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1、课时规范练28三角函数中的综合问题1.在x=6是函数f(x)图象的一条对称轴,12是函数f(x)的一个零点,函数f(x)在区间a,b上单调递增,且b-a的最大值为2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知函数f(x)=2sin xcosx-6-12(00,0B,fA-B212=35,求cosA-B2,并证明sin A255.6.在ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分BAC.(1)若sinABC=55,求cosBAC;(2)若AD=AC,且ABC的面积为7,求BC.课时规范练28三角函数中的综合问题1.解f(x)=2sinxcosx-6-12=2sinxcosxcos6+
2、sinxsin6-12=3cosxsinx+sin2x-12=32sin2x-12cos2x=sin2x-6.若x=-6是函数f(x)图象的一条对称轴,则-36=k+2(kZ),即-3=k+23(kZ),因此=-3k-2(kZ).又02,所以当k=-1时,=1,则f(x)=sin2x-6.若12是函数f(x)的一个零点,则122-6=k,即6=k+6(kZ),因此=6k+1(kZ).又02,所以当k=0时,=1,所以f(x)=sin2x-6.若f(x)在区间a,b上单调递增,且b-a的最大值为2,则T=22,故=1,所以f(x)=sin2x-6.由2+2k2x-632+2k(kZ),得3+kx
3、56+k(kZ),令k=0,得3x56;令k=-1,得-23k-6.又-2x2,所以f(x)在区间-2,2上的单调递减区间为-2,-6,3,2.2.(1)证明 sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,由正弦定理及余弦定理,得caa2+c2-b22ac-cbb2+c2-a22bc=bcb2+c2-a22bc-baa2+b2-c22ab,化简整理,得2a2=b2+c2.(2)解a=5,b2+c2=2a2=50.由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=252bc=2531,bc
4、=312.b+c=b2+c2+2bc=9,a+b+c=14.故ABC的周长为14.3.解(1)在ABC中,cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=-ABBC2ABBC=-12,因为0B180,所以B=120.SABC=12ABBCsin120=123132=334.(2)设ACB=,则ACD=120-,ADC=30+,BAC=60-.在ACD中,由ACsin(30+)=CDsin30,得AC=sin(30+)sin30CD.在ABC中,由ACsin120=BCsin(60-),得AC=sin120sin(60-)BC.联立上式,并由CD=3BC得3sin(30+)sin30=sin120s
5、in(60-),整理得sin(30+)sin(60-)=14,所以sin(60+2)=12,因为060,所以6060+2180,所以60+2=150,解得=45,即ACB的值为45.4.解(1)选择条件:由sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab及正弦定理,得ab+ba+1=c2ab,即a2+b2-c2=-ab,由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12,因为0C,所以C=23.选择条件:由(a+2b)cosC+ccosA=0及正弦定理,得(sinA+2sinB)cosC+sinCcosA=0,即sinAcosC+cosAsinC=-2sinBcosC,即si
6、n(A+C)=-2sinBcosC.在ABC中,A+B+C=,所以sin(A+C)=sin(-B)=sinB,即sinB=-2cosCsinB,因为0B,所以sinB0,所以cosC=-12,因为0C,所以C=23.选择条件:由3asinA+B2=csinA及正弦定理,得3sinAsinA+B2=sinCsinA,因为0A,sinA0,所以3sinA+B2=sinC.在ABC中,A+B+C=,则sinA+B2=cosC2,故3cosC2=2sinC2cosC2.因为0C,所以cosC20,则sinC2=32,故C=23.(2)因为ADC+BDC=,所以4+CD2-b222CD+4+CD2-a2
7、22CD=0,整理得2CD2=a2+b2-8,在三角形ABC中,由余弦定理得42=a2+b2-2abcos23=a2+b2+ab.因为aba2+b22,当且仅当a=b时取等号,所以16=a2+b2+aba2+b2+12(a2+b2)=32(a2+b2),即a2+b2323,所以2CD2=a2+b2-8323-8=83,即CD233,即CD长度的最小值为233.5.解(1)由f(0)=12,得sin=12.又00,结合函数图象可知122512,所以0125.又kZ,所以k=0,从而=2,因此f(x)=sin2x+6.(2)由fA-B212=sin(A-B)=35,因为0BA2,所以0A-B2,故
8、A=A+B2+A-B24+A-B2.又y=sinx在区间0,2上单调递增,且A0,2,4+A-B20,2,所以sinAsin4+A-B2=sin4cosA-B2+cos4sinA-B2=2231010+1010=255.6.解(1)AB=2AC,ABAC,ABCACB,ABC为锐角,即cosABC=1-15=255.ACsinABC=ABsinACB,sinACB=255.ACB(0,),cosACB=55.cosBAC=-cos(ABC+ACB)=sinABCsinACB-cosABCcosACB.当cosACB=55时,cosBAC=5525525555=0.当cosACB=-55时,cosBAC=55255+25555=45.cosBAC=0或45.(2)设CAD=DAB=,由于SABC=SACD+SADB,故12ACADsin+12ABADsin=12ABACsin2,由AD=AC,AB=2AC可得3sin=4sincos.sin0,cos=34,sin=1-cos2=74,SABC=12ACABsin2=2AC2sincos=7,解得AC2=83.又cos2=2cos2-1=18,BC=AC2+4AC2-2AC2ACcos2=23.