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1、专题9“爪形图”破解向量问题一、 单项选择题1. 已知O是正三角形ABC的中心若，其中，R，则的值为()A. B. C. D. 22. 已知数列an为等差数列，且满足a1a2 025，若(R)，点O为直线BC外一点，则a1 013等于()A. 3 B. 2 C. 1 D. 3. (2022烟台三模)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若xy，则xy的最大值为()A. B. 2 C. D. 14. 如图，BCD与ABC的面积之比为2，点P为区域ABDC内的任一点(含边界)，设，则的取值范围是()A. 0,1 B. 0,2C. 0,3 D. 0,4二、 多项选择题5. 下
2、列四个选项中正确的是()A. 若a，b共线，则一定存在实数，使得abB. 若存在实数，使得ab，则a，b共线C. 在ABC中，2，若12，则12的值为D. 在ABC中，2，若12，则12的值为6. 如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列以O为起点的向量中，终点落在阴影区域(不包括边界)内的是()A. 2 B. C. D. 7. 在锐角三角形ABC中，点D为ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，下列四个结论中正确的是()A. 与的夹角是锐角 B. 与的夹角是锐角C. D. 三、 填空题8. 如图，平面内有三个向量，其中，120，30，且|1，|2，若mn，则mn_.9
3、. 如图，在ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且2，BF交CE于点M，设xy，则xy_.参考答案1. C【解析】 由题知O是正三角形ABC的中心，延长CO交AB于点D(图略)，则()，即，.2. D【解析】 因为数列an为等差数列，满足a1a2 025，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，所以a1a2 0251，所以2a1 013a1a2 0251，则a1 013.3. C【解析】 作BC的平行线与圆O相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，如图设，则1.因为BCEF，可设k，由ABC的边长为2，可知其外接圆的半径为，所以AE，则k，所以k，k，kk，所
4、以xk，yk，所以xy()kk.4. C【解析】 如图，过点P作GHBC，分别交AC，AB的延长线于点G，H，则xy，且xy1.当点P位于点D时，G，H分别位于点C，B.因为BCD与ABC的面积之比为2，所以AC3AC，AB3AB，故xyxyx3y3，因此3x3y3；当点P位于点A时，显然0.因此0,35. BC【解析】若a0，b0，则不存在实数，使得ab，A不正确；若b0，则a0，两个零向量共线，若b0，根据共线向量定理知a，b共线，B正确；，而，所以，所以1，2，则12的值为，所以C正确，D不正确6. AC【解析】 由向量共线的充要条件可得，当点P在直线AB上时，存在唯一的一对实数u，v，
5、使得uv成立，且uv1，所以点P位于阴影区域内的充要条件是“满足uv，且u0，v0，uv1”因为121，所以点P位于阴影区域内，故A正确；同理C正确，B不正确；对于D，原式()，而0，故不符合条件，D不正确7. BD【解析】 因为ABC是锐角三角形，所以A，B，C都是锐角由两个向量夹角的定义知，与的夹角等于180B，是钝角，与的夹角是A，是锐角，所以A错误，B正确如图，D为BC的中点，O为靠近点A的三等分点，则()，所以C错误，D正确8. 6【解析】 方法一：连接AB交OC于点D，则DOAOAD30，BOD90，|tan30，|，|.由平面向量基本定理得，|26|，所以642，故mn6.方法二：不妨设AB交OC于点D，则DOAOAD30，BOD90，|tan 30，则由等和线定理可得kmn.因为k6，所以mn6.9. 【解析】 因为B，M，F三点共线，所以存在实数t，使得(1t)t.又2，所以2(1t)t.又E，M，C三点共线，所以2(1t)t1，解得t，所以2(1t)t，所以x，y，xy.