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1、平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示怎怎 么么 考考1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的 应用是重点应用是重点2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点 交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.第1页/共47页第2页/共47页一、平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理平面向量基本定理
2、如果如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 向量，那么向量，那么对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量a，一对实数一对实数1，2，使，使a1e12e2.其中，不共线的向量其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有向量的一组向量的一组 不共线不共线有且只有有且只有基底基底第3页/共47页2平面向量的正交分解平面向量的正交分解把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个 的向量，叫做的向量，叫做把向量正交分解把向量正交分解互相垂直互相垂直第4页/共47页3平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取
3、与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的两个单位向量的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个作为基底对于平面内的一个向量向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数x、y，使，使axiyj，把有，把有序数对序数对 叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a ，其中其中 叫做叫做a在在x轴上的坐标，轴上的坐标，叫做叫做a在在y轴上的坐标轴上的坐标(x，y)(x，y)xy第5页/共47页(2)设设 xiyj，则向量，则向量 的坐标的坐标(x，y)就是就是 的坐的坐 标，即若标，即若 (x，y)，则，则A点坐标为点坐标为 ，反之亦成，反之亦成 立立(O是坐标原点是坐标原点)终点终点A(x，y)二、平
4、面向量坐标运算二、平面向量坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模向量加法、减法、数乘向量及向量的模设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab ，ab ，a (x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)第6页/共47页2向量坐标的求法向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 ，|.(x2x1，y2y1)三、平面向量共线的坐标表示三、平面向量共线的坐标表示 设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中，其中b0.若若ab .x1y2x2y10第
5、7页/共47页第8页/共47页第9页/共47页解析：解析：中中e22e1，中中e14e2，故，故中中e1，e2共共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底答案：答案：A第10页/共47页2已知向量已知向量a(1,1)，2ab(4,3)，c(x，2)且且bc，则，则x的值为的值为 ()A4 B4C2 D2答案：答案：B解析：解析：由由2a(2,2)及及2ab(4,3)得得b(2,1)由由bc得得x40得得x4.第11页/共47页第12页/共47页答案：答案：A第13页/共47页答案：答案：(1,2)(0，1)第14页/共47页第15页/共47页答案
6、：答案：4第16页/共47页第17页/共47页1平面向量基本定理的理解平面向量基本定理的理解(1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基基底单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底底(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的但不同的基底表示形式是并且表示方法是唯一的但不同的基底表示形式是不同的不同的(3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算用基底表示向量的实质是向量的线性运算第18页/共47页2共线向量充要条件的应用技巧
7、共线向量充要条件的应用技巧两个向量共线的充要条件在解题中应用非常广泛：两个向量共线的充要条件在解题中应用非常广泛：已知坐标，判定平行；已知平行，可求参数但要已知坐标，判定平行；已知平行，可求参数但要注意与共线向量定理结合应用，如果求与一个已知注意与共线向量定理结合应用，如果求与一个已知向量共线的向量时，用后者更简单向量共线的向量时，用后者更简单第19页/共47页第20页/共47页第21页/共47页第22页/共47页巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)第23页/共47页答案：答案：B第24页/共47页第25页/共47页冲关锦囊冲关锦囊 用向量基本定理解决问题的
8、一般思路是：先选择一组用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决在基底未给出的情况下，合理地通过向量的运算来解决在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理的一些性质定理.第26页/共47页第27页/共47页答案答案C第28页/共47页第29页/共47页第30页/共47页第31页/共47页第32页/共47页第33页/共47页冲关锦囊冲关锦囊1向量的坐标运算实现了向量运算代数化
9、，将数与形结向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算合起来，从而使几何问题可转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程意方程(组组)思想的应用思想的应用提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.第34页/共47页第35页/共47页答案答案 B第36页/共47页在本例条件下，问是否存在非零常数在本例条件下，问是否存在非零常数，使，使ab和和ac平行？是同向
10、还是反向？平行？是同向还是反向？解：解：因为因为ab(1，2)，ac(13，24)，若若(ab)(ac)，(1)(24)2(13)0.1.ab(2,2)与与ac(2，2)反向反向即存在即存在1使使ab与与ac平行且反向平行且反向第37页/共47页巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)答案：答案：C第38页/共47页答案：答案：1第39页/共47页冲关锦囊冲关锦囊 向量平行向量平行(共线共线)的充要条件的两种表达形式是：的充要条件的两种表达形式是：ab(b0)ab，或，或x1y2x2y10，至于使用哪种形式，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定利用两个向量共
11、线的条件列应视题目的具体条件而定利用两个向量共线的条件列方程方程(组组)，还可求未知数的值，还可求未知数的值第40页/共47页第41页/共47页数学思想（八）转化与化归思想在解数学思想（八）转化与化归思想在解决新定义型信息题中的应用决新定义型信息题中的应用第42页/共47页考题范例考题范例(2010山东高考山东高考)定义平面向量之间的一种运算定义平面向量之间的一种运算“”如下：如下：对任意的对任意的a(m，n)，b(p，q)，令，令a bmqnp.下面下面说法错误的是说法错误的是 ()A若若a与与b共线，则共线，则a b0Ba bb aC对任意的对任意的R，有，有(a)b(a b)D(a b)
12、2(ab)2|a|2|b|2第43页/共47页巧妙运用巧妙运用若若a与与b共线，则有共线，则有a bmqnp0，故，故A正确；因为正确；因为b apnqm，而，而a bmqnp，所以只有当，所以只有当mqnp0时，时，a bb a，故，故B错误；错误；(a)bmqnp(mqnp)(a b)，故，故C正确；正确；(a b)2(ab)2(mqnp)2(mpnq)2m2q2n2p2m2p2n2q2(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2.故故D正确正确答案：答案：B第44页/共47页题后悟道题后悟道 本题为新定义型信息题，由于这类题背景新颖、信本题为新定义型信息题，由于这类题背景新颖、信息量大，把新问题转化为自己熟悉的问题加以解决，是息量大，把新问题转化为自己熟悉的问题加以解决，是解决这类新定义型信息题的常用方法本题只要利用定解决这类新定义型信息题的常用方法本题只要利用定义义“a bmqnp”来验证所给说法的正确性即可来验证所给说法的正确性即可第45页/共47页点击此图进点击此图进入入第46页/共47页