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1、第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与比较大小1.1.不等式与不等关系不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点不等式的定义所含的两个要点.(1)(1)不等符号不等符号,或或.(2)(2)所表示的关系是不等关系所表示的关系是不等关系.【思考思考】(1)(1)不等号不等号“,”,”的读法分别是什么的读法分别是什么?提示提示:“”“”读作小于或者等于读作小于或者等于,“”,“”读作大于或者读作大于或者等于等于.(2)(2)不等式不等式“ab”ab”的含义是什么的含义是什么?只有当只有当“ab”ab”与与“a=b”a=b”同时成立时同时成立时,该不等式才成立该不
2、等式才成立,是吗是吗?提示提示:不等式不等式abab应读作应读作“a a小于或者等于小于或者等于b”,b”,其含义其含义是指是指“abab或者或者a=b”,a=b”,等价于等价于“a a不大于不大于b”,b”,即若即若aba0”,b-a0”,则则a,ba,b的大小关系是怎样的的大小关系是怎样的?提示提示:ba.ba.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)不等式不等式x2x2的含义是指的含义是指x x不小于不小于2.2.()(2)(2)若若x x2 2=0,=0,则则x0.x0.()(3)(3)若若x-10,x-10,则则x1.xb
3、,a=b,ab,a=b,a2x2或或x=2,x=2,即即x x不小于不小于2.2.(2).(2).若若x x2 2=0,=0,则则x=0,x=0,所以所以x0 x0成立成立.(3)(3).若若x-10,x-10,则则x1xb,a=b,ab,a=b,ab三种关系三种关系中的一种中的一种,没有其他大小关系没有其他大小关系.2.2.大桥桥头立着的大桥桥头立着的“限重限重4040吨吨”的警示牌的警示牌,是提示司机是提示司机要安全通过该桥要安全通过该桥,应使车和货物的总质量应使车和货物的总质量T T满足关系满足关系()A.T40A.T40B.T40C.T40C.T40D.T40D.T40【解析解析】选选
4、C.“C.“限重限重4040吨吨”是不超过是不超过4040吨的意思吨的意思.3.3.已知已知x1,x1,则则x x2 2+2+2与与3x3x的大小关系为的大小关系为_._.【解析解析】x x2 2+2-3x=(x-2)(x-1),+2-3x=(x-2)(x-1),而而x1,x1,所以所以x-20,x-1x-20,x-10,0,+2-3x0,所以所以x x2 2+23x.+23x.答案答案:x x2 2+23x+23x类型一利用不等式类型一利用不等式(组组)表示不等关系表示不等关系【典例典例】1.1.限速限速40 km/h40 km/h的路标的路标,指示司机在前方路段指示司机在前方路段行驶时行驶
5、时,使汽车速度使汽车速度v v不超过不超过40 km/h,40 km/h,用不等关系表示用不等关系表示速度的限制为速度的限制为_._.2.2.用一段长为用一段长为30 m30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园园,墙长墙长18 m,18 m,要求菜园的面积不小于要求菜园的面积不小于110 m110 m2 2,靠墙的一靠墙的一边长为边长为x m.x m.试用不等式表示其中的不等关系试用不等式表示其中的不等关系.【思维思维引引】读懂题意读懂题意,找出不等关系找出不等关系,并用不等式并用不等式(组组)表示出来表示出来.【解析解析】1.“1.“不超过不超过”即即“小于或等
6、于小于或等于”,所以所以vv40 km/h.40 km/h.答案答案:v40 km/hv40 km/h2.2.由于矩形菜园靠墙的一边长为由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,x m,而墙长为而墙长为18 m,18 m,所所以以0 x18,0 0.+10.所以所以(3x(3x2 2+1)(x-1)0,+1)(x-1)0,所以所以3x3x3 33x3x2 2-x+1.-x+1.(2)(2)因为因为5x5x2 2+y+y2 2+z+z2 2-(2xy+4x+2z-2)-(2xy+4x+2z-2)=4x=4x2 2-4x+1+x-4x+1+x2 2-2xy+y-2xy+y2 2+z+z2 2-2z+1-2
7、z+1=(2x-1)=(2x-1)2 2+(x-y)+(x-y)2 2+(z-1)+(z-1)2 20,0,所以所以5x5x2 2+y+y2 2+z+z2 22xy+4x+2z-2,2xy+4x+2z-2,当且仅当当且仅当x=y=x=y=且且z=1z=1时取到等号时取到等号.【素养素养探探】本例考查作差法比较大小本例考查作差法比较大小,突出考查了逻辑推理与数学突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养运算的核心素养.本例本例(1)(1)中中,若把条件若把条件“x1”x1”去掉去掉,试比较所给两式的试比较所给两式的大小大小.【解析解析】去掉条件去掉条件“x1x1”后需对差的符号进行讨论后需对差的符号
8、进行讨论.显然显然3x3x2 2+10,+10,所以所以当当x1x1时时,(3x,(3x2 2+1)(x-1)0,+1)(x-1)0,所以所以3x3x3 33x1x1时时,(3x,(3x2 2+1)(x-1)0,+1)(x-1)0,所以所以3x3x3 33x3x2 2-x+1.-x+1.【类题类题通通】作差法比较大小的步骤作差法比较大小的步骤【发散发散拓拓】中间值法比较大小中间值法比较大小 如果所给式子作差后无法因式分解如果所给式子作差后无法因式分解,不能判断差不能判断差的符号的符号,可尝试中间值法比较大小可尝试中间值法比较大小.利用中间值法比较利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值大小的关
9、键在于寻找中间值,通过它们的有界性来寻找通过它们的有界性来寻找中间值作媒介中间值作媒介,以达到传递的目的以达到传递的目的.【延伸延伸练练】已知已知xR,xR,试比较试比较2x2x2 2-3x+3-3x+3与与 的大的大小小.【解析解析】因为因为2x2x2 2-3x+3=1,-3x+3=1,2 2x x+2+2-x-x=()=()2 2+22,+22,所以所以 1,1,所以所以2x2x2 2-3x+3 .-3x+3 .【习练习练破破】已知已知x,yR,P=2xx,yR,P=2x2 2-xy+1,Q=2x-,-xy+1,Q=2x-,试比较试比较P,QP,Q的大小的大小.【解析解析】因为因为P-Q=
10、2xP-Q=2x2 2-xy+1-=x-xy+1-=x2 2-xy+x-xy+x2 2-2x-2x+1=+1=+(x-1)+(x-1)2 20,0,所以所以PQ.PQ.【加练加练固固】比较下列各组中两个代数式的大小比较下列各组中两个代数式的大小:(1)x(1)x2 2+3+3与与2x.2x.(2)(2)已知已知a,ba,b为正数为正数,且且ab,ab,比较比较a a3 3+b+b3 3与与a a2 2b+abb+ab2 2的大小的大小.【解析解析】(1)(x(1)(x2 2+3)-2x=x+3)-2x=x2 2-2x+3-2x+3=(x-1)=(x-1)2 2+220,+220,所以所以x x
11、2 2+32x.+32x.(2)(a(2)(a3 3+b+b3 3)-(a)-(a2 2b+abb+ab2 2)=a)=a3 3+b+b3 3-a-a2 2b-abb-ab2 2=a=a2 2(a-b)-b(a-b)-b2 2(a-b)=(a-b)(a(a-b)=(a-b)(a2 2-b-b2 2)=(a-b)=(a-b)2 2(a+b),(a+b),因为因为a0,b0,a0,b0,且且ab,ab,所以所以(a-b)(a-b)2 20,a+b0.0,a+b0.所以所以(a(a3 3+b+b3 3)-(a)-(a2 2b+abb+ab2 2)0,)0,即即a a3 3+b+b3 3aa2 2b+
12、abb+ab2 2.类型比较大小在实际问题中的应用类型比较大小在实际问题中的应用【实际情境实际情境】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队甲车队说说:“:“如果领队买全票一张如果领队买全票一张,其余人可享受其余人可享受7.57.5折优惠折优惠”,乙车队说乙车队说:“:“你们属团体票你们属团体票,按原价的按原价的8 8折优惠折优惠.”.”这两这两车队的原价、车型都是一样的车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数试根据单位的人数,比比较两车队的收费哪家更优惠较两车队的收费哪家更优惠.【转化模板转化模板】1.1.由题意可得甲、乙两车队收费与乘车人数的
13、表由题意可得甲、乙两车队收费与乘车人数的表达式达式,要比较哪个车队收费更优惠要比较哪个车队收费更优惠,可依据作差法模型可依据作差法模型解决解决.2.2.设该单位职工有设该单位职工有n n人人(nN(nN*),),一张全票价为一张全票价为x x元元,坐甲车队的车需花坐甲车队的车需花y y1 1元元,坐乙车队的车需花坐乙车队的车需花y y2 2元元.3.3.当当n n取不同的正整数值时取不同的正整数值时,比较比较y y1 1与与y y2 2的大小的大小.4.4.由题意由题意,y,y1 1=x+x(n-1)=x+nx,y=x+x(n-1)=x+nx,y2 2=nx.=nx.因为因为y y1 1-y-y2 2=x+nx-nx=x-nx=x ,=x+nx-nx=x-nx=x ,当当n=5n=5时时,y,y1 1=y=y2 2;当当n5n5时时,y,y1 1yy2 2;当当n5nyy2 2.5.5.当单位去的人数为当单位去的人数为5 5人时人时,两车队收费相同两车队收费相同;多多于于5 5人时人时,选甲车队更优惠选甲车队更优惠;少于少于5 5人时人时,选乙车队更优惠选乙车队更优惠.