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1、第二节平面向量基本定理及向量坐标运算第二节平面向量基本定理及向量坐标运算第五章第五章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理及其应用2.平面向量的坐标运算3.平面向量共线的坐标表示1.数学抽象2.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使.其
2、中,的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.微思考平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?a=1e1+2e2不共线提示:不一定.该组基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量.微点拨1.基底给定,同一向量的分解形式唯一;2.如果对于一组基底e1,e2,有a=1e1+2e2=1e1+2e2(1,2,1,2R),则可以得到2.平面向量的坐标运算 运算坐标表示和(差)若a=b,则x1=x2且y1=y2已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=数乘已知a=(x1,y1),则a=,其中是实数任一向量的坐标已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1+x
3、2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)(x2-x1,y2-y1)微点拨1.若a与b不共线,a+b=0,则=0.2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则ab.微点拨当且仅当x2y20时,ab与等价,即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.x1y2-x2y1=0常用结论3.A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1),或(x2-
4、x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1).增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一平面向量基本定理及其平面向量基本定理及其应用用典例突破例1.(1)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的
5、形式,再通过向量的运算来解决.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1如图,已知平行四边形ABCD的边BC,CD的中点分别是K,L,且考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二平面向量的坐平面向量的坐标运算运算典例突破A.(-5,-3)B.(5,3)C.(1,-1)D.(-1,-1)求3a+b-3c;求满足a=mb+nc的实数m,n;求M,N的坐标及向量的坐标.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)A考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(1
6、5-6-3,-15-3-24)=(6,-42).因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧平面向量坐标运算的策略 向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数考点一考点一考
7、点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)A(2)A考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)以A为原点建立直角坐标系,设B(2,0),C(0,2),则F(1,1),E(1,0),考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三平面向量共平面向量共线的坐的坐标表示表示(多考向探究多考向探究)考向考向1.利用向量共利用向量共线求向量或点的坐求向量或点的坐标典例突破例3.已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.答案:(3,3)考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧利用两向量共线的条件求向量或点的坐标.一般地,在求
8、与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3(2021宁夏银川一中高三月考)在平面直角坐标系中,已知点P1(-1,1),P2(1,3),点P满足,则点P的坐标为.答案:(2,4)解析:设点P的坐标为(x,y),因为点P1(-1,1),P2(1,3),考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.利用向量共利用向量共线求参数求参数典例突破例4.(2021西藏拉萨一模)已知向量a=(-1,2),b=(2,3),若向量ma+2b(mR)与向量3a-2b共线,则m的值为()答案:A解析:因为a=(-1,2),b=(2,3),所以ma+2b=(-m+4,2m+6),3a-2b=(-7,0),因为向量ma+2b与向量3a-2b共线,所以-7(2m+6)=0,即m=-3.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解题心得如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:1