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1、解三角形范围问题讲义1.消角构造三角函数2.对边对角模型3.边角转化4.齐次边型分式结构5. 齐二次结构与余弦定理求最值6. 秦九韶公式7.爪型三角形与等面积方法8.斯特瓦尔特定理与均值不等式9.恒等变换型目标函数10.一些重要的竞赛不等式11.轨迹背景12.几何辅助线第1讲：消角构造三角函数例1.（2020浙江卷）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围解析：（1）由结合正弦定理可得：ABC为锐角三角形，故.（2）结合(1)的结论有：.由可得：，则，.即的取值范围是.例2（广东省2023届高考一模）在中，角的对边分别为
2、，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.解析：（1）因为，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以.（2），在中，因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.第2讲.对边对角模型对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.例2.（2020年全国2卷）在中，（1）求；（2）若，求周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，.（2），即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.小结1.结合余弦定理：变式可得：此公式在已知的情况
3、下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.第3讲.边角转化在正弦定理中：此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析.例3.（2019全国3卷）的内角对边为，.（1）.求角的值；（2）.若为锐角三角形，且，求面积的取值范围解析：(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是第4讲.齐次边型分式结构在这一部分中
4、，我们经常会看到诸如：等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理.例4.（2022新高考1卷）记的内角，的对边分别为，已知（1）若，求；（2）求的最小值解析：（1）由已知条件得： 所以，即，由已知条件：，则，可得，所以，2）由（1）知，则，由正弦定理 当且仅当时等号成立，所以的最小值为 例4在锐角中，则的范围是（）ABCD在锐角中，因为，,所以，解得，所以，而，所以，所以由正弦定理可知：，因为，所以，所以，即.故选：A.例6（浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试）已知满足（1）试
5、问：角是否可能为直角？请说明理由；（2）若为锐角三角形，求的取值范围解析：（1）不可能为直角（2）因为，所以，由正弦定理，得，由余弦定理化简，得，因为为锐角三角形，所以令，则有，所以的取值范围为第5讲. 齐二次结构与余弦定理求最值余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，在上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值.若，倘若再能找到这样一个约束条件，代入余弦定理消掉，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析.例7.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（）ABCD解：，由正弦定理得：，即，则，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.，的最大值为.
6、例8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则角A的最大值为（）ABCD解析：因为，所以，进而可得因为，当且仅当时等号成立，所以又因为，所以角A的最大值为例9.（福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测（二检）记的内角，的对边分别为，已知（1）求的值：（2）求的最大值解析：（1）由余弦定理可得，代入，得到，化简得，即.由正弦定理可得，即，展开得，即，所以（2）由得，故，当且仅当，即时等号成立因为，所以，所以的最大值为.第6讲. 秦九韶公式秦九韶公式求范围是近年来解三角形模考试题中热门考察方向之一，相关内容是人教版新教材的阅读内容，未来完全有可能出现在高考试题中.例10.秦九韶
7、是我国南宋数学家，其著作数书九章中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献秦九韶把已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，是的内角，的对边已知中，则面积的最大值为（）ABCD解析：由得，即，所以，所以，即时，故选：A例11.已知，是内角，的对边已知中，则面积的最大值为（）ABCD解：中，因为，所以，则，即，又，则，即，则，所以，当时，面积取得最大值为，故选：A第7讲.爪型三角形与等面积方法如图，设为的平分线，则设，那么有等面积可得：，进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.例12.（20
8、22成都一诊）在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为_.解析：，依题意是角的角平分线，由三角形的面积公式得，化简得，.当且仅当，时等号成立.故答案为：第8讲.斯特瓦尔特定理与均值不等式基本结论：如图：当设为的边中点时，.注：该结论还可由证得.更一般的情形即斯特瓦尔特定理，此处不再赘述，我们通过例题展示例13.在中，角、所对的边分别为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，则，化简得，.又，因此，.（2）由，又为的中点，则，等式两边平方得，所以，则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.例14内
9、角，的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）是边上一点，且，求面积的最大值.解析：（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，因为，所以，则，又，所以，因为，所以；（2）根据题意可得，所以，即，所以，当且仅当 等号成立所以，面积的最大值为.第9讲.恒等变换型目标函数这类最值问题的特点是利用恒等变换化简函数，它们的目标函数往往不是上面的类型，而且有点“丑”，你需要做的就是耐心美化目标函数，直到找到可以入手的结构！例15已知在锐角中，角、所对的边分别为、，且满足，则的取值范围是（）ABCD解析：由，知，因为、，则，因为正弦函数在上单调递增，所以，则，因为为锐角三角形，则，可得，则，故选：A.例16在
10、锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则的取值范围为（）ABCD解析：，或（不符合题意舍去），设，是锐角三角形，令，则，函数在上单调递增，故，.故选：C第10讲.一些重要的竞赛不等式1.再将边结构推广又可给出二次边结构和面积之间的不等关系，即嵌入不等式.（嵌入不等式）若三角形的三边为，面积为，为给定的正实数，则有：，当且仅当取等.2托勒密不等式：若四边形对角互补，或者，则四点共圆.例17.在平面四边形ABCD中，AD=3，BD=则CD的最小值为（）解析：如图，可设，则，则由托勒密不等式可得：，代值可得：，等号成立当且仅当四点共圆.A BCD例18.（2022四川预赛）若三角形的三边满
11、足，则面积的最大值为_.解析：（嵌入不等式）若三角形的三边为，面积为，为给定的正实数，则有：，当且仅当取等.于是.第11讲：轨迹背景阿氏圆定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为.解析：设因为且由两点间距离公式得，化简得所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆例19.中，则的面积最大值为_.解析：由，见系代入得设圆心为，显然当轴时，面积最大，此时所以例20.在中，已知，求的面积的最大值.解析 ：以线段的中点为坐标原点，以边所在直线为轴，以线段的中点垂线为轴，建立平面直角坐标系，则.设，由得，化简并整理得，即的顶点
12、在圆上运动.易知的面积，当时取等号. 所以，面积的最大值为.第12讲：几何辅助见真章如图，在三角形中，已知角的大小，为边上一点.那么我们可利用初中的相似三角形来求解一些这种条件下的爪型三角形问题，简直妙！如下图，过点做的平行线交延长线于，则，且由平行的性质可知：，于是，已知角的大小即可得的大小，倘若我们进一步指导的长度，以及点为边上的具体位置，那么在中可以解决很多问题，下面通过例题来分析.例21.（2022成都一诊）在中，已知角，角的平分线与边相交于，则的最小值为_.解析：如上图，由于，故由可得，再加之为角的平分线，则，于是为等边，则，最后由于，可得：.由于，等号成立当且仅当.注：用辅助线加相似的方法来做这些题目非常容易，比起向量法简单的多.前面的例题读者也可尝试能否用几何方法思考，此处不再赘述.