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1、4.2.14.2.1等差数列的概念等差数列的概念 (第二课时第二课时)1.1.等差数列的定义：等差数列的定义：4.4.等差数列的函数特征：等差数列的函数特征：3.3.等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：2.2.等差中项的定义：等差中项的定义：函数图象上所有的点在函数图象上所有的点在同一条直线同一条直线上：上：d0 0,等差数列单调等差数列单调增增；d0 0,等差数列单调等差数列单调减减；d0 0,等差数列为等差数列为常函数常函数.如果在如果在与与中间插入一个数中间插入一个数A，使，使，A，成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做与与的的等差中项等差中项.an=am+(nm)d累加法an=
2、a1+(n1)d=dn+(a1-d)，f(x)=dx+(a1-d)复习回顾5.5.等差数列的判定方法：等差数列的判定方法：定义法定义法知识加深知识加深1.在等在等差数列差数列an中中(1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+q；(3)若若a12=20，a42=140，求求a10，a27例1.解:知识应用典典例例分分析析例例2.已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2,公差公差d=8,在在an中每相邻两项之间都插中每相邻两项之间都插入入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的
3、等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式的通项公式.(2)b29是不是数列是不是数列an的项？若是的项？若是,它是它是an的第几项？若不是，说明理由的第几项？若不是，说明理由.分析：a1，a2，a3，a4，a5，.a1，？，？，？，a2，？，？，？，a3，.b1，b2 ，b3 ，b4 ，b5，b6 ,b7 ,b8 ,b9,.典典例例分分析析例例2.已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2,公差公差d=8,在在an中每相邻两项之间都插中每相邻两项之间都插入入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn
4、的通项公式的通项公式.(2)b29是不是数列是不是数列an的项？若是的项？若是,它是它是an的第几项？若不是，说明理由的第几项？若不是，说明理由.解解：(1)设数列设数列bn的公差为的公差为d.由题意可知，由题意可知，b1=a1,b5=a2,于于是是b5-b1=a2-a1=8.b5-b1=4d,所以所以4d=8,所以所以d=2.bn2+(n-1)2=2n 数列数列bn的通项公式是的通项公式是bn2n.典典例例分分析析分析：分析：(2)先求先求b29=？再求再求an 令令an?，解出，解出n解法解法1：(2)由由(1)可得可得b29=229=58因为因为a1=2，d=8 所以所以an=8n-6令
5、令8n-6=58解得解得n=8所以所以b29是数列是数列an项，是第项，是第8项。项。例例2.已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2,公差公差d=8,在在an中每相邻两项之间都插中每相邻两项之间都插入入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式的通项公式.(2)b29是不是数列是不是数列an的项？若是的项？若是,它是它是an的第几项？若不是，说明理由的第几项？若不是，说明理由.典典例例分分析析a1，？，？，？，a2，？，？，？，a3，.b1，b2 ，b3 ，b4 ，b5，b6 ,b7 ,b8
6、 ,b9,.a1，a2，a3，a4，a5，.，an ,.b1，b5，b9,.，.b13,b17,b4n-3,解法解法2：(2)数列数列an的各项依次是数列的各项依次是数列bn的第的第1,5,9,13.项，项，这些这些下标下标构成一个首项为构成一个首项为1,公差为公差为4的等差数列的等差数列cn则则cn=4n-3.令令4n-3=29,解得解得n=8.所以，所以，b29是数列是数列an的第的第8项项.例例2.已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2,公差公差d=8,在在an中每相邻两项之间都插中每相邻两项之间都插入入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列个数，使它们和原数列的数
7、一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式的通项公式.(2)b29是不是数列是不是数列an的项？若是的项？若是,它是它是an的第几项？若不是，说明理由的第几项？若不是，说明理由.典典例例分分析析已知等差数列已知等差数列an的通项公式为的通项公式为an=4n3，则则(1)a1+a9=a2+a8=a3+a7=2a5=.(2)a3+a15=a5+a13=a8+a10=2a9=.343434173466666633 66猜想：猜想：等差数列等差数列an，p,q,s,t,kN*,且且p+q=s+t=2k,则则ap+aq=as+at=2ak计算计算分析：分析：只要根据等差数列的定义写出
8、只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利再利用已知条件即可得证。用已知条件即可得证。证明证明：设数列设数列an的公差为的公差为d,则则ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d.所以所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d,as+at=2a1+(s+t-2)d.因为因为p+q=s+t,所以所以ap+aq=as+at.例例3.已已知知数列数列an是是等差数列等差数列，p,q,s,t,N*,且且p+q=s+t,则则ap+aq=as+at典典例例分分析析 例例3是等差数列的一条性是等差数列的一条性质质，图图4.2-2是它的是它
9、的一种情形你能从几何角度解一种情形你能从几何角度解释释等差数列的等差数列的这这一一性性质吗质吗？因为因为p+q=s+t,所以所以ap+aq=as+at。直线斜率直线斜率相等相等说明：说明：等差数列的性质：等差数列的性质：注意：注意：对于此性质，必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立！对于此性质，必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立！在在等差数列等差数列an中中(1)已知已知a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20巩固练习巩固练习(2）已知）已知a3+a11=10，求，求a6+a7+a8(3)已知已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d
10、.分析：由分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及及a6+a9+a12+a15=20，可得，可得a1+a20=10。分析：分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知又已知a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15。分析：分析：a4+a5+a6+a7=56，a4+a7=28，又又a4a7=187解得解得a4=17a7=11a4=11a7=17或或d=_2或或2,从而从而a14=_3或或31。典典例例分分析析典典例例分分析析等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即
11、可确定此等差数列的通项公式.(2)当已知数列有3项时，可设为ad，a，ad，此时公差为d.若有5项、7项、时，可同理设出.(3)当已知数列有4项时，可设为a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d.若有6项、8项、时，可同理设出.规律总结规律总结：d cd 2d 等差数列 等差数列的性质推广补充作业补充作业1.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a-5-5，-3 3a+2 2，则，则 a 等于等于（)A.-1 .-1 B.1 .1 C.-2 .-2 D.22.三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为，首尾二数的积为12，求
12、此三数，求此三数.3.在等差数列在等差数列an中中,a1=83，a4=98，则这个数列，则这个数列有多有多少项在少项在300到到500之间？之间？4.已知数列已知数列an 的通项公式的通项公式为为 ，问数列从第几项开始小于问数列从第几项开始小于0 0？请同学们回顾本节课的学习内容请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：并回答下列问题：1.1.本节课学习的等差数列的性质有哪些？本节课学习的等差数列的性质有哪些？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？在解决问题时，用到了哪些数学思想？课堂小结数数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实际。际。