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1、保分练(二)1.设等差数列an的前n项和为Sn,S3-2S2=1,a2n+1-2an=3,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(-1)n-14nanan+1,数列bn的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d,由S3-2S2=1,可得(3a1+3d)-2(2a1+d)=1,即a1-d+1=0,又因为a2n+1-2an=3,nN*,取n=1,得a3-2a1=3,即a1-2d+3=0,由可得a1=1,d=2,故an的通项公式为an=2n-1.(2)bn=(-1)n-14nanan+1=(-1)n-14n(2n-1)(2n+1)=(-1)n-1(12n-1+12n+1
2、),当n为偶数时,Tn=(1+13)-(13+15)+(15+17)-+(12n-3+12n-1)-(12n-1+12n+1)=1-12n+1=2n2n+1,当n为奇数时,Tn=(1+13)-(13+15)+(15+17)-+(12n-1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1,故Tn=2n2n+1,n为偶数,2n+22n+1,n为奇数.2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为ABC的面积,且2S+3ABAC=0.(1)求A的大小;(2)若a=7,b=1,D为直线BC上一点,且ADAB,求ABD的周长.解:(1)因为2S+3ABAC=0,所以212bcsin A+3b
3、ccos A=0,又bc0,所以sin A+3cos A=0,即tan A=-3,又A(0,),所以A=23.(2)在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,又a=7,b=1,A=23,所以c2+c-6=0,又c0,所以c=2,在ABC中,由正弦定理得sin B=2114,又ab,所以B为锐角,所以cos B=1-sin2B=5714,在RtABD中,ABBD=cos B,所以BD=475,AD=BDsin B=4752114=235,所以ABD的周长为2+235+475=10+23+475.3.(2022河北张家口高三期末)已知某区A,B两所初级中学的初一年级在校学生人数之
4、比为911,该区教育局为了解“双减”政策的落实情况,用分层随机抽样的方法在A,B两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生,调查了他们课下做作业的时间,并根据调查结果绘制了频率分布直方图.(1)在抽取的100名学生中,A,B两所学校各抽取的人数是多少?(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和做作业时长超过3 h的学生比例,请根据频率分布直方图,估计这两个数值.(3)另据调查,这100人中做作业时间超过3 h的人中的20人来自A中学,根据已知条件填写列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为做作业时间超过3 h与学校有关?学校做作业时间合计超
5、过3 h不超过3 hA校B校合计附表:0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.828附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).解:(1)设A,B两校所抽取人数分别为x,y,由已知可得xy=911,x+y=100,解得x=45,y=55.(2)由题图可知,学生做作业的平均时长的估计值为0.5(1.250.1+1.750.3+2.250.4+2.750.6+3.250.3+3.750.2+4.250.1)=2.675(h).由0.5(0.1+0.2+0.3)=0.3,可知有30%的学生做作业时长超过3 h.综上,估计该区学生做作业的平均时长为
6、2.675 h,该区有30%的学生做作业时长超过3 h.(3)由(2)可知,有30%100=30(人)做作业时间超过3 h.故可得列联表(单位:人).学校做作业时间合计超过3 h不超过3 hA校202545B校104555合计30701002=100(2045-1025)2307045558.136.635,所以有99%的把握认为做作业时间超过3 h与学校有关.4.(2022江西模拟预测)如图,在三棱锥PABC中,PAC是边长为2的正三角形,BC=AC,ACB=23,D为AB上靠近A的三等分点.(1)若PB=22,求证:平面PCD平面PCB;(2)当三棱锥PABC的体积最大时,求二面角BPDC
7、的余弦值.(1)证明:因为PAC是边长为2的正三角形,所以BC=AC=2,PC=2,又PB=22,所以PB2=PC2+BC2,从而PCBC.因为BC=AC,ACB=23,所以AB=23.又因为D为AB上靠近A的三等分点,所以BD=433,在BCD中,由余弦定理得CD=4+163-2243332=233,因此CD2+BC2=BD2,所以CDBC.又CDPC=C,CD,PC平面PCD,所以BC平面PCD,又BC平面PCB,所以平面PCD平面PCB.(2)解:由题意,当三棱锥PABC的体积最大时,有平面PAC平面ABC.取AC的中点O,连接PO,DO,则POAC,平面PAC平面ABC=AC,PO平面
8、PAC,从而PO平面ABC,又可得DA=DC,O为AC的中点,所以DOAC.以O为坐标原点,以OA,OD,OP分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(-2,3,0),C(-1,0,0),D(0,33,0),P(0,0,3),从而PC=(-1,0,-3),PB=(-2,3,-3),PD=(0,33,-3),设平面PCD的法向量为n=(x1,y1,z1),则PCn=0,PDn=0,从而-x1-3z1=0,33y1-3z1=0,取z1=1,则n=(-3,3,1).设平面PBD的法向量为m=(x2,y2,z2),则PBm=0,PDm=0,从而-2x2+3y2-3z2=0,33y2-3z2=0,取z2=1,则m=(3,3,1).cos=nm|n|m|=713,由图可知二面角BPDC为锐二面角,所以二面角BPDC的余弦值为713.