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1、解答题专项二三角函数中的综合问题解答题专项练1.(2022山东临沂高三二模)已知函数f(x)=Asinx+4(A0,01),f4=f2,且f(x)在0,34上的最大值为2.(1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的13,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g2=12,求sin 2的值.解:(1)因为02,又f(x)在0,34上的最大值为2,且f4=f2,所以当x=124+2=38时,f(x)取得最大值2,所以A=2,且f38=2,即2sin38+4=2.因为01,所以438+458,故38+4=2,解得=23,故f(x)=2sin23x+4.(2)由于g(
2、x)=f(3x)=2sin2x+4,又g2=2sin+4=12,则sin+4=122,故sin2=-cos2+2=2sin2+4-1=-34.2.(2023辽宁鞍山高三期末)已知函数f(x)=ab-1,其中a=(sin 2x,2cos x),b=(3,cos x)(xR).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fB4=3,b2=ac,求1tanA+1tanC的值.解:(1)f(x)=ab-1=(sin2x,2cosx)(3,cosx)-1=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin2x+6,令2k-22x+62k+2,k
3、Z,得k-3xk+6,kZ,所以f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).(2)因为fB4=2sinB2+6=3,所以sinB2+6=32,又B(0,),B2+66,23,所以B2+6=3,所以B=3.因为b2=ac,所以sin2B=sinAsinC.于是1tanA+1tanC=cosAsinA+cosCsinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinBsinAsinC=sinBsin2B=1sinB=1sin3=233.3.(2023山东烟台高三期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=2sin Asin
4、 B,点D在边AB上,且CDAB.(1)证明:CD=12c;(2)若a2+b2=6ab,求ACB.(1)证明:在CDB中,因为CDAB,所以sinB=CDa.因为sinC=2sinAsinB,所以sinCsinA=2sinB.所以sinCsinA=2CDa.在ABC中,根据正弦定理,得sinCsinA=ca,所以ca=2CDa,故CD=12c.(2)解:在ABC中,SABC=12absinC=12cCD,又由(1)知,CD=12c,所以c2=2absinC,在ABC中,根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,又由已知a2+b2=6ab,得2absinC=6ab-2abcosC,所以s
5、inC+cosC=62,则2sinC+4=62,即sinC+4=32.因为C(0,),则C+44,54,所以C+4=3或C+4=23,所以C=12或C=512,又点D在边AB上,且CDAB,CD=12c,所以ACD,BCD中必有一个大于等于4,所以C=512.4.(2022河北唐山高三模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2ccos B=2a-b.(1)求C;(2)若AB=AC,D是ABC外的一点,且AD=2,CD=1,则当D为多大时,平面四边形ABCD的面积S最大,并求S的最大值.解:(1)2ccosB=2a-b,2sinCcosB=2sinA-sinB.又A=-(B
6、+C),2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB=2sinBcosC+2cosBsinC-sinB,即2sinBcosC=sinB.sinB0,cosC=12.0C,C=3.(2)AB=AC,ACB=3,ABC是等边三角形.设AC=x,D=,AD=2,CD=1,SABC=34x2,SADC=12ADCDsinD=sin.由余弦定理,得AC2=x2=1+4-4cos=5-4cos,S=SABC+SADC=34x2+sin=34(5-4cos)+sin=534+sin-3cos=534+2sin-3.0,-3-323,当sin-3=1,即=56时,平面四边形ABCD的面积S取最大值Smax=534+2.