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1、3.2.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念1.1.函数的奇偶性函数的奇偶性前提前提函数函数f(x)f(x)的定的定义义域域为为I,I,xIxI,都有都有-xI-xI条件条件f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)结论结论函数函数f(x)f(x)叫偶函数叫偶函数函数函数f(x)f(x)叫奇函数叫奇函数【思考思考】(1)(1)如果定义域内存在如果定义域内存在x x0 0,满足满足f(-xf(-x0 0)=f(x)=f(x0 0),),函数函数f(x)f(x)是偶函数吗是偶函数吗?提示提示:不一定不一定,必须对于定义域内的任意一个必须对于定义域内的任意一个x
2、 x都成立都成立.(2)(2)函数的奇偶性定义中函数的奇偶性定义中,对于定义域内任意的对于定义域内任意的x,x,满足满足f f(-x)=f(x)(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),那么奇、偶函数的定义域有那么奇、偶函数的定义域有什么特征什么特征?提示提示:奇、偶函数的定义域关于原点对称奇、偶函数的定义域关于原点对称.2.2.图象特征图象特征(1)(1)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称轴对称.(2)(2)奇函数的图象关于奇函数的图象关于原点原点对称对称.【思考思考】如果奇函数在如果奇函数在x=0 x=0处有定义处有定义,则其图象有什么特征则其图象有什
3、么特征?提示提示:图象过原点图象过原点,即即f(0)=0.f(0)=0.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)奇函数的图象一定过原点奇函数的图象一定过原点.()(2)(2)若对于定义域内的任意一个若对于定义域内的任意一个x,x,都有都有f(x)+f(-x)=0,f(x)+f(-x)=0,则函数则函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数.()(3)(3)若函数若函数f(x)f(x)的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称,则该函数是偶函数则该函数是偶函数,若关于原点对称若关于原点对称,则该函数是奇函数则该函数是奇函数.()提示提示:(1)
4、(1).不一定不一定,如函数如函数f(x)=.f(x)=.(2).(2).若若f(x)+f(-x)=0,f(x)+f(-x)=0,则则f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).(3).(3).由奇函数、偶函数图象的特征可知正确由奇函数、偶函数图象的特征可知正确.2.2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是下列图象表示的函数具有奇偶性的是()【解析解析】选选B.BB.B选项的图象关于选项的图象关于y y轴对称轴对称,是偶函数是偶函数,其其余选项都不具有奇偶性余选项都不具有奇偶性.3.3.若若f(x)f(x)为为R R上的奇函数且上的奇函数且f(2)=3,f(2)=3,则则f(-2)=f(-2)
5、=_._.【解析解析】因为因为f(x)f(x)为为R R上的奇函数上的奇函数,所以所以f(-2)=-f(2)=-3.f(-2)=-f(2)=-3.答案答案:-3-3类型一函数奇偶性的判断类型一函数奇偶性的判断【典例典例】1.1.函数函数f(x)=-2xf(x)=-2x的图象关于的图象关于()A.yA.y轴对称轴对称B.B.直线直线y=-xy=-x对称对称C.C.坐标原点对称坐标原点对称D.D.直线直线y=xy=x对称对称2.2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)f(x)=2-|x|.(1)f(x)=2-|x|.(2)f(x)=(2)f(x)=(3)f(
6、x)=.(3)f(x)=.(4)f(x)=(4)f(x)=【思维思维引引】1.1.先判断函数的奇偶性先判断函数的奇偶性,再判断图象的对再判断图象的对称性称性.2.2.根据函数奇偶性的定义判断根据函数奇偶性的定义判断.【解析解析】1.1.选选C.C.函数的定义域函数的定义域x|x0,x|x0,因为因为 xx|x0,xx|x0,都有都有-xx|x0,-xx|x0,且且f(-x)=+2x=-f(x),f(-x)=+2x=-f(x),所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数,故图象关于坐标原点对称故图象关于坐标原点对称.2.(1)2.(1)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R,R,因为因为
7、xR,xR,都有都有-xR-xR且且f f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以所以f(x)f(x)为偶函数为偶函数.(2)(2)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-1,1,-1,1,因为因为 x-1,1,x-1,1,都有都有-x-1,1,-x-1,1,且且f(x)=0,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)=0,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),所以所以f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数.(3)(3)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为x|x1,x|x1,因为因为 x
8、=-1 x=-1 但但-x=1x=1 x|x1,x|x1,所以所以f(x)f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数.(4)(4)方法一方法一:作出函数作出函数f(x)f(x)的图象如图的图象如图此函数的图象关于此函数的图象关于y y轴对称轴对称,所以函数所以函数f(x)f(x)是偶函数是偶函数.方法二方法二:f(x):f(x)的定义域是的定义域是(-,0)(0,+),(-,0)(0,+),因为因为 x(-,0)(0,+)x(-,0)(0,+)都有都有-x(-,0)-x(-,0)(0,+).(0,+).当当x0 x0时时,-x0,-x0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);f(-x)=1-(
9、-x)=1+x=f(x);当当x0 x0,-x0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知综上可知,对于对于x(-,0)(0,+),x(-,0)(0,+),都有都有f(-x)f(-x)=f(x),f(x)=f(x),f(x)为偶函数为偶函数.【内化内化悟悟】函数具有奇偶性的前提是什么函数具有奇偶性的前提是什么?提示提示:函数的定义域函数的定义域D D应满足应满足xDxD都有都有-xD.-xD.【类题类题通通】判断函数奇偶性的两种方法判断函数奇偶性的两种方法(1)(1)定义法定义法:(2)(2)图象法图象法:【发散发散拓拓】奇偶函数的运算奇
10、偶函数的运算如果两个函数具有奇偶性如果两个函数具有奇偶性,且有共同的定义域且有共同的定义域,则两个则两个函数加、减、乘、除后函数加、减、乘、除后,得到的函数的奇偶性有以下规得到的函数的奇偶性有以下规律律:偶偶偶偶=偶、奇偶、奇奇奇=奇、偶奇、偶偶偶=偶、偶偶、偶奇奇=奇、奇、奇奇奇奇=偶偶,相除时类似于相乘的情况相除时类似于相乘的情况.【延伸延伸练练】已知已知f(x)f(x)为奇函数为奇函数,g(x),g(x)为偶函数为偶函数,且它们都恒不为且它们都恒不为0,0,则则f(x)g(x)f(x)g(x)的奇偶性为的奇偶性为()A.A.奇函数奇函数B.B.偶函数偶函数C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数
11、D.D.不能确定不能确定【解析解析】选选A.F(x)=f(x)A.F(x)=f(x)g(x),g(x),则则F(-x)=f(-x)F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),g(x)=-F(x),故为奇函故为奇函数数.【习练习练破破】判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2(x(x2 2+2).+2).(2)f(x)=(2)f(x)=【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2(x(x2 2+2)+2)的定义域为的定义域为R,R,因为因为 xR,xR,都有都有-xR,-xR,且且f(-x)
12、=(-x)f(-x)=(-x)2 2(-x)(-x)2 2+2=x+2=x2 2(x(x2 2+2)=f(x),+2)=f(x),所以所以f(x)=xf(x)=x2 2(x(x2 2+2)+2)为偶函数为偶函数.(2)(2)函数函数f(x)=f(x)=的定义域为的定义域为(-1,1),(-1,1),因为因为 x(-1,1),x(-1,1),都有都有-x(-1,1),-x(-1,1),且且f(-x)=f(-x)=所以所以f(x)=f(x)=为奇函数为奇函数.【加练加练固固】函数函数f(x)=+xf(x)=+x2 2的图象关于的图象关于()A.yA.y轴对称轴对称 B.B.直线直线y=-xy=-x
13、对称对称C.C.坐标原点对称坐标原点对称D.D.直线直线y=xy=x对称对称【解析解析】选选A.f(x)A.f(x)的定义域为的定义域为x|x0,x|x0,因为因为 xx|x0,xx|x0,都有都有-xx|x0,-xx|x0,又又f(-x)=+(-x)f(-x)=+(-x)2 2=+x=+x2 2=f(x).=f(x).所以所以f(x)f(x)是偶函数是偶函数,所以其图象关于所以其图象关于y y轴对称轴对称.类型二奇偶函数图象的应用类型二奇偶函数图象的应用【典例典例】1.1.如图给出了奇函数如图给出了奇函数f(x)f(x)的局部图象的局部图象,那么那么f(1)f(1)等于等于()A.-4A.-
14、4B.-2B.-2C.2C.2D.4D.42.2.设偶函数设偶函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-5,5,-5,5,且且f(3)=0,f(3)=0,当当x x 0,50,5时时,f(x),f(x)的图象如图所示的图象如图所示,则不等式则不等式xf(x)0 xf(x)0的解的解集是集是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 【思维思维引引】1.1.借助奇函数的对称性借助奇函数的对称性,找到找到f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)的关系的关系.2.2.应用偶函数图象的对称性解不等式应用偶函数图象的对称性解不等式.【解析解析】1.1.选选B.B.由函数的图象可得由函数的图象可得f(-1)=2
15、,f(-1)=2,又由函数为奇函数又由函数为奇函数,则则f(1)=-f(-1)=-2.f(1)=-f(-1)=-2.2.2.因为因为f(x)f(x)为偶函数为偶函数,且由图象可得在且由图象可得在(0,3)(0,3)上上,f(x)0,f(x)0,f(x)0,则在则在-5,-3)-5,-3)上上,f(x)0,f(x)0,在在(-3,0)(-3,0)上上,f(x)0,xf(x)0,f(x)0,xf(x)0 或或 所以所以-5x-3-5x-3或或0 x3,0 x3,即不等式的解集为即不等式的解集为-5,-3)(0,3).-5,-3)(0,3).答案答案:-5,-3)(0,3)-5,-3)(0,3)【内
16、化【内化悟】悟】怎样作具有奇偶性的函数的图象怎样作具有奇偶性的函数的图象?提示提示:先判断函数的奇偶性先判断函数的奇偶性,作函数在作函数在y y轴右侧的图象轴右侧的图象,根据奇偶性得到函数在根据奇偶性得到函数在y y轴左侧的图象轴左侧的图象.【类题【类题通】通】1.1.巧用奇偶性作函数图象的步骤巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)(1)确定函数的奇偶性确定函数的奇偶性.(2)(2)作出函数在作出函数在0,+)(0,+)(或或(-,0)(-,0)上对应的图象上对应的图象.(3)(3)根据奇根据奇(偶偶)函数关于原点函数关于原点(y(y轴轴)对称得出在对称得出在(-,0(-,0(或或0,+)0,+)上
17、对应的函数图象上对应的函数图象.2.2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)(1)类型类型:利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题小及解不等式问题.(2)(2)策略策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据根据图象直接观察图象直接观察.【习练【习练破】破】已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数,且当且当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2+2x.+2x.现已画出函数现已画出函数f(x)f(x)在在y y轴左侧的图象
18、轴左侧的图象,如如图所示图所示.(1)(1)请补出函数请补出函数y=f(x)y=f(x)的完整图象的完整图象.(2)(2)根据图象写出函数根据图象写出函数y=f(x)y=f(x)的增区间的增区间.(3)(3)根据图象写出使根据图象写出使f(x)0f(x)0的的x x的取值集合的取值集合.【解析】【解析】(1)(1)由题意作出函数图象如图由题意作出函数图象如图:(2)(2)据图可知据图可知,单调增区间为单调增区间为(-1,0),(1,+).(-1,0),(1,+).(3)(3)据图可知据图可知,使使f(x)0f(x)0.xf(x)0.【解析】【解析】(1)(1)先描出先描出(1,1),(2,0)
19、(1,1),(2,0)关于原点的对称点关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),(-1,-1),(-2,0),连线可得连线可得f(x)f(x)的图象如图的图象如图:(2)xf(x)0(2)xf(x)0即图象上的点的横坐标、纵坐标同号即图象上的点的横坐标、纵坐标同号,结合结合图象可知图象可知,xf(x)0,xf(x)0的解集是的解集是(-2,0)(0,2).(-2,0)(0,2).类型三利用函数奇偶性求值类型三利用函数奇偶性求值角度角度1 1利用奇偶性求参数值利用奇偶性求参数值【典例典例】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+(a+1)x+(a+1)x2 2的图象关于原点中的图象关
20、于原点中心对称心对称,则则a=a=世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.1A.1B.-1B.-1C.-2C.-2D.2D.2【思维【思维引】引】根据图象根据图象,先判断奇偶性先判断奇偶性,再根据定义求再根据定义求值值.【解析解析】选选B.B.因为函数图象关于原点中心对称因为函数图象关于原点中心对称,所以函数所以函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数,则则f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),得得-x-x3 3+(a+1)x+(a+1)x2 2=-x=-x3 3-(a+1)x-(a+1)x2 2,即即(a+1)x(a+1)x2 2=0,=0,即即a+1=0,a+1=0,得得a=-1.a=-
21、1.【素养【素养探】探】在利用奇偶性的过程中在利用奇偶性的过程中,需要用到核心素养中的逻辑需要用到核心素养中的逻辑推理推理,将奇偶性转化为相应的等式将奇偶性转化为相应的等式,通过逻辑推理、计通过逻辑推理、计算求参数的值算求参数的值.若将本例中的条件改为函数若将本例中的条件改为函数f(x)=axf(x)=ax2 2+(a-1)x+2+(a-1)x+2是偶函是偶函数数,试求试求a a的值的值.【解析】【解析】若若f(x)f(x)是偶函数是偶函数,则则f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),即即a(-x)a(-x)2 2-(a-1)x+2=ax-(a-1)x+2=ax2 2+(a-1)x+2,+
22、(a-1)x+2,即即(a-1)x=0(a-1)x=0对于对于xRxR恒成立恒成立,则则a-1=0,a=1.a-1=0,a=1.角度角度2 2利用奇偶性求函数值利用奇偶性求函数值【典例典例】1.1.已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx-2,f(2 018)=3,+bx-2,f(2 018)=3,则则f f(-2 018)=(-2 018)=()A.-7A.-7B.-5B.-5C.-3C.-3D.-2D.-22.(20192.(2019龙岩高一检测龙岩高一检测)已知已知f(x),g(x)f(x),g(x)分别是定义在分别是定义在R R上的偶函数和奇函数上的偶函数和奇函数,且且
23、f(x)-g(x)=xf(x)-g(x)=x3 3+x+1,+x+1,则则f(1)f(1)+g(1)=+g(1)=()A.-3A.-3B.-1B.-1C.1C.1D.3D.3【思维【思维引】引】1.1.利用利用f(2 018)=3f(2 018)=3求出要求式子的值求出要求式子的值,再再代入代入f(-2 018)f(-2 018)求值求值.2.2.利用奇偶函数的定义构造利用奇偶函数的定义构造f(x)+g(x)f(x)+g(x)后求值后求值.【解析】【解析】1.1.选选A.A.因为因为f(2 018)=3,f(2 018)=3,所以所以f(2 018)f(2 018)=2 018=2 0183
24、3a+2 018b-2=3,a+2 018b-2=3,所以所以2 0182 0183 3a+2 018b=5,a+2 018b=5,所以所以f(-2 018)=-2 018f(-2 018)=-2 0183 3a-2 018b-2=-5-2=-7.a-2 018b-2=-5-2=-7.2.2.选选B.B.由由f(x)-g(x)=xf(x)-g(x)=x3 3+x+1,+x+1,将所有将所有x x替换成替换成-x,-x,得得f(-x)-g(-x)f(-x)-g(-x)=-x=-x3 3-x+1,-x+1,根据根据f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),f(x)=f(-x),g(-x)=-g
25、(x),得得f(x)+g(x)=-xf(x)+g(x)=-x3 3-x+1,-x+1,再令再令x=1,x=1,计算得计算得f(1)+g(1)=-1.f(1)+g(1)=-1.【类题【类题通】通】1.1.利用奇偶性求参数的常见类型及策略利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)(1)定义域含参数定义域含参数:奇、偶函数奇、偶函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为a,b,a,b,根据定义域关于原点对称根据定义域关于原点对称,利用利用a+b=0a+b=0求参数求参数.(2)(2)解析式含参数解析式含参数:根据根据f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)列
26、式列式,比较系数即可求解比较系数即可求解.2.2.利用奇偶性求函数值的思路利用奇偶性求函数值的思路(1)(1)已知已知f(a)f(a)求求f(-a):f(-a):判断判断f(x)f(x)的奇偶性或构造已知奇的奇偶性或构造已知奇偶性的函数偶性的函数,利用奇偶性找出利用奇偶性找出f(a)f(a)与与f(-a)f(-a)的关系即可的关系即可.(2)(2)已知两个函数的奇偶性已知两个函数的奇偶性,求由这两个函数的和、差求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值构造出的新函数的函数值,可用可用-x-x替换替换x x后使用奇偶性后使用奇偶性变形变形,进而与原函数联立进而与原函数联立,解方程组即可解方程组
27、即可.【习练【习练破】破】1.1.已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,且当且当x1x1时时,f(x)=-1,f(x)=-1,则则f(-2)=f(-2)=()A.A.B.B.C.0C.0D.D.【解析】【解析】选选B.B.根据题意根据题意,当当x1x1时时,f(x)=-1,f(x)=-1,则则f(2)=-1=,f(2)=-1=,又由函数又由函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数,则则f(-2)=-f(2)=.f(-2)=-f(2)=.2.2.已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(-2a-3x1)+bx+c(-2a-3x1)是偶函数是偶函数,则则a=_,b=_.a=_,b=_.【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)是偶函数是偶函数,所以其定义域关于原点对所以其定义域关于原点对称称.所以所以-2a-3=-1.-2a-3=-1.所以所以a=-1.a=-1.所以所以f(x)=-xf(x)=-x2 2+bx+c.+bx+c.因为因为f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),所以所以-(-x)-(-x)2 2+b(-x)+c=-x+b(-x)+c=-x2 2+bx+c.+bx+c.所以所以-b=b,-b=b,所以所以b=0.b=0.答案答案:-1-10 0