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1、专题27 排列、组合与二项式定理排列、组合与二项式定理排列、组合与二项式定理主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.高高考考中中对对两两个个计计数数原原理理、排排列列、组组合合的的考考查查以以基基本本概概念念、基基本本方方法法(如如“在在”“”“不不在在”问问题题、相相邻邻问问题题、相相间间问问题题)为为主主,主主要要涉涉及及数数字字问问题题、样样品品问问题题、几几何何问问题题、涂涂色色问问题题、选选取取问问题题等等；对对二二项项式式定定理理的的考考查查，主主要要是是利利用用通通项项求求展展开开式式的的特特定定项项，利利用用二二项项式式定定理理展展开开式式的的性性质质
2、求求有有关关系系数数问问题题主主要要考考查查分分类类与与整整合合思思想想、转转化化与与化化归归思思想想、补集思想和逻辑思维能力补集思想和逻辑思维能力.考情解读32.排排列列、组组合合、两两个个计计数数原原理理往往往往通通过过实实际际问问题题进进行行综综合合考考查查，一一般般以以选选择择、填填空空题题的的形形式式出出现现，难难度度中中等等，还还经经常常与与概概率率问问题题相相结结合合，出出现现在在解解答答题题的的第第一一或或第第二二个个小小题题中中，难难度度也也为为中中等等；对对于于二二项项式式定定理理的的考考查查，主主要要出出现现在在选择题或填空题中，难度为易或中等选择题或填空题中，难度为易或
3、中等考情解读主干知识梳理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如如果果每每种种方方法法都都能能将将规规定定的的事事件件完完成成，则则要要用用分分类类加加法法计计数数原原理理将将方方法法种种数数相相加加；如如果果需需要要通通过过若若干干步步才才能能将将规规定定的的事事件件完完成成，则则要要用用分分步步乘乘法法计计数数原原理理将将各各步的方法种数相乘步的方法种数相乘.2.排列与组合排列与组合(1)排排列列：从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m(mn)个个元元素素，按按照照一一定定的的顺顺序序排排成成一一列列，叫叫做做从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个
4、元元素素的的一一个个排排列列.从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个元元素素的的排排列数公式是列数公式是A n(n1)(n2)(nm1)或写成或写成A .(2)组组合合：从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m(mn)个个元元素素组组成成一一组组，叫叫做做从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个元元素素的的一一个个组组合合.从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数公式是个元素的组合数公式是(3)组合数的性质组合数的性质热点一 两个计数原理热点二 排列与组合热点三 二项式定理热点分类突破例1(1)将将1,2,3，9这这9个个数数字字填填在在如如图图的的9个个空空格格中中，
5、要要求求每每一一行行从从左左到到右右，每每一一列列从从上上到到下下分分别别依依次次增增大大.当当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为固定在图中的位置时，填写空格的方法为()热点一 两个计数原理A.6种种 B.12种种C.18种种 D.24种种思维启迪 先先确确定定数数字字1,2,9的的位位置，再分步填写空格；置，再分步填写空格；解析每每一一行行从从左左到到右右，每每一一列列从从上上到到下下分分别别依依次次增增大大，1,2,9只只有有一一种种填填法法，5只只能能填填在在右右上上角角或或左下角，左下角，5填后与之相邻的空格可填填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；任一个；余下两个数字按从小
6、到大只有一种方法余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有共有236种结果，故选种结果，故选A.答案A(2)如如果果一一个个三三位位正正整整数数“a1a2a3”满满足足a1a2且且a3a2，则则称称这这样样的的三三位位数数为为凸凸数数(如如120,343,275)，那那么么所有凸数的个数为所有凸数的个数为()A.240 B.204C.729 D.920思维启迪 按中间数进行分类按中间数进行分类.解析分分8类，当中间数为类，当中间数为2时，有时，有122种；种；当中间数为当中间数为3时，有时，有236种；种；当中间数为当中间数为4时，有时，有3412种；种；当中间数为当中间数为5时，有时，有452
7、0种；种；当中间数为当中间数为6时，有时，有5630种；种；当中间数为当中间数为7时，有时，有6742种；种；当中间数为当中间数为8时，有时，有7856种；种；当中间数为当中间数为9时，有时，有8972种种.故共有故共有26122030425672240种种.答案A(1)在在应应用用分分类类加加法法计计数数原原理理和和分分步步乘乘法法计计数数原原理理时时，一一般般先先分分类类再再分分步步，每每一一步步当当中中又又可可能能用用到到分类加法计数原理分类加法计数原理.(2)对对于于复复杂杂的的两两个个原原理理综综合合使使用用的的问问题题，可可恰恰当当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化列出示意图或
8、表格，使问题形象化、直观化.思维升华变式训练1(1)(2014大大纲纲全全国国)有有6名名男男医医生生、5名名女女医医生生，从从中中选选出出2名名男男医医生生、1名名女女医医生生组组成成一一个个医医疗疗小小组组，则则不同的选法共有不同的选法共有()A.60种种 B.70种种C.75种种 D.150种种C(2)已已知知函函数数f(x)ln(x21)的的值值域域为为0,1,2，则则满满足这样条件的函数的个数为足这样条件的函数的个数为()A.8 B.9C.26 D.27解析因为值域为因为值域为0,1,2,即即ln(x21)0 x0，所以定义域取值即在这所以定义域取值即在这5个元素中选取，个元素中选取
9、，当定义域中有当定义域中有5个元素时，有一种情况个元素时，有一种情况.所以共有所以共有4419(个个)这样的函数这样的函数.答案B例2(1)(2014重重庆庆)某某次次联联欢欢会会要要安安排排3个个歌歌舞舞类类节节目目，2个个小小品品类类节节目目和和1个个相相声声类类节节目目的的演演出出顺顺序序，则同类节目不相邻的排法种数是则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120C.144 D.168热点二 排列与组合思维启迪 将将不不能能相相邻邻的的节节目插空安排；目插空安排；解析先先安安排排小小品品节节目目和和相相声声节节目目，然然后后让让歌歌舞舞节节目去插空目去插空.安安排排小小品品节节目目
10、和和相相声声节节目目的的顺顺序序有有三三种种：“小小品品1，小小品品2，相相声声”“”“小小品品1，相相声声，小小品品2”和和“相相声声，小品小品1，小品，小品2”.”.同理，第三种情况也有同理，第三种情况也有36种安排方法，种安排方法，故共有故共有363648120(种种)安排方法安排方法.答案B(2)数数列列an共共有有12项项，其其中中a10，a52，a125，且且|ak1ak|1，k1,2,3，11，则则满满足足这这种种条条件的不同数列的个数为件的不同数列的个数为()A.84 B.168C.76 D.152思维启迪 考考虑虑数数列列中中项项的的增减变化次数增减变化次数.解析|ak1ak
11、|1，k1,2,3，11，前前一一项项总总比比后后一一项项大大1或或小小1，a1到到a5中中4个个变变化化必必然然有有3升升1减减，a5到到a12中中必必然然有有5升升2减减，是是组组合合的的问问题，题，答案A解排列、组合的应用题，通常有以下途径：解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以以元元素素为为主主体体，即即先先满满足足特特殊殊元元素素的的要要求求，再再考考虑其他元素虑其他元素.(2)以以位位置置为为主主体体，即即先先满满足足特特殊殊位位置置的的要要求求，再再考考虑其他位置虑其他位置.(3)先先不不考考虑虑附附加加条条件件，计计算算出出排排列列或或组组合合数数，再再减减去不符合要求
12、的排列或组合数去不符合要求的排列或组合数.思维升华变式训练2(1)在在航航天天员员进进行行的的一一项项太太空空实实验验中中，先先后后要要实实施施6个个程程序序，其其中中程程序序A只只能能出出现现在在第第一一步步或或最最后后一一步步，程程序序B和和C实实施施时时必必须须相相邻邻，则则实实验验顺顺序序的的编编排排方方法共有法共有()A.24种种 B.48种种C.96种种 D.144种种解析首先安排首先安排A有有2种方法；种方法；第第二二步步在在剩剩余余的的5个个位位置置选选取取相相邻邻的的两两个个排排B，C，有有4种排法，而种排法，而B，C位置互换有位置互换有2种方法；种方法；答案C(2)从从0,
13、1,2,3,4中中任任取取四四个个数数字字组组成成无无重重复复数数字字的的四四位位数数，其中偶数的个数是其中偶数的个数是_(用数字作答用数字作答).解析0,1,2,3,4中中任任取取四四个个数数字字组组成成无无重重复复数数字字的的四四位位数，且为偶数，有两种情况：数，且为偶数，有两种情况：故共有四位偶数故共有四位偶数60个个.60热点三 二项式定理思维启迪 利利用用通通项项公公式式求求常数项；常数项；C(2)如如果果(1xx2)(xa)5(a为为实实常常数数)的的展展开开式式中中所所有有项项的系数和为的系数和为0，则展开式中含，则展开式中含x4项的系数为项的系数为_.思维启迪 可用赋值法求二项
14、展开式所有项的系数和可用赋值法求二项展开式所有项的系数和.解析令令x1得得(1xx2)(xa)5的的展展开开式式中中所所有有项项的系数和为的系数和为(1112)(1a)50，a1，(1xx2)(xa)5(1xx2)(x1)5(x31)(x1)4x3(x1)4(x1)4，5(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：在应用通项公式时，要注意以下几点：它它表表示示二二项项展展开开式式的的任任意意项项,只只要要n与与r确确定定，该项就随之确定；该项就随之确定；Tr1是展开式中的第是展开式中的第r1项，而不是第项，而不是第r项；项；公公式式中中，a，b的的指指数数和和为为n且且a，b不不能能随随便便颠颠倒
15、位置；倒位置；思维升华对对二二项项式式(ab)n展展开开式式的的通通项项公公式式要要特特别别注注意符号问题意符号问题.(2)在在二二项项式式定定理理的的应应用用中中，“赋赋值值思思想想”是是一一种种重重要要方方法法，是是处处理理组组合合数数问问题题、系系数数问问题题的的经典方法经典方法.思维升华变式训练3令令72r3，得，得r5.答案C(2)(2014浙浙江江)在在(1x)6(1y)4的的展展开开式式中中，记记xmyn项项的的系系数数为为f(m，n)，则则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于等于()A.45 B.60 C.120 D.210所以所以f(3,0)f(2,1)f(1
16、,2)f(0,3)C1.排列、组合应用题的解题策略排列、组合应用题的解题策略(1)在在解解决决具具体体问问题题时时，首首先先必必须须弄弄清清楚楚是是“分分类类”还还是是“分分步步”，接接着着还还要要搞搞清清楚楚“分分类类”或或者者“分分步步”的具体标准是什么的具体标准是什么.(2)区区分分某某一一问问题题是是排排列列问问题题还还是是组组合合问问题题，关关键键看看选选出出的的元元素素与与顺顺序序是是否否有有关关.若若交交换换某某两两个个元元素素的的位位置置对对结结果果产产生生影影响响，则则是是排排列列问问题题；若若交交换换任任意意两两个个元元素素的位置对结果没有影响，则是组合问题的位置对结果没有
17、影响，则是组合问题.也就是说排列也就是说排列本讲规律总结问问题题与与选选取取元元素素的的顺顺序序有有关关，组组合合问问题题与与选选取取元元素素的的顺顺序序无关无关.(3)排排列列、组组合合综综合合应应用用问问题题的的常常见见解解法法：特特殊殊元元素素(特特殊殊位位置置)优优先先安安排排法法；合合理理分分类类与与准准确确分分步步；排排列列、组组合合混混合合问问题题先先选选后后排排法法；相相邻邻问问题题捆捆绑绑法法；不不相相邻邻问问题题插插空空法法；定定序序问问题题倍倍缩缩法法；多多排排问问题题一一排排法法；“小小集集团团”问问题题先先整整体体后后局局部部法法；构构造造模模型型法法；正正难难则则反
18、反、等价转化法等价转化法.2.二二项项式式定定理理是是一一个个恒恒等等式式，对对待待恒恒等等式式通通常常有有两两种种思路思路一一是是利利用用恒恒等等定定理理(两两个个多多项项式式恒恒等等，则则对对应应项项系系数数相相等等)；二二是是赋赋值值.这这两两种种思思路路相相结结合合可可以以使使得得二二项项展展开开式的系数问题迎刃而解式的系数问题迎刃而解.另另外外，通通项项公公式式主主要要用用于于求求二二项项式式的的指指数数，求求满满足足条条件件的的项项或或系系数数，求求展展开开式式的的某某一一项项或或系系数数，在在运运用用公公式时要注意以下几点：式时要注意以下几点：(3)求求展展开开式式的的特特殊殊项
19、项，通通常常都都是是由由题题意意列列方方程程求求出出r，再再求求出出所所需需的的某某项项；有有时时需需先先求求n，计计算算时时要要注注意意n和和r的取值范围及它们之间的大小关系的取值范围及它们之间的大小关系.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014浙浙江江)在在8张张奖奖券券中中有有一一、二二、三三等等奖奖各各1张张，其其余余5张张无无奖奖.将将这这8张张奖奖券券分分配配给给4个个人人，每每人人2张张，不同的获奖情况有不同的获奖情况有_种种(用数字作答用数字作答).解析把把8张张奖奖券券分分4组组有有两两种种分分法法，一一种种是是分分(一一等等奖奖，无无奖奖)、(二二等等奖奖，无无
20、奖奖)、(三三等等奖奖，无无奖奖)、(无无奖，无奖奖，无奖)四组，分给四组，分给4人有人有A种分法；种分法；12真题感悟答案60真题感悟212押题精练1231.给给一一个个正正方方体体的的六六个个面面涂涂上上4种种不不同同的的颜颜色色(红红、黄黄、绿绿、蓝蓝)，要要求求相相邻邻2个个面面涂涂不不同同的的颜颜色色，则则所所有有涂涂色色方方法的种数为法的种数为()A.6 B.12 C.24 D.484解析由由于于涂涂色色过过程程中中，要要使使用用4种种颜颜色色，且且相相邻邻的的面面不同色，不同色，对对于于正正方方体体的的3组组对对面面来来说说，必必然然有有2组组对对面面同同色色，1组组对面不同色，
21、而且对面不同色，而且3组对面具有组对面具有“地位对等性地位对等性”，因因此此，只只需需从从4种种颜颜色色中中选选择择2种种涂涂在在其其中中2组组对对面面上，剩下的上，剩下的2种颜色分别涂在另外种颜色分别涂在另外2个面上即可个面上即可.答案A押题精练12342.某某电电视视台台一一节节目目收收视视率率很很高高，现现要要连连续续插插播播4个个广广告告，其其中中2个个不不同同的的商商业业广广告告和和2个个不不同同的的公公益益宣宣传传广广告告，要要求求最最后后播播放放的的必必须须是是商商业业广广告告，且且2个个商商业业广告不能连续播放，则不同的播放方式有广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A.8种种 B.16种种 C.18种种 D.24种种押题精练1234答案A押题精练1234押题精练1234解析根据二项式系数的性质，得根据二项式系数的性质，得2n10，答案C押题精练1234押题精练1234令令x0，可得，可得a01.答案C押题精练1234