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1、第27练最值、范围问题考情分析解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现一、最值问题例1(2021全国乙卷)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9，求直线OQ斜率的最大值解(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p2，所以C的方程为y24x.(2)由(1)知F(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，(1x2，y2)，因为9，所以可得又点P在抛物
2、线C上，所以y4x1，即(10y2)24(10x29)，化简得yx2，则点Q的轨迹方程为y2x.设直线OQ的方程为ykx，易知当直线OQ与曲线y2x相切时，斜率可以取最大，联立ykx与y2x并化简，得k2x2x0，令24k20，解得k，所以直线OQ斜率的最大值为.规律方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解跟踪训练1(2022淄博模拟)已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦
3、点分别为F1，F2，|F1F2|4，点P(，1)在椭圆E上(1)求椭圆E的标准方程；(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求当F1AB面积最大时直线l的方程解(1)由|F1F2|2c4，可得c2，则F1(2,0)，F2(2,0)，由椭圆的定义可得2a|PF1|PF2|2，得a，所以b，因此，椭圆E的标准方程为1.(2)由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为xmy2(m0)，联立消去x可得(m23)y24my20，16m28(m23)24(m21)0，由根与系数的关系可得y1y2，y1y2，所以|F1F2|y1y2|22，令t1，则2，当且仅当t
4、，即当m1时，等号成立，此时直线l的方程为xy20或xy20.二、范围问题例2(2016全国)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围(1)证明因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题
5、设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)解当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m的方程为y(x1)，点A到m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12，8)规
6、律方法范围问题的求解策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式；(2)利用已知参数的取值范围；(3)利用隐含的不等关系；(4)利用已知不等关系构造不等式；(5)利用函数值域的求法跟踪训练2(2022北京人大附中模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(2,0)，F2(2,0)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点F1作AB的垂线交椭圆C于M，N两点，MNF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解(1)由题意知，c2.由椭圆定义，MNF2的周长为4a4a，所以b，所以椭圆C的方程为1.(2)当lx轴时，MN与x轴重合，不符合题意，当直线l与x轴重合时，|MN|，|AB|2a2，所以；当直线l斜率存在且不为0时，设l的方程为xty2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的方程为xy2，联立方程组(t23)y24ty20，(4t)28(t23)0，由根与系数的关系知y1y2，y1y2，所以|AB|y1y2|，同理|MN|，所以，综上所述，的取值范围是.