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1、专练6函数的奇偶性与周期性命题范围:函数的奇偶性、函数的周期性基础强化一、选择题1设函数f(x),则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1 Bf(x1)1Cf(x1)1 Df(x1)12设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数3已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x(0,)时,f(x)log2x,则f(8)()A.3 BC D342023安徽省高三质检 已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1x)f(1x),f()
2、1,则f()()A B1C1 D52023江西省高三联考设函数f(x)ln ,则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)f(1x)Bf(x1)f(x1)Cf(x1)1Df(x1)162023全国乙卷(理)已知f(x)是偶函数,则a()A2 B1C1 D272023东北三省三校联考定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)f(x2),则f(2 022)()A0 B1C1 D不确定82023安徽淮南二模 对任意的xR,函数f(x)满足f(x)f(x)4.若函数g(x)f(x)在区间2022,2 022上既有最大值又有最小值,则函数g(x)的最大值与最小值之和为()A0 B2C4 D892023河南省高三
3、三模已知f(x1)为定义在R上的奇函数,f(1)0,且f(x)在1,0)上单调递增,在0,)上单调递减,则不等式f(2x5)0的解集为()A(2,log26)B(,1)(2,log26)C(log26,)D(1,2)(log26,)二、填空题102023四川省成都二诊函数f(x)是定义在R上的奇函数,当1x时,f(x)xm,若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围为_能力提升132022全国乙卷(理),12已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)g(2x)5,g(x)f(x4)7.若yg(x)的图像关于直线x2对称,g(2)4,则f(k)()A21 B22C23 D24142023
4、江西省临川高三模拟已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x)f(x),函数yf(x1)为偶函数,且当x0,1时,f(x)log2(xa),则f(2 022)f(2 023)()A1 B1C504 D无法确定152023贵州省高三适应性测试 函数yf(x)(xR)的图像关于点(0,0)与点(1,0)对称当x(1,0时,f(x)x2,则f()()A BC D162023陕西省西安中学高三三模已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,1时,f(x)sin x,且满足当x1时,f(x)2f(x2),若对任意xm,m,f(x)2成立,则m的最大值为()A BC D专练6函数的奇偶性与周期性1B通解因
5、为f(x),所以f(x1),f(x1).对于A,F(x)f(x1)11,定义域关于原点对称,但不满足F(x)F(x);对于B,G(x)f(x1)11,定义域关于原点对称,且满足G(x)G(x);对于C,f(x1)11,定义域不关于原点对称;对于D,f(x1)11,定义域不关于原点对称故选B.光速解f(x)1,为保证函数变换之后为奇函数,需将函数yf(x)的图像向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度,得到的图像对应的函数为yf(x1)1,故选B.2B3Df(x)为奇函数,f(8)f(8)log283.4C因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)f(x),又因为f(1x)f(1x)
6、,所以f(2x)f(x),则f(2x)f(x),即f(2x)f(x),所以周期为T2,因为f()1,f()f(2)f()1.5A由题进行化简:f(x)ln ln 2ln x,令g(x)f(1x)f(1x)ln 2ln (1x)ln 2ln (1x)ln (1x)ln (1x),g(x)ln (1x)ln (1x)g(x),符合定义,故A正确;令g(x)f(x1)f(x1)ln 2ln (1x)ln 2ln (1x)2ln 2ln (1x)ln (1x),g(x)2ln 2ln (1x)ln (1x)g(x),故B错误;令g(x)f(x1)1ln 2ln (x1)1,g(x)ln 2ln (x1
7、)1g(x),故C错误;令g(x)f(x1)1ln 2ln (x1)1,g(x)ln 2ln (x1)1g(x),故D错误6D方法一f(x)的定义域为x|x0,因为f(x)是偶函数,所以f(x)f(x),即,即e(1a)xexe(a1)xex,即e(1a)xe(a1)xexex,所以a11,解得a0(舍去)或a2,故选D.方法二f(x),f(x)是偶函数,又yx是奇函数,所以ye(a1)xex是奇函数,故a11,即a2,故选D.7A因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)f(x),所以由f(x)f(x2)f(x)f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x)f(x4),所以该函数的周期为4,所以
8、f(2 022)f(50542)f(2)f(22)f(0)0.8C依题意对任意的xR,函数f(x)满足f(x)f(x)4,f(x)2f(x)20,所以函数F(x)f(x)2为奇函数,g(x)f(x),令G(x)g(x)2f(x)2F(x)(xR),G(x)F(x)F(x)G(x),所以G(x)为奇函数,所以G(x)在区间2022,2 022上的最大值与最小值之和为0,所以g(x)G(x)2,所以函数g(x)的最大值与最小值之和4.9D因为f(x1)为定义在R上的奇函数,所以f(x)的图像关于点(1,0)对称,且f(1)0,又f(1)0,所以f(3)0.依题意可得,当3x1时,f(x)0.所以f
9、(2x5)0等价于32x51,解得1xlog26.10解析:因为log32(0,1),所以log32(1,0),由f(x)为奇函数得f(log32)f(log32)f(log3)3log312.112解析:方法一因为f(x)为偶函数,所以f(x)f(x),即(x1)2axsin (x1)2axsin ,得a2.方法二因为f(x)为偶函数,所以ff,即aa,得a2.12(,2解析:当x时,f(x)xm2m,当且仅当x,即x1时等号成立,故当x时,f(x)2m,),又由f(1x)f(x)可得f(x)关于(,0)对称,且由f(1)f()可得f()0,故2m,)只需包含区间(0)即可,故2m0,故m(
10、,2.13D若yg(x)的图像关于直线x2对称,则g(2x)g(2x).因为f(x)g(2x)5,所以f(x)g(2x)5,所以f(x)f(x),所以f(x)为偶函数由g(2)4,f(0)g(2)5,得f(0)1.由g(x)f(x4)7,得g(2x)f(x2)7,代入f(x)g(2x)5,得f(x)f(x2)2,所以f(x)的图像关于点(1,1)中心对称,所以f(1)f(1)1.由f(x)f(x2)2,f(x)f(x),得f(x)f(x2)2,所以f(x2)f(x4)2,所以f(x4)f(x),所以f(x)为周期函数,且周期为4.由f(0)f(2)2,得f(2)3.又因为f(3)f(1)f(1
11、)1,所以f(4)2f(2)1,所以f(k)6f(1)6f(2)5f(3)5f(4)6(1)6(3)5(1)5124.故选D.14A因为函数yf(x)的定义域为R,且f(x)f(x),所以函数yf(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)log2a0,解得a1,即f(x)log2(x1),f(1)log221;因为yf(x1)为偶函数,所以f(x1)f(x1),即yf(x)的图像关于x1对称,又yf(x)满足f(x)f(x),所以f(x1)f(x1),则f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x),即函数yf(x)是周期函数,周期为4,则f(2 022)f(2 023)f(2)f(3)f(0
12、)f(1)1.15A因为yf(x)图像关于点(0,0)与点(1,0)对称,所以f(x)f(x)0,且f(2x)f(x)0,所以f(2x)f(x),即f(x)f(x2),所以f(x)是以2为周期的周期函数,当x(1,0时,f(x)x2,所以f()f(2)f()()2.16B由题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,1时,f(x)sin x,当x1,0)时,f(x)f(x)sin (x)sin x,即f(x)sin x,x1,1,又由当x1时,f(x)2f(x2),可画出函数图像,如图所示由图知,当3x5时,f(x)4f(x4)4sin (x4)4sin x;则当5x3时,f(x)f(x)4sin x;当5x3时,令4sin x2,解得x1,x2(舍去),若对任意xm,m,f(x)2成立,所以m的最大值为.