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1、索引第五章 平面向量、复数第2节平面向量基本定理及坐标表示1.理解平面向量基本定理及其意理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐掌握平面向量的正交分解及其坐标表示表示.3.会用坐会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐理解用坐标表示的平面向量共表示的平面向量共线的条件的条件.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1 1索引1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理知识梳理条件条件e1，e2是同一平面内的两是同一平面内的两个个_结论
2、对于于这一平面内的任一向量一平面内的任一向量a，有且只有一，有且只有一对实数数1，2，使，使a_基底基底若若e1，e2_，我我们把把e1，e2叫叫做做表表示示这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一个基底个基底不共线向量不共线向量1e12e2不共线不共线索引2.平面向量的正交分解平面向量的正交分解把一个向量分解把一个向量分解为两两个个_的的向量，叫做把向量作正交分解向量，叫做把向量作正交分解.互相垂直互相垂直索引3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模向量加法、减法、数乘运算及向量的模(x1x2,y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1
3、，y2y1)索引4.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量，向量a，b(b0)共共线的充要条件的充要条件是是_.x1y2x2y10索引常用结论1.平面内不共平面内不共线向量都可以作向量都可以作为基底，反之亦然基底，反之亦然.2.若若a与与b不共不共线，ab0，则0.3.向向量量的的坐坐标与与表表示示向向量量的的有有向向线段段的的起起点点、终点点的的相相对位位置置有有关关系系.两两个个相相等的向量，无等的向量，无论起点在什么位置，它起点在什么位置，它们的坐的坐标都是相同的都是相同的.索引1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”
4、)诊断自测解析解析(1)共共线向量不可以作向量不可以作为基底基底.索引2.(必修二必修二P31例例7改改编)已知已知a(4，2)，b(6，y)，且，且ab，则y_.解析解析因因为ab，所以所以4y260，解解得得y3.3索引3.(必必修修二二P30例例5改改编)已已知知平平行行四四边形形ABCD的的顶点点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点点D的坐的坐标为_.(1，5)得得(3(1)，1(2)(4，1)(5x，6y)，索引K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2 2索引考点一平面向量基本定理的应用B索引 解析解析如如
5、图所示所示.A，M，Q三点共三点共线，索引1.应用用平平面面向向量量基基本本定定理理表表示示向向量量的的实质是是利利用用平平行行四四边形形法法则或或三三角角形形法法则进行向量的加、减或数乘运算行向量的加、减或数乘运算.2.用用平平面面向向量量基基本本定定理理解解决决问题的的一一般般思思路路是是：先先选择一一个个基基底底，并并运运用用该基基底底将将条条件件和和结论表表示示成成向向量量的的形形式式，再再通通过向向量量的的运运算算来来解解决决.注注意意同同一一个个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.感悟提升索引
6、B索引 B解解析析如如图所所示示，平平行行四四边形形ABCD中中，AC与与BD交交于于点点O，F是是线段段DC上的点，且上的点，且DC3DF，索引考点二平面向量的坐标运算C索引(2)(2023北北京京人人大大附附中中统练)已已知知向向量量a，b，c在在正正方方形形网网格格中中的的位位置置如如图所所示示，用用基基底底a，b表表示示c，则()A.c2a3b B.c2a3bC.c3a2b D.c3a2bD解析解析如如图建立平面直角坐建立平面直角坐标系，系，设正方形网格的正方形网格的边长为1，则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，所以所以a(1，1)，b(2，3)，c(7，3)，设
7、向量向量cmanb，则cmanb(m2n，m3n)(7，3)，索引平面向量坐平面向量坐标运算的技巧运算的技巧(1)向向量量的的坐坐标运运算算主主要要是是利利用用向向量量加加、减减、数数乘乘运运算算的的法法则来来进行行求求解解的的，若已知有向若已知有向线段两端点的坐段两端点的坐标，则应先求向量的坐先求向量的坐标.(2)解解题过程程中中，常常利利用用向向量量相相等等其其坐坐标相相同同这一一原原则，通通过列列方方程程(组)来来进行求解行求解.感悟提升索引A索引 6解析解析以以O为原点，原点，OA为x轴建立直角坐建立直角坐标系系(图略略)，索引考点三平面向量共线的坐标表示角度1利用向量共线求参数A解析
8、解析a(1，2)，b(2，2)，2ab(4，2)，又又c(m，1)，c(2ab)，2m40，解解得得m2，故，故选A.索引 索引角度2利用向量共线求向量或点的坐标解析解析因因为点点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，索引因因为A，M，D三点共三点共线，索引1.两平面向量共两平面向量共线的充要条件有两种形式：的充要条件有两种形式：(1)若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是的充要条件是x1y2x2y10；(2)若若ab(b0)，则ab.2.向向量量共共线的的坐坐标表表示示既既可可以以判判定定两两向向量量平平行行，也也可可以以由由平平行行求求参参数数.当当两两向向量的坐量
9、的坐标均非零均非零时，也可以利用坐，也可以利用坐标对应成比例来求解成比例来求解.感悟提升索引训练训练3 平面内平面内给定三个向量定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1).(1)若若(akc)(2ba)，求，求实数数k；解解akc(34k，2k)，2ba(5，2)，由由题意得意得2(34k)(5)(2k)0，索引 解解设d(x，y)，则dc(x4，y1)，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索引12345678910 11 12 13 14 15 161.在下列向量在下列向量组中，可以把向量中，可以把向量a(3，2)表示出来的是表示出来
10、的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，2)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2(2，3)解析解析对于于A，C，D都有都有e1e2，所以只有，所以只有B成立成立.B【A级 基础巩固】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 162.已已知知向向量量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若若3a2bc0，则c()A.(23，12)B.(23，12)C.(7，0)D.(7，0)解解析析由由题意意可可得得3a2bc3(5，2)2(4，3)(x，y)(23x，12y)(0，0)，A所以所以c(23，12).索引索引1234
11、5678910 11 12 13 14 15 163.(多多选)已已知知向向量量a(2，1)，b(1，3)，则下下列列向向量量与与2ab平平行行的的是是()AD解析解析因因为a(2，1)，b(1，3)，所以所以2ab(3，1)，故若向量故若向量(x，y)满足足3yx0，则该向量与向量与2ab平行平行.检验易知易知A，D符合符合题意意.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16A索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 166.(多多选)设a是是已已知知的的平平面面向向量量且且a0，关
12、关于于向向量量a的的分分解解，有有如如下下四四个个命命题(向向量量b，c和和a在同一平面内且两两不共在同一平面内且两两不共线)，则真命真命题是是()A.给定向量定向量b，总存在向量存在向量c，使，使abcB.给定向量定向量b和和c，总存在存在实数数和和，使，使abcC.给定定单位向量位向量b和正数和正数，总存在存在单位向量位向量c和和实数数，使，使abcD.给定正数定正数和和，总存在存在单位向量位向量b和和单位向量位向量c，使，使abcAB索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 解析解析向量向量b，c和和a在同一平面内且两两不共在同一平面内且两两不共线，b0，c0，
13、给定向量定向量a和和b，只需求得其向量差，只需求得其向量差ab，即即为所求的向量所求的向量c，故故总存在向量存在向量c，使，使abc，故，故A正确；正确；当向量当向量b，c和和a在同一平面内且两两不共在同一平面内且两两不共线时，向量，向量b，c可作基底，可作基底，由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知结论成立，故成立，故B正确；正确；取取a(4，4)，2，b(1，0)，无无论取何取何值，向量，向量b都平行于都平行于x轴，而向量，而向量c的模恒等于的模恒等于2，要使要使abc成立，根据平行四成立，根据平行四边形法形法则，向量，向量c的的纵坐坐标一定一定为4，故找不到故找不到这样的的单位向量
14、位向量c使等式成立，故使等式成立，故C错误；因因为和和为正数，所以正数，所以b和和c代表与原向量同向的且有固定代表与原向量同向的且有固定长度的向量，度的向量，这就使得向量就使得向量a不一定能用两个不一定能用两个单位向量的位向量的组合表示出来，合表示出来，故不一定能使故不一定能使abc成立，故成立，故D错误.故故选AB.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16AC索引索引12345678910 11 12 13 14 15 168.若若P1(1，3)，P2(4，0)，且且P是是线段段P1P2的的一一个个三三等等分分点点(靠靠近近点点P1)，则点点P的的坐坐标为_.(2，
15、2)索引索引12345678910 11 12 13 14 15 169.(2023河河南南名名校校联考考)已已知知向向量量m(1，1)，n(2，2).若若(2mn)(m2n)，则_.解析解析由由题意得，意得，2mn(34，4)，m2n(3，3)，(2mn)(m2n)，3(34)4(3)0，解解得得0.0索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解由已知得由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).索引索引12345
16、678910 11 12 13 14 15 16(2)求求满足足ambnc的的实数数m，n；解解法一法一mbnc(6mn，3m8n)，法二法二abc0，abc，又又ambnc，mbncbc，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解在在ABC中，中，即点即点M是是线段段BC上的靠近上的靠近B的四等分点，的四等分点，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16BD【B级 能力提升】索引索引12345678910 11
17、 12 13 14 15 16因因为P为BD上一点，上一点，所以所以B，P，D三点共三点共线，则有有41，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解析析如如图所所示示，过O作作三三角角形形三三边的的垂垂线，垂垂足足分分别为D，E，F，且且D，E，F为所所在在边的的中中点点，过O分分别作作AB，AC的平行的平行线NO，MO.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16因因为ODAB，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 163解解析析如如图所所示示，以以A为原原点点建建立立平平面面直直角角坐坐标系系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直，直线BD的方程的方程为BD：y2x2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16P点坐点坐标可表示可表示为x1rcos，y2rsin 2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16