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1、第 1 页 共 8 页必修二第八章与选必一第一章：立体几何与空间向量知识清单必修二第八章与选必一第一章：立体几何与空间向量知识清单一、必备公式1空间几何体的表面积与体积公式：(1)基本公式：圆：面积 S圆，周长 C圆；扇形：弧长 l扇形，面积 S扇形，周长 C扇形(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧S圆锥侧S圆台侧(3)柱、锥、台和球的体积公式柱体(棱柱和圆柱)：S表面积S侧2S底，V柱；锥体(棱锥和圆锥)：S表面积S侧S底，V锥；台体(棱台和圆台)：S表面积S侧S上S下，V台；球：S球，V球；2平行关系的判定及性质定理：(1)线面的判定定理和
2、性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外的一条直线与的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)，lb(2)面面的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，a，b性质定理两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的平行(简记为“面面平行线线平行”)，ab注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面，(简记为“面面平行线面平行”)3垂直关
3、系的判定及性质定理：(1)线面的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直(简记为“线线垂直线面垂直”)la，lb，a、b，l性质定理垂直于平面的两条直线平行a，b(2)面面的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直(简记为“线面垂直面面垂直”)，性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直(简记为“面面垂直线面垂直”)，l，l注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直线线垂直”)4空间向量与立体几何的求解公式：(1)异
4、面直线成角：设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角满足：cos；(2)线面成角：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，a 与 n 的夹角为，则直线 l 与平面所成的角为满足：sin|.(3)二面角：设 n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，2024高二数学上学期期末知识清单第 2 页 共 8 页则二面的成角满足：|cos|cosn1，n2|；注意：二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角或是向量 n1与 n2的夹角的，具体情况要判断确定(4)点到平面的距离：如右图所示，已知 AB 为平面的一条斜线段，n 为平面的法向量，则点 B
5、到平面的距离为：|BO|，即向量BO在法向量 n 的方向上的投影长.二、必备结论1直观图与原图的关系：(1)作图关系：位置：性、性不变；长度：平行 x(z)轴的长度，平行 y 轴的长度.(2)面积关系：S直观图S原图；2几个与球有关的内切、外接常用结论：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，则：若球为正方体的外接球，则 2R；若球为正方体的内切球，则 2Ra；球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.(2)长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则外接球直径长方体对角线，即：2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：.3几种常见角的取值范围：异面直线成角二面角线面角向量夹角直线的倾斜角三
6、、必备方法1三视图还原方法：法，具体步骤：根据三视图轮廓画长方体或正方体；在底面画；综合正视图和左视图进行提点连线；验证与完善.2平行构造的常用方法：三角形法；平行四边形线法；法.注意：平行构造主要用于：异面直线求夹角；平行关系的判定.3垂直构造的常用方法：等腰三角形法；法；投影法.4用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2(或 l1与 l2重合).(2)线面平行：设直线 l 的方向向量为 v，平面的法向量为 u，则 l或 l.(3)面面平行：设平面和的法向量分别为 u1，u2，则.5用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设
7、直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2v1v2.(2)线面垂直：设直线 l 的方向向量为 v，平面的法向量为 u，则 l.(3)面面垂直：设平面和的法向量分别为 u1和 u2，则u1u2.6点面距常用方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；法；向量法7外接球常用方法：将几何体补成长方体或正方体，则球直径=；过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球，找到球心即可求半径.四、必备细节1证明平行和垂直关系时，条件罗列要全面；2用法向量求二面角时，要注意判断法向量夹角就是二面角还是二面角的补角；3在解决角度和距离问题时，一定要遵循“一作、二、三求
8、解”的原则。第 3 页 共 8 页选择性必修一第二章选择性必修一第二章：直线方程与圆的方程直线方程与圆的方程知识清单知识清单一、必备公式1斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角90，则斜率 k.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1x2，则 l 的斜率 k.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线 xx0斜截式不含垂直于 x 轴的直线两点式不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐标轴和的直线一般式(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用3几种距离公式(1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|.
9、(2)点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离：d.(3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20(其中 C1C2)间的距离：d.4圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中为圆心，为半径5圆的一般方程：x2y2DxEyF0该方程表示圆的充要条件是，其中圆心为，半径 r.6判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：相交；相切；相离(2)代数法：利用判别式b24ac 进行判断：相交；相切；相离7圆与圆的位置关系：设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(
10、r20).则：_外离；外切；相交；内切；内含二、必备结论1斜率与倾斜角的关系：由正切图象可以看出：当2,0时，斜率 k0，)且随着增大而；当时，斜率不存在，但直线存在；当,2时，斜率 k(，0)且随着增大而2两条直线的位置关系(1)斜截式判断法：两条直线平行：对于两条不重合的直线 l1、l2：()若其斜率分别为 k1、k2，则有 l1l2.()当直线 l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线 l1、l2的斜率存在，设为 k1、k2，则有 l1l2.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为时，l1l2.(2)一般式判断法：设两直线 A1xB1yC10 与
11、 A2xB2yC20，则有：l1l2且 A1C2A2C1；l1l2.3直线系方程：(1)平行线系：与直线 AxByC0 平行的直线方程可设为：m0(mC)；(2)垂直线系：与直线 AxByC0 垂直的直线方程可设为：n0；(3)交点线系：过 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 的交点的直线可设：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0.4点与圆的位置关系圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，一般方程 x2y2DxEyF0，点 M(x0，y0)，则有：(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2，x02y02Dx0E y0F0；第 4 页 共 8 页(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2
12、r2，x02y02Dx0E y0F0；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2，x02y02Dx0E y0F0.5圆的切线方程常用结论(1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为：.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为：.(3)过圆 C：x2y2DxEyF0 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：法一：以 M 为，切线长为求圆 M 的方程；用圆 M 的方程圆 C 的方程即得；法二：以 CM 为，CM 中点为求圆 M 的方程；用圆 M 的方程圆 C 的方程即得；6圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置
13、与公切线的条数：内含：0 条；内切：1 条；相交：条；外切：条；外离：4 条(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)便可得公共弦所在直线的方程7常用口诀：直线带参，必过；弦长问题，用.三、必备方法1直线的对称问题：(1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据及列方程组；(2)线关于线对称：求交点；已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；两点定线即可.(3)圆关于线对称：圆心对称，半径.2直线与圆的相关问题：(1)切线问题：一般设直线点斜式(讨论斜率存在)，然后依据列方程求解；(2)弦长问题：用勾股，即圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，
14、则根据勾股定理得；3轨迹求法：直译法：直接根据题目提供的动点条件，直接列出方程，化简可得；几何法：根据动点满足的几何特征，判断其轨迹，然后根据轨迹定义直接写出方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等四、必备细节1任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在2与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)运用点斜式、斜截式方程时：要注意讨论存在性；(2)运用截距式方程时：要注意讨论是否经过(过原点的直线 x，y 轴截距均为 0)注意：截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零3点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应：先化直线方程
15、为(2)求两平行线之间的距离时，应：先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应4过一点求圆切线要注意：(1)过圆上一点作圆的切线有且只有条；(2)过圆外一点作圆的切线有且只有条，注意：若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解第 5 页 共 8 页选择性必修一第三章：圆锥曲线的性质及应用知识清单一、必备公式1椭圆有关知识：(1)椭圆定义：动点 P 满足：|PF1|PF2|，|F1F2|2c 且(其中 a0，c0，且 a，c 为常数)(2)椭圆标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形性质范围aa，bbbb，aa对称性对
16、称轴：对称中心：顶点A1(,)，A2(,)，B1(,)，B2(,)A1(,)，A2(,)，B1(,)，B2(,)轴长轴 A1A2的长为；短轴 B1B2的长为焦距|F1F2|离心率ecaa，b，c 的关系2双曲线有关知识(1)双曲线定义：动点 P 满足：|PF1|PF2|，|F1F2|2c 且(其中 a，c 为常数且 a0，c0).(2)双曲线标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质范围，yRxR，对称性对称轴：对称中心：顶点A1，A2A1，A2渐近线yy离心率eca，e，其中 c a2b2实虚轴实轴|A1A2|2a；虚轴|B1B2|2b
17、；a、b、c 的关系(ca0，cb0)3抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|PF|PM|，点 F 不在直线 l 上，PMl 于 M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0 x0焦点FFFF离心率e1准线方程范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下4重要公式(1)弦长公式：|AB|11k2|y1y2|；(2)将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程 Ax2BxC0：（前提0）韦达定理：x1x2，x1x2.第
18、 6 页 共 8 页二、必备结论1轨迹类型：方程x2my2n1，当 mn0 时表示；当 mn0 或 nm0 时表示；当时表示双曲线2椭圆结论：(1)如图 1：焦点F1AF2周长 CF1AF2、面积 SF1AF2；ABF2的周长为：CABF2；通径：|AC|(椭圆、双曲线通用)；图 1(2)如图 2：点 P 是椭圆上一动点，则有：动点角范围：0A1PA2A1BA2；焦半径范围：|PF1|(长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；|PO|范围：|PO|(长、短轴顶点到原点最远、最近；斜率：kPA1kPA2.(3)点 P(x0，y0)和椭圆的关系：图 2点 P 在椭圆内x20a2y20b21.点
19、P 在椭圆上x20a2y20b21.点 P 在椭圆外x20a2y20b21.(4)椭圆扁平程度：因为 ecac2a2a2b2a2，所以 e 越大，椭圆越；e 越小，椭圆越3双曲线结论：(1)如图 3：动点 P 到同侧焦点 F2的距离最小值为：|PF2|最小|A2F2|；焦点到渐近线的距离为：|F2M|；(2)渐近线求法结论：可直接令方程x2a2y2b2(0)等号右边的常数为，化简解得；图 34抛物线结论：如图 4：抛物线 y22px(p0)焦点弦 AB，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 的中点 E，准线为 l.(1)焦半径问题：焦半径：|AF|AD|，|BF|BC|(随焦点位置变动
20、而改变)；焦点弦：|AB|(其中，为直线 AB 的倾斜角)；1|AF|1|BF|2p；(2)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2，y1y2(随焦点动而变)；图 4(3)其他结论：SOAB(其中，为直线 AB 的倾斜角)；以 AB 为直径的圆必与相切于点 H三、必备方法1直线与圆锥曲线相关问题：(1)位置关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如 y)得出方程 Ax2BxC0：0有两个交点(相交)；0有一个交点(相切)；0没有交点(相离)(2)弦长问题：弦长公式韦达定理，即|AB|.(3)中点问题：法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线之间的关系
21、.2与角有关的关联性问题：直角(垂直)数量积 ab或斜率 k1k2或余弦定理 cos 0 或点共；锐角ab0 或余弦定理 cos；钝角ab0 或余弦定理 cos；3 巧设直线：反设直线法，即过 x 轴上一点(a,0)的直线可设为 x，这样可避免对直线斜率存在性的讨论4巧设共渐近线双曲线：与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)四、必备细节1易混淆：椭圆 a2，而双曲线 a2；双曲线离心率 e(1,)，而椭圆离心率 e(0,1)2易忽视：椭圆、双曲线的焦点位置；抛物线为化成标准方程；设直线未讨论斜率存在性；解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式这一隐
22、含条件第 7 页 共 8 页选择性必修二第一章选择性必修二第一章：数列数列知识清单知识清单一、必备公式1通项 an与前 n 项和 Sn的关系是：an.2等差数列有关公式：(1)通项公式：an；(2)前 n 项和公式：Sn.3等比数列有关公式：(1)通项公式：an；(2)前 n 项和公式：Sn.二、必备结论1等差数列常用结论：若an为等差数列，公差为 d，前 n 项和为 Sn，则有：(1)下标意识：若 pqmn，则，特别地，若 pq2k，则；(2)隔项等差：数列 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为的等差数列；(3)分段等差：数列 Sn，S2nSn，S3nS2n，是公差为的等差数列；(
23、4)数列Snn是公差为的等差数列，其通项公式Snnd2n21da；2等差数列与函数关系：(1)经整理 andn(a1d)，则数列an是等差数列 通项 an为函数：即 anknb(a、b 为常数)；(2)经整理 Snd2n221dan，数列an是等差数列Sn为无的函数：即 SnAn2Bn(A、B 为常数)3等比数列常用结论：若an为等比数列，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则有：(1)下标意识：若 pqmn，则，特别地，若 pq2k，则；(2)隔项等差：数列 an，ank，an2k，an3k，为数列，公比为.(3)分段等比：数列 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成数列，其公比为_.三、必备方法
24、1数列通项公式的几种求法：(1)利用 an与 Sn的关系：递推作差，具体步骤如下：先利用 a1S1求出 a1；利用 an(n2)求 an；检验 a1否符合 an的表达式(2)法：形如 anan1f(n)或 anan1f(n)，用累加法求 an；(3)法：形如 anan1f(n)或anan1f(n)，用累加法求 an；第 8 页 共 8 页(4)配凑构造等比数列：形如(A0 且 A1)，用配凑法求 an，具体步骤如下：设：an1xA(anx)；求：x；配：an1BA1A(anBA1)(5)导数构造等差数列：通常有以下两种情况：形如 an1AanBanA(A，B 为常数)，等号两边同时取，即可构造
25、1an等差；形如 an1anAan1an0，等号两边同时除以，即可构造1an等差.2数列前 n 项和的几种求法：(1)法：形如 an等差等比其它数列，用分组求和法，分别求和而后相加减；(2)裂项相消法：常用的裂项公式有：1nn11n1n1；12n12n1；1n n1；2n2n12n11；n1n2n2214(n+2)2n2n2(n+2)2141(n+2)21n2(3)法：形如 an等差等比，用错位相减法求解(4)法：形如 an(1)nf(n)，用并项求和法求解，即列举前几项后，采用两项合并求解 3等差数列的题型和常用方法：(1)等差数列判定：定义法：“欲证等差，直接”，即证 an1an定值；等差
26、中项法：即证 2an1；函数结论法：即 an为一次函数或 Sn为的二次函数.(2)求等差数列前 n 项和 Sn最值的两种方法：函数法：利用等差数列前 n 项和 Snan2bn，通过或借助图象求二次函数最值的方法求解正负分界法：即通过 an0(0)找到 an正负分界处，判断得出最大的前 n 项和为 Sn，具体如下：.当 a10，d0 且满足am0，am10时，Sm最；.当 a10 且满足am0，am10时，Sm最.4等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接”，即证an1anq(q0 的常数)数列an是等比数列；(2)等比中项法：即证 a2n1(anan1an20，nN*)数列an是等比
27、数列四、必备细节1由 anSnSn1求得的 an是从 n2 开始的，一定要对 n时的情况进行验证2 在运用等比数列 Sn时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误第 1 页 共 8 页必修二第八章与选必一第一章必修二第八章与选必一第一章：立体几何与空间向量：立体几何与空间向量知识清单知识清单一、必备公式1空间几何体的表面积与体积公式：(1)基本公式：圆：面积 S圆r2，周长 C圆2r；扇形：弧长 l扇形R，面积 S扇形12lR12R2，周长 C扇形l2R(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(
28、r1r2)l(3)柱、锥、台和球的体积公式柱体(棱柱和圆柱)：S表面积S侧2S底，V柱Sh；锥体(棱锥和圆锥)：S表面积S侧S底，V锥13Sh；台体(棱台和圆台)：S表面积S侧S上S下，V台13(S上S下 S上S下)h；球：S球4R2，V球43R3；2平行关系的判定及性质定理：(1)线面的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)la，a，ll性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，blb(2)面面的判定定理和性质定理文
29、字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b性质定理两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行(简记为“面面平行线线平行”)，a，bab注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行线面平行”)3垂直关系的判定及性质定理：(1)线面的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(简记为“线线垂直线面垂直”)la，lb，a、b，abOl性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a
30、，bab(2)面面的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(简记为“线面垂直面面垂直”)l，l性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(简记为“面面垂直线面垂直”)，l，a，lal注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则垂直该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直线线垂直”)4空间向量与立体几何的求解公式：(1)异面直线成角：设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角满足：cos|ab|a|b|；(2)线面成角：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，a 与 n
31、 的夹角为，则直线 l 与平面所成的角为满足：sin|cos|an|a|n|.第 2 页 共 8 页(3)二面角：设 n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则两面的成角满足：cos cosn1，n2n1n2|n1|n2|；注意：二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角或是向量 n1与 n2的夹角的补角，具体情况要判断确定(4)点到平面的距离：如右图所示，已知 AB 为平面的一条斜线段，n 为平面的法向量，则点 B 到平面的距离为：|BO|ABn|n|，即向量BO在法向量 n 的方向上的投影长.二、必备结论1直观图与原图的关系：(1)作图关系：位置：平行性、相交性不变；长度：平行
32、x(z)轴的长度不变，平行 y 轴的长度减半.(2)面积关系：S直观图24S原图；2几个与球有关的内切、外接常用结论：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，则：若球为正方体的外接球，则 2R 3a；若球为正方体的内切球，则 2Ra；球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.(2)长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则外接球直径长方体对角线，即：2R a2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：31.3几种常见角的取值范围：异面直线成角(0，2二面角0，线面角0，2向量夹角0，直线的倾斜角0，)三、必备方法1三视图还原方法：提点连线法，具体步骤：根据三视图轮廓画长方体或正方体；在
33、底面画俯视图；综合正视图和左视图进行提点连线；验证与完善.2平行构造的常用方法：三角形中位线法；平行四边形线法；比例线段法.注意：平行构造主要用于：异面直线求夹角；平行关系的判定.3垂直构造的常用方法：等腰三角形三线合一法；勾股定理法；投影法.4用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2(或 l1与 l2重合)v1v2.(2)线面平行：设直线 l 的方向向量为 v，平面的法向量为 u，则 l或 lvu.(3)面面平行：设平面和的法向量分别为 u1，u2，则u1u2.5用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设直线 l1和 l2的
34、方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2v1v2v1v20.(2)线面垂直：设直线 l 的方向向量为 v，平面的法向量为 u，则 lvu.(3)面面垂直：设平面和的法向量分别为 u1和 u2，则u1u2u1u20.6点面距常用方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；等体积法；向量法7外接球常用方法：将几何体补成长方体或正方体，则球直径=体对角线；过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球球心，找到球心即可求半径.四、必备细节1证明平行和垂直关系时，条件罗列要全面；2用法向量求二面角时，要注意判断法向量夹角就是二面角还是二面角的补角；3在解决角度和距离问题时，一定
35、要遵循“一作、二证、三求解”的原则。第 3 页 共 8 页选择性必修一第二章：选择性必修一第二章：直线方程与圆的方程直线方程与圆的方程一、必备公式1斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角90，则斜率 ktan.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1x2x1.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线 xx0斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线两点式yy1y2y1xx1x2x1不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2)截距式xayb1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面
36、直角坐标系内的直线都适用3几种距离公式(1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|x2x12y2y12.(2)点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离：d|Ax0By0C|A2B2.(3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20(其中 C1C2)间的距离：d|C1C2|A2B2.4圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中(a，b)为圆心，r 为半径5圆的一般方程：x2y2DxEyF0该方程表示圆的充要条件是 D2E24F0，其中圆心为D2，E2，半径 rD2E24F2.6判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直
37、线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：dr相离(2)代数法：利用判别式b24ac 进行判断：0相交；0相切；0)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20).则：dr1r2外离；dr1r2外切；|r1r2|dr1r2相交；d|r1r2|内切；0dr2，x02y02Dx0E y0F0；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2 c(其中 a0，c0，且 a，c 为常数)(2)椭圆标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2
38、(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b焦距|F1F2|2c离心率eca(0,1)a，b，c 的关系a2b2c22双曲线有关知识(1)双曲线定义：动点 P 满足：|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c 且 ac(其中 a，c 为常数且 a0，c0).(2)双曲线标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y
39、baxyabx离心率eca，e(1，)，其中 c a2b2实虚轴实轴|A1A2|2a；虚轴|B1B2|2b；a、b、c 的关系c2a2b2(ca0，cb0)3抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|PF|PM|，点 F 不在直线 l 上，PMl 于 M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0 x0焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下4重
40、要公式(1)弦长公式：|AB|1k2|x1x2|11k2|y1y2|；(2)将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如 y)得出第 6 页 共 8 页方程 Ax2BxC0：（前提0）韦达定理：x1x2ba，x1x2ca.二、必备结论1轨迹类型：方程x2my2n1，当 mn0 时表示圆；当 mn0 或 nm0 时表示椭圆；当 mn0 时表示双曲线2椭圆结论：(1)如图 1：焦点F1AF2周长 CF1AF22a2c、面积 SF1AF2b2tan2；ABF2的周长为：CABF24a；通径：|AC|2b2a(椭圆、双曲线通用)；图 1(2)如图 2：点 P 是椭圆上一动点，则有：动点角范围：0A1P
41、A2A1BA2；焦半径范围：ac|PF1|ac(长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；|PO|范围：b|PO|a(长、短轴顶点到原点最远、最近；斜率：kPA1kPA2b2a2.(3)点 P(x0，y0)和椭圆的关系：图 2点 P 在椭圆内x20a2y20b21.(4)椭圆扁平程度：因为 ecac2a2a2b2a21ba2，所以 e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆3双曲线结论：(1)如图 3：动点 P 到同侧焦点 F2的距离最小值为：|PF2|最小|A2F2|ca；焦点到渐近线的距离为：|F2M|b；(2)渐近线求法结论：可直接令方程x2a2y2b2(0)等号右边的常数为 0，化简解得；
42、图 34抛物线结论：如图 4：抛物线 y22px(p0)焦点弦 AB，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 的中点 E，准线为 l.(1)焦半径问题：焦半径：|AF|AD|x1p2，|BF|BC|x2p2(随焦点位置变动而改变)；焦点弦：|AB|x1x2p2psin2(其中，为直线 AB 的倾斜角)；1|AF|1|BF|2p；(2)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2p24，y1y2p2(随焦点动而变)；图 4(3)其他结论：SOABp22sin(其中，为直线 AB 的倾斜角)；以 AB 为直径的圆必与准线相切于点 H三、必备方法1直线与圆锥曲线相关问题：(1)位置
43、关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如 y)得出方程 Ax2BxC0：0有两个交点(相交)；0有一个交点(相切)；0没有交点(相离)(2)弦长问题：弦长公式韦达定理，即|AB|1k2|x1x2|11k2|y1y2|.(3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系.2与角有关的关联性问题：直角(垂直)数量积 ab0 或斜率 k1k21 或余弦定理 cos 0 或点共圆；锐角ab0 或余弦定理 cos 0；钝角ab0 或余弦定理 cos 0；3巧设直线：反设直线法，即过 x 轴上一点(a,0)的直线可设为 xtya，这样可避免对直线斜率存
44、在性的讨论4巧设共渐近线双曲线：与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2y2b2(0)四、必备细节1易混淆：椭圆 a2b2c2，而双曲线 c2a2b2；双曲线离心率 e(1,)，而椭圆离心率 e(0,1)2易忽视：椭圆、双曲线的焦点位置；抛物线为化成标准方程；设直线未讨论斜率存在性；解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式0 这一隐含条件第 7 页 共 8 页选择性必修二第一章选择性必修二第一章：数列数列知识清单知识清单一、必备公式1通项 an与前 n 项和 Sn的关系是：anS1，n1，SnSn1，n2.2等差数列有关公式：(1)通项公式：ana
45、1(n1)d；(2)前 n 项和公式：Snna1nn12dna1an2.3等比数列有关公式：(1)通项公式：ana1qn1；(2)前 n 项和公式：Snna1，q1，a11qn1qa1anq1q，q1.二、必备结论1等差数列常用结论：若an为等差数列，公差为 d，前 n 项和为 Sn，则有：(1)下标意识：若 pqmn，则 apaqaman，特别地，若 pq2k，则 apaq2ak；(2)隔项等差：数列 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列；(3)分段等差：数列 Sn，S2nSn，S3nS2n，是公差为 nd 的等差数列；(4)数列Snn是公差为d2的等差数列，其通
46、项公式Snnd2n21da；2等差数列与函数关系：(1)经整理 andn(a1d)，则数列an是等差数列 通项 an为一次函数：即 anknb(a、b 为常数)；(2)经整理 Snd2n221dan，数列an是等差数列Sn为无常数项的二次函数：即 SnAn2Bn(A、B 为常数)3等比数列常用结论：若an为等比数列，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则有：(1)下标意识：若 pqmn，则 apaqaman，特别地，若 pq2k，则 apaqak2；(2)隔项等差：数列 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk.(3)分段等比：数列 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，
47、其公比为_qn_.三、必备方法1数列通项公式的几种求法：(1)利用 an与 Sn的关系：递推作差，具体步骤如下：先利用 a1S1求出 a1；利用 anSnSn1(n2)求 an；检验 a1否符合 an的表达式(2)累加法：形如 anan1f(n)或 anan1f(n)，用累加法求 an；第 8 页 共 8 页(3)累乘法：形如 anan1f(n)或anan1f(n)，用累加法求 an；(4)配凑构造等比数列：形如 an1AanB(A0 且 A1)，用配凑法求 an，具体步骤如下：设：an1xA(anx)；求：xBA1；配：an1BA1A(anBA1)(5)导数构造等差数列：通常有以下两种情况：
48、形如 an1AanBanA(A，B 为常数)，等号两边同时取倒数，即可构造1an等差；形如 an1anAan1an0，等号两边同时除以 an1an，即可构造1an等差.2数列前 n 项和的几种求法：(1)分组求和法：形如 an等差等比其它数列，用分组求和法，分别求和而后相加减；(2)裂项相消法：常用的裂项公式有：1nn11n1n1；12n12n11212n112n1；1n n1 n1 n；2n2n12n1112n112n11；n1n2n2214(n+2)2n2n2(n+2)2141(n+2)21n2(3)错位相减法：形如 an等差等比，用错位相减法求解(4)并项求和法：形如 an(1)nf(n
49、)，用并项求和法求解，即列举前几项后，采用两项合并求解 3等差数列的题型和常用方法：(1)等差数列判定：定义法：“欲证等差，直接作差”，即证 an1an定值；等差中项法：即证 2an1anan2；函数结论法：即 an为一次函数或 Sn为无常数项的二次函数.(2)求等差数列前 n 项和 Sn最值的两种方法：函数法：利用等差数列前 n 项和 Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解正负分界法：即通过 an0(0)找到 an正负分界处，判断得出最大的前 n 项和为 Sn，具体如下：.当 a10，d0 且满足am0，am10时，Sm最大；.当 a10 且满足am0，am10时，Sm最小.4等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证an1anq(q0 的常数)数列an是等比数列；(2)等比中项法：即证 a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列四、必备细节1由 anSnSn1求得的 an是从 n2 开始的，一定要对 n1 时的情况进行验证2在运用等比数列 Sn时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误