：画出该曲杆的内力图 sinFFN解：解：写出曲杆的内力方程写出曲杆的内力方程（一般采用极坐标）（一般采用极坐标）FRmmF NF SF M cosFFS sinFRMFNF FSF FRM画出刚架的内力图。画出刚架的内力图。AOBq Caa小结小结1 1、熟练求解各种形式静定梁的支、熟练求解各种形式静定梁的支座反力座反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值弯矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图目录