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1、专题11 玩转指对幂比较大小 【题型归纳目录】题型一：直接利用单调性题型二：引入媒介值题型三：含变量问题题型四：构造函数题型五：数形结合题型六：特殊值法【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.（2）指、对、幂大小比较的常用方法：底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值
2、法【典例例题】题型一：直接利用单调性例1（2023春北京大兴高三校考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系是（）ABCD【答案】B【解析】由对数运算公式可得，因为对数函数在上单调递增，所以，所以，即因为对数函数在上单调递增，所以，所以，即，所以，故选：B.例2（2023北京高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】，而，所以；又，令，而函数在上递增 故选：A例3（2023全国高三专题练习）已知，则1a，b，c的大小关系是（）ABCD【答案】A【解析】，.故选：A.题型二：引入媒介值例4（2023全国高三专题练习）已知，则a，b，c大小关系为（）ABCD【答案】A【
3、解析】因为.所以.因为.所以.所以.故选：A.例5（2023全国高三专题练习）已知，则，的大小关系为（）ABCD【答案】C【解析】，所以.故选：C例6（2023春山西大同高三统考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系是（）ABCD【答案】D【解析】，因为，所以.故选：D.变式1（2023全国高三专题练习）已知，则的大小关系为（）ABCD【答案】B【解析】易知，又，因为，所以，即；又，所以.故选：B.变式2（2023春福建泉州高三校考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】D【解析】根据指数函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得，所以，故选：D.变式3（2023河南郑州高
4、三校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（）ABCD【答案】B【解析】，.故选：B.题型三：含变量问题例7（2023四川绵阳四川省绵阳南山中学校考一模）已知，记，则的大小关系是（）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A例8（多选题）（2023全国高三专题练习）已知，其中，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】CD【解析】因为，所以，且，所以，故A错误；因为，即，故B错误，C正确；因为，即，故D正确.故选：CD.例9（多选题）（2023全国高三专题练习）若，则下列说法中正确的是（）ABCD【答案】CD【解析】由于对于选项A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项A错误对于选项B：
5、由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项B错误对于选项C：由于，所以函数 为增函数，所以 ，故选项C正确对于选项D：，根据运算关系，当真数相同时，底数越大，对数越大，所以，故选项D正确故选：CD变式4（多选题）（2023全国高三专题练习）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（）ABCD【答案】BD【解析】由于两个不相等的正实数a和b，满足，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即，故，A错误；由题意得：，所以，B正确；，其中，但不知道a和b的大小关系，故当时，当时，C错误；，其中，所以，即，D正确.故选：BD变式5（2023全国高三专题练习）若，则，的大小关系是（）ABCD
6、【答案】B【解析】由知：，即，而，即，而在定义域上单调递增，.故选：B.题型四：构造函数例10（2023全国高三专题练习）已知，则，的大小关系为（）ABCD【答案】D【解析】令，则，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，取得极大值，则，故故选：D例11（2023全国高三专题练习）已知，则a，b，c，d的大小关系是（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，所以，设，则，所以在上单调递增.所以，即，于是有，所以，即，所以.故选：B.例12（2023全国高三专题练习）已知，则的大小关系为（）ABCD【答案】D【解析】由，得，令，则，当时，当时，所以函数在上递增，在上递减，又因，且，所以，
7、即，所以.故选：D.变式6（2023上海高三专题练习）设，则的大小关系为_.（从小到大顺序排）【答案】【解析】方法一：【最优解】构造函数法记，则，当时，故在上单调递增，故，故，记，则，当时，故在单调递减，故，故，因此故答案为：方法二：泰勒公式放缩，由函数切线放缩得，因此.故答案为：【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握变式7（多选题）（2023全国高三专题练习）若，则（）AB C D【答案】AD【解析】令，因为在定义域上单调递增，在定义域
8、上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，即，所以，故A正确；因为在定义域上单调递减，所以，故D正确；当，满足，但是，故B错误；当，满足，但是，故C错误；故选：AD变式8（2023全国高三专题练习）已知，则，的大小为（）ABCD【答案】C【解析】令函数，当时，求导得：，则函数在上单调递减，又，显然，则有，所以.故选：C题型五：数形结合例13（2023全国高三专题练习）正实数满足，则实数之间的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】，即，即，与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，则；，即，即，由与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，故；，即，即，由与的图象在只有一个交点，则在只有一个根
9、，令，则；故选：A.例14（2023全国高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【解析】在同一直角坐标系内，作出函数，的图像如下：因为，所以是与交点的横坐标；是与交点的横坐标；是与交点的横坐标；由图像可得：.故选：C.例15（2023全国高三专题练习）设依次表示函数的零点，则的大小关系为_【答案】【解析】函数的零点，即为方程的解，在坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示，结合图象，可得.故答案为：.变式9（2023春陕西西安高三统考期末）已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】B【解析】方法一：设函数为，而. 如图，的图象在的下方，而且随着的增大，的图象与
10、的图象越来越接近，即当时，的值越来越大，所以有，.方法二：构造函数，则，在上恒成立，所以，函数在上单调递增，所以，即.故选：B.题型六：特殊值法例16（2023全国高三专题练习）若，则，这三个数的大小关系为（）ABCD【答案】C【解析】因为， 所以取，则，所以.故选：C.例17（多选题）（2023全国高三专题练习）已知，下列选项中正确的为（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BC【解析】A错，例如满足，便；B正确，又，所以，而，所以；C正确，设，则，所以，即D错误，所以，不一定成立故选：BC【过关测试】一、单选题1（2023全国高三校联考阶段练习）设，则（）ABCD【答案】B【解析】设.
11、因为，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以当，且时，即所以，所以最小，又因为，所以综上可知，故选：B2（2023春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数.若，则的大小关系为（）ABCD【答案】C【解析】，即，又是增函数，所以故选：C3（2023全国高三专题练习）设，则（）ABCD【答案】A【解析】令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，上单调递减，又，所以，即，又，所以，所以；故选：A4（2023全国高三专题练习）已知，设，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】A【解析】由题意，可得，因为，所以，即，所以，故选：A.5（2023全国高三专题练习）已知，则（）ABCD【答
12、案】D【解析】由题得，因为函数在上单调递增，所以又因为指数函数在上单调递增，所以故选:D6（2023全国高三专题练习）设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（）ABCD【答案】B【解析】由，即，注意到，由，故，即，又根据指数函数性质，是上的减函数，故，即，于是，又是上递减的偶函数，则.故选：B7（2023全国高三专题练习）设，则（）ABCD【答案】A【解析】，；，；，综上，故选：8（2023全国高三专题练习）已知，则a、b、c的大小关系为（）AabcBcabCbacDcba【答案】C【解析】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，又函数 在上单调递增，且，于是得，即，所以a、b、c的大小关
13、系为故选：C9（2023全国高三专题练习）已知偶函数在上单调递减，若，则（）ABCD【答案】C【解析】依题意，而偶函数在上单调递减，则，而，即，所以.故选：C10（2023全国高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，对任意的不相等实数总有成立，则（）ABCD【答案】D【解析】因为当时，对任意的不相等实数总有成立，故当时为减函数，又偶函数，且，故，故故选：D二、多选题11（2023全国高三校联考阶段练习）已知，则下列命题正确的有（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】AD【解析】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，若，则，即，故B错误；对于C，若时，此时无意义，故C错
14、误；对于D，则，则，所以，故D正确.故选：AD.12（2023全国高三专题练习）已知x，且，则（）ABCD【答案】AD【解析】因为x，且，即x，且，设，因为函数在R上单调递增，函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，A，由，得，所以，故选项A正确；B，因为x，所以当x=0或y=0时，没意义，故选项B错误；C，因为，而只有当时，才能成立，故选项C错误；D，因为，所以，即，故选项D正确故选：AD13（2023全国高三专题练习）已知，则a，b满足（）ABCD【答案】CD【解析】由，则,则所以，所以选项A不正确.,所以选项B不正确. 由，因为，故等号不成立，则，故选项C正确.因为，故等号不成立，故
15、选项D正确.故选：CD14（2023全国高三专题练习）已知正数满足，则下列说法正确的是（）ABCD【答案】AD【解析】为正数，可设，则，；对于AB，又，A正确，B错误；对于CD，又，C错误，D正确.故选：AD.15（2023全国高三专题练习）下列不等关系中一定成立的是（）ABC，D，【答案】ABC【解析】A. 因为，所以，故正确 B.因为在上递增，则，因为在上递减，则，所以 ，故正确；C. 因为，所以，故正确；D. 当时， ，故错误；故选：ABC16（2023全国高三专题练习）已知函数的零点为，的零点为，则（）ABCD【答案】BCD【解析】分别为直线与和的交点的横坐标，因为函数与函数互为反函数
16、，所们这两个函数的图象关于直线，而直线、的交点是坐标原点，故，故故选：BCD.17（2023全国高三专题练习）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的有（）ABCD【答案】BD【解析】对于A，因为，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以A错误，对于B，因为，所以当时，因为，所以，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：BD18（2023全国高三专题练习）已知，则（）ABCD【答案】BCD【解析】对于A，故A不正确；对于B，故B正确；对于C，故C 正确；对于D，由B知，故D正确；故选：BCD.三、填空题19（2023全国高三专题
17、练习）已知则a，b，c的大小关系是_.【答案】或【解析】因为是R上的减函数，且，所以，所以，因为是R上的增函数，且，所以，所以，所以故答案为：或20（2023全国高三专题练习）已知函数，则a，b，c三者的大小关系是_【答案】【解析】显然有，因为，所以该函数是偶函数，当时，由函数的单调性的性质可知该函数单调递增，因为，所以，因为，所以，因此，所以有，即，故答案为：21（2023春云南昆明高三昆明市第三中学校考期末）已知，则正实数，1三者的大小关系是 _；【答案】【解析】，故；，故；，故，故，.故，故答案为：22（2023春陕西咸阳高三校考阶段练习），则的大小关系为_.【答案】【解析】因为，所以，
18、因为，所以，因为，所以，且，即，所以，故答案为：.23（2023全国高三专题练习）已知， ，则的大小关系为_【答案】【解析】因为，故，故答案为：24（2023春四川眉山高三校考开学考试）设，则a，b，c的大小关系为_.【答案】【解析】因为，.故答案为：.25（2023四川泸州四川省泸县第二中学校考模拟预测）设，则a，b，c大小关系为_.【答案】【解析】由题意可知， ，当时，在上单调递增，因为，即.，所以.故答案为：.26（2023全国高三专题练习）已知，设，则a，b，c的大小关系是_.（用“”连接）【答案】【解析】由题意，知.因为，所以，由，得；由，得，所以，可得，由，得；由，得，所以，可得，综上所述，a，b，c的大小关系是.故答案为：.