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1、3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法 函数的表示方法函数的表示方法解析法解析法用数学表达式表示两个用数学表达式表示两个变量之量之间的的对应关系关系图象法象法用用图象表示两个象表示两个变量之量之间的的对应关系关系列表法列表法列出表格来表示两个列出表格来表示两个变量之量之间的的对应关系关系【思考思考】函数的三种表示方法各自有哪些优缺点函数的三种表示方法各自有哪些优缺点?提示提示:表示表示方法方法优点点缺点缺点列表列表法法不需要不需要计算就可以直接算就可以直接看出与自看出与自变量的量的值相相对应的函数的函数值只能表示自只能表示自变量可以量可以一一列出的函数关系一一列出的函数关系图象象法法能形象
2、直能形象直观地表示出函地表示出函数的数的变化情况化情况只能近似地求出自只能近似地求出自变量的量的值所所对应的函数的函数值,而且有而且有时误差差较大大表示表示方法方法优点点缺点缺点解析解析法法(1)(1)简明、全面地概括了明、全面地概括了变量量间的关系的关系,从从“数数”的的方面揭示了函数关系方面揭示了函数关系;(2);(2)可以通可以通过解析式求解析式求出任意一个自出任意一个自变量的量的值所所对应的函数的函数值不不够形象、直形象、直观,而且而且并不是所有的函数都并不是所有的函数都能用解析法表示出来能用解析法表示出来【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打
3、“”)”)(1)(1)任何一个函数都可以用图象法表示任何一个函数都可以用图象法表示.()(2)(2)任何一个函数都可以用解析法表示任何一个函数都可以用解析法表示.()(3)(3)函数函数y=xy=x2 2的图象向右平移的图象向右平移3 3个单位可得函数个单位可得函数y=(x+3)y=(x+3)2 2的图象的图象.()(4)(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线函数的图象一定是一条连续不断的曲线.()提示提示:(1).(1).有些函数是不能画出图象的有些函数是不能画出图象的,如如f(x)=f(x)=(2).(2).并不是所有的函数都可以用解析式表示并不是所有的函数都可以用解析式表示.(3).(
4、3).函数函数y=xy=x2 2的图象向右平移的图象向右平移3 3个单位可得函数个单位可得函数y=(x-3)y=(x-3)2 2的图象的图象.(4).(4).有些函数的图象不是一条连续不断的曲线有些函数的图象不是一条连续不断的曲线,如如f(x)=f(x)=的图象就不是连续的曲线的图象就不是连续的曲线.2.2.由下表给出函数由下表给出函数y=f(x),y=f(x),则则f(f(1)f(f(1)等于等于()x x1 12 23 3 4 4 5 5y y4 45 53 3 2 2 1 1A.1A.1B.2B.2C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选B.B.由题表可知由题表可知,f(1)=4,f(1
5、)=4,所以所以f(f(1)=f(4)=2.f(f(1)=f(4)=2.3.3.已知函数已知函数f(x+1)=2x+1,f(x+1)=2x+1,则则f(x)f(x)的解析式是的解析式是()A.f(x)=2x+1A.f(x)=2x+1B.f(x)=2x-1B.f(x)=2x-1C.f(x)=2x+3C.f(x)=2x+3D.f(x)=2xD.f(x)=2x【解析解析】选选B.B.因为因为f(x+1)=2x+1=2(x+1)-1,f(x+1)=2x+1=2(x+1)-1,所以所以f(x)=2x-1.f(x)=2x-1.4.4.若函数若函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示,则则f(x)f
6、(x)的定义域为的定义域为_,_,值域为值域为_._.【解析解析】由由f(x)f(x)的图象可知的图象可知,-5x5,-2y3.,-5x5,-2y3.答案答案:-5,5-5,5-2,3-2,3类型一列表法表示函数类型一列表法表示函数【典例典例】1.1.给出函数给出函数f(x),g(x)f(x),g(x)如表如表,则则f(g(x)f(g(x)的值域的值域为为()x x1 12 23 34 4f(x)f(x)4 43 32 21 1x x1 12 23 34 4g(x)g(x)1 11 13 33 32.2.下表表示函数下表表示函数y=f(x),y=f(x),则则f(x)xf(x)x的整数解的集合
7、是的整数解的集合是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号x x0 x50 x55x105x1010 x1510 x1515x2015x20y=f(x)y=f(x)4 46 68 81010【思维思维引引】1.1.根据已知表格求出根据已知表格求出f(g(1),f(g(2),f(g(3),f(g(4)f(g(1),f(g(2),f(g(3),f(g(4)写出值域写出值域.2.2.观察表格明确自变量和函数值的对应关系观察表格明确自变量和函数值的对应关系,函数值大函数值大于自变量的自变量的取值集合即为所求于自变量的自变量的取值集合即为所求.【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为f(g(1)=f(1)=
8、4,f(g(1)=f(1)=4,f(g(2)=f(1)=4,f(g(3)=f(3)=2,f(g(2)=f(1)=4,f(g(3)=f(3)=2,f(g(4)=f(3)=2,f(g(4)=f(3)=2,所以所以f(g(x)f(g(x)的值域为的值域为4,2.4,2.2.2.当当0 x50 xx,f(x)x的整数解为的整数解为1,2,3.1,2,3.当当5x105xx,f(x)x的整数解为的整数解为5.5.当当10 x1510 xx,f(x)x的整数解为的整数解为.当当15x2015xx,f(x)x的整数解为的整数解为.综上所述综上所述,f(x)x,f(x)x的整数解的集合是的整数解的集合是1,2
9、,3,5.1,2,3,5.答案答案:1,2,3,51,2,3,5【内化内化悟悟】对于列表法表示的函数对于列表法表示的函数,求函数值时应注意什么求函数值时应注意什么?提示提示:应注意认真审题应注意认真审题,找到自变量和函数值的对应关找到自变量和函数值的对应关系系.【类题类题通通】巧解用列表法表示的函数问题巧解用列表法表示的函数问题(1)(1)读懂表格读懂表格,明确自变量每个取值所对应的函数值明确自变量每个取值所对应的函数值.(2)(2)用数学符号准确表示用数学符号准确表示,例如本例例如本例1 1中中f(1)=4,g(1)=1f(1)=4,g(1)=1等等.(3)(3)注意分类与整合思想的灵活应用
10、注意分类与整合思想的灵活应用,例如本例例如本例2.2.【习练习练破破】已知函数已知函数f(x),g(x)f(x),g(x)分别由表给出分别由表给出x x1 12 23 3x x1 12 23 3f(x)f(x)2 23 31 1g(x)g(x)3 32 21 1则则f(g(1)f(g(1)的值为的值为_;_;当当g(f(x)=2g(f(x)=2时时,x=_.x=_.【解析解析】f(g(1)=f(3)=1,f(g(1)=f(3)=1,因为因为g(f(x)=2,g(f(x)=2,所以所以f(x)=2,f(x)=2,所以所以x=1.x=1.答案答案:1 11 1【加练加练固固】已知两个函数已知两个函
11、数f(x)f(x)和和g(x)g(x)的定义域和值域都是集合的定义域和值域都是集合1,2,3,1,2,3,其函数对应关系如表其函数对应关系如表:x x1 12 23 3f(x)f(x)2 23 31 1x x1 12 23 3g(x)g(x)3 32 21 1则方程则方程g(f(x)=xg(f(x)=x的解集为的解集为_._.【解析解析】当当x=1x=1时时,f(x)=2,g(f(x)=2,f(x)=2,g(f(x)=2,不符合题意不符合题意;当当x=2x=2时时,f(x)=3,g(f(x)=1,f(x)=3,g(f(x)=1,不符合题意不符合题意;当当x=3x=3时时,f(x)=1,g(f(
12、x)=3,f(x)=1,g(f(x)=3,符合题意符合题意,综上综上,方程方程g(f(x)=xg(f(x)=x的解集为的解集为3.3.答案答案:33类型二函数的图象及应用类型二函数的图象及应用【典例典例】1.1.某同学骑车上学某同学骑车上学,离开家不久离开家不久,发现作业本发现作业本忘家里了忘家里了,于是返回家找到作业本再上学于是返回家找到作业本再上学,为了赶时间为了赶时间快速行驶快速行驶.如图中横轴表示出发后的时间如图中横轴表示出发后的时间,纵轴表示离纵轴表示离学校的距离学校的距离,则较符合该同学走法的图象是则较符合该同学走法的图象是()2.2.作出下列函数的图象作出下列函数的图象,并指出其
13、值域并指出其值域:世纪金榜导世纪金榜导学号学号(1)y=-x+1,xZ.(1)y=-x+1,xZ.(2)y=2x(2)y=2x2 2-4x-3(0 x3).-4x-3(0 x3).(3)y=(-2x1,(3)y=(-2x1,且且x0).x0).【思维思维引引】1.1.将该同学上学的过程分为四个时间段将该同学上学的过程分为四个时间段,逐段分析离学逐段分析离学校的距离与出发后的时间的关系校的距离与出发后的时间的关系.2.2.首先明确函数的定义域首先明确函数的定义域,其次明确函数图象的形状其次明确函数图象的形状,体会定义域对图象的控制作用体会定义域对图象的控制作用,处理好端点处理好端点.第第(1)(
14、1)小题小题是分布在一条直线上的孤立的点是分布在一条直线上的孤立的点;第第(2)(2)小题小题,先不受定先不受定义域限制作出完整的抛物线义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取然后再根据定义域截取;第第(3)(3)小题小题,关注关注x=0 x=0时的情况时的情况.【解析解析】1.1.选选D.D.坐标系中坐标系中,横轴表示出发后的时间横轴表示出发后的时间,纵纵轴表示离学校的距离轴表示离学校的距离.据此据此,将该同学上学的过程分为将该同学上学的过程分为四个时间段四个时间段:第一时间段第一时间段,该同学从家出发往学校走该同学从家出发往学校走,随着时间的增长随着时间的增长,他到学校的距离越来越小
15、他到学校的距离越来越小,图象呈现图象呈现减函数的趋势减函数的趋势;第二时间段第二时间段,该同学在中途返回家里该同学在中途返回家里,随着时间的增随着时间的增长长,他到学校的距离越来越大他到学校的距离越来越大,图象呈现增函数的趋势图象呈现增函数的趋势;第三时间段第三时间段,该同学停在家里找作业本该同学停在家里找作业本,此时他到学此时他到学校的距离不变校的距离不变,是一个常数是一个常数,图象呈现水平的线段图象呈现水平的线段;第四时间段第四时间段,该同学从家出发该同学从家出发,急速往学校行驶急速往学校行驶,随着随着时间的增长时间的增长,他到学校的距离越来越小他到学校的距离越来越小,而且由于他行而且由于
16、他行驶的速度很快驶的速度很快,故图象呈现故图象呈现“直线下降直线下降”的锐减趋势的锐减趋势.由以上分析由以上分析,可知符合题意的图象是可知符合题意的图象是D.D.2.(1)2.(1)定义域为定义域为Z,Z,所以图象为离散的点所以图象为离散的点.图象如图图象如图(1)(1)所所示示.由图可知由图可知y=-x+1,xZy=-x+1,xZ的值域为的值域为Z.Z.(2)y=2x(2)y=2x2 2-4x-3=2(x-1)-4x-3=2(x-1)2 2-5(0 x3),-5(0 x3),定义域不是定义域不是R,R,因此因此图象不是完整的抛物线图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分而是抛物线的一部分.图
17、象如图象如图图(2)(2)所示所示.由图可知由图可知y=2xy=2x2 2-4x-3(0 x3)-4x-3(0 x3)的值域为的值域为-5,3).5,3).(3)(3)用描点法可以作出函数的图象如图用描点法可以作出函数的图象如图(3)(3)所示所示.由图可由图可知知y=(-2x1,y=(-2x1,且且x0)x0)的值域为的值域为(-,-12,+).(-,-12,+).【内化内化悟悟】画一次函数、二次函数和反比例函数的图象时画一次函数、二次函数和反比例函数的图象时,应注意应注意什么什么?提示提示:(1)(1)明确函数图象的形状明确函数图象的形状,即一次函数的图象是直即一次函数的图象是直线、二次函
18、数的图象是抛物线、反比例函数的图象是线、二次函数的图象是抛物线、反比例函数的图象是双曲线双曲线.(2)(2)作函数图象时应特别注意作函数图象时应特别注意:顶点、端点、图象与坐顶点、端点、图象与坐标轴的交点等这些特殊点标轴的交点等这些特殊点.(3)(3)作图象时应首先看清函数的定义域作图象时应首先看清函数的定义域.【类题类题通通】画函数图象的两种常见方法画函数图象的两种常见方法(1)(1)描点法描点法:一般步骤一般步骤:列表列表先找出一些先找出一些(有代表性的有代表性的)自变量自变量x,x,并计算并计算出与这些自变量相对应的函数值出与这些自变量相对应的函数值f(x),f(x),用表格的形式表用表
19、格的形式表示出来示出来;描点描点从表中得到一系列的点从表中得到一系列的点(x,f(x),(x,f(x),在坐标平在坐标平面上描出这些点面上描出这些点;连线连线用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来顺序连接起来.(2)(2)变换作图法变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等换、翻折变换等.【发散发散拓拓】关于图象变换的常见结论有哪些关于图象变换的常见结论有哪些?提示提示:(1)y=f(x)(1)y=f(x)与与y=f(-x)y=f(-x)的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称.(2)y=f(x)(2)
20、y=f(x)与与y=-f(x)y=-f(x)的图象关于的图象关于x x轴对称轴对称.(3)y=f(x)(3)y=f(x)与与y=-f(-x)y=-f(-x)的图象关于点的图象关于点(0,0)(0,0)对称对称.(4)y=f(|x|)(4)y=f(|x|)是保留是保留y=f(x)y=f(x)的的y y轴右边的图象轴右边的图象,去掉去掉y y轴轴左边的图象左边的图象,且将右边图象沿且将右边图象沿y y轴对折而成轴对折而成.(5)y=|f(x)|(5)y=|f(x)|是保留是保留y=f(x)y=f(x)的的x x轴上方的图象轴上方的图象,将将x x轴下轴下方的图象沿方的图象沿x x轴对折且去掉轴对折
21、且去掉x x轴下方的图象而成轴下方的图象而成.【延伸延伸练练】若函数若函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示,则函数则函数y=-f(x+1)y=-f(x+1)的图的图象大致为象大致为()【解析解析】选选C.y=f(x)C.y=f(x)的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位个单位,可得函可得函数数y=f(x+1)y=f(x+1)的图象的图象,再作关于再作关于x x轴对称的图象轴对称的图象,可得函数可得函数y=-f(x+1)y=-f(x+1)的图象的图象.【习练习练破破】1.1.列车从列车从A A地出发直达地出发直达500 km500 km外的外的B B地地,途中要经过距途中要
22、经过距A A地地200 km200 km的的C C地地,假设列车匀速前进假设列车匀速前进5 h5 h后从后从A A地到达地到达B B地地,则列车与则列车与C C地之间的距离地之间的距离s s关于时间关于时间t t的函数图象为的函数图象为()【解析解析】选选A.A.当当t=0t=0时时,y=200.,y=200.列车的运行速度为列车的运行速度为 =100 km/h,=100 km/h,所以列车到达所以列车到达C C地的时间为地的时间为 =2(h),=2(h),故当故当t=2t=2时时,s=0.,s=0.2.2.已知函数已知函数f(x)=.f(x)=.(1)(1)把函数把函数f(x)f(x)化为化
23、为f(x)=a+f(x)=a+的形式的形式.(2)(2)用平移变换的方法作出函数用平移变换的方法作出函数f(x)f(x)的图象的图象,并说明作并说明作图过程图过程.(3)(3)若定义域为若定义域为 (1,+),(1,+),通过观察图象直接写出通过观察图象直接写出函数函数f(x)f(x)的值域的值域.【解析解析】(1)f(x)=1-(1)f(x)=1-=1-.=1-.(2)(2)函数函数y=y=的图象向右平移的图象向右平移 个单位得函数个单位得函数y=y=的图象的图象,再向上平移再向上平移1 1个单位得函数个单位得函数y=1-y=1-的图象的图象.如图所示如图所示:(3)(3)通过观察图象可知通
24、过观察图象可知,函数函数f(x)f(x)的值域为的值域为(-1,1)(3,+).(-1,1)(3,+).【加练加练固固】1.“1.“龟兔赛跑龟兔赛跑”讲述了这样的一个故事讲述了这样的一个故事:领先的兔子看领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来骄傲起来,睡了一觉睡了一觉,当它醒来时当它醒来时,发现乌龟快到终点了发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶于是急忙追赶,但为时已晚但为时已晚,乌龟乌龟还是先到达了终点还是先到达了终点.如果用如果用s s1 1,s,s2 2分别表示乌龟和兔子所分别表示乌龟和兔子所行的路程行的路程,t,t为时间为时间,则下列图形与故事情节相吻合的是则下列图形与故事情
25、节相吻合的是()【解题指南解题指南】乌龟和兔子所跑的路程相同乌龟和兔子所跑的路程相同,乌龟所用的乌龟所用的时间短时间短,据此可选出答案据此可选出答案.【解析解析】选选B.B.因为兔子先快、后停、又快因为兔子先快、后停、又快,故排除故排除C;C;又又兔子比乌龟晚到达终点兔子比乌龟晚到达终点,因此排除因此排除A,D,A,D,故选故选B.B.2.2.作出下列函数的图象作出下列函数的图象.(1)y=x(-2x2,xZ(1)y=x(-2x2,xZ且且x0).x0).(2)y=-2x(2)y=-2x2 2+4x+1(0 x3).+4x+1(00).f(x)=(x0).【加练加练固固】1.(20191.(2
26、019辽源高一检测辽源高一检测)设函数设函数f =x,f =x,则则f(x)f(x)的的表达式为表达式为()A.f(x)=A.f(x)=B.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=D.f(x)=【解析解析】选选C.C.令令t=,t=,解得解得x=,x=,代入代入f =x,f =x,可得可得f =,f =,所以所以f(x)=.f(x)=.2.2.已知二次函数已知二次函数f(x)f(x)的图象经过点的图象经过点(-3,2),(-3,2),顶点是顶点是(-2,3),(-2,3),则函数则函数f(x)f(x)的解析式为的解析式为_._.【解析解析】设所求解析式为设所求解析式为f(x)=a(x+2)f(x)=a(x+2)2 2+3(a0),+3(a0),因为抛物线过点因为抛物线过点(-3,2),(-3,2),所以所以2=a+3.2=a+3.所以所以a=-1,a=-1,所以所以f(x)=-(x+2)f(x)=-(x+2)2 2+3=-x+3=-x2 2-4x-1.-4x-1.答案答案:f(x)=-xf(x)=-x2 2-4x-1-4x-1