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1、第30练函数与方程思想1(2018天津)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为() A. B.C. D3答案A解析如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系连接AC，由题意知CADCAB60，ACDACB30，则D(0,0)，A(1,0)，B.设E(0，y)(0y)，则(1，y)，y2y2(0y)，当y时，取最小值.2(2019全国)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3等于()A16 B8 C4 D2答案C解析设等比数列an的公比为q，由a53a34
2、a1得q43q24，即q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，解得a11，所以a3a1q24.3(2020天津)设a30.7，b0.8，clog0.70.8，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCbca Dca301，b0.830.830.7，clog0.70.8ac.4(2021北京)已知圆C：x2y24，直线l：ykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于()A2 B C D答案C解析由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d，则弦长为2，则当k0时，弦长取得最小值为2，则有22，解得m
3、.5(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80.数列的前8项和最大，即n8.6(2020全国)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_答案解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆在PAB中，PAPB3，D为AB的中点，AB2，E为切点，则PD2，PEOPDB，则，即，解得r，故内切球的体积为3.7(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，
4、且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理，得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)(1)若p，求抛物线C2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大
5、值解(1)若p，则，则抛物线C2的焦点坐标为.(2)由题意可设直线l：xmyt(m0，t0)，点A(x0，y0)将直线l的方程代入椭圆C1：y21，得(m22)y22mtyt220，所以点M的纵坐标yM.将直线l的方程代入抛物线C2：y22px，得y22pmy2pt0，所以y0yM2pt，解得y0，因此x0.由y1，得4224160，当且仅当m，t时，p取到最大值.9(2022石嘴山模拟)若函数f(x) 则函数g(x)f(f(x)2 的零点个数为()A3 B4 C5 D6答案B解析由已知得，函数f(x)的值域为0,3，函数g(x)f(f(x)2 的零点即方程f(f(x)2 的根，设tf(x)，
6、则f(t)2，t0,3当0t2 时，令|2t1|2，得tlog23；当2t3时，令2，得t.作出函数f(x) 的图象，如图所示，因为log23(1,3)，(1,3)，所以方程f(x)log23 和方程f(x) 各有2个解，即方程f(f(x)2 共有4个解，故g(x)f(f(x)2 的零点有4个10(2022潮汕模拟)实数x，y满足x22xy2y21，若xyk恒成立，则整数k的最小值为()A1 B2 C3 D4答案B解析x22xy2y21，即(xy)2y21.令xycos ，ysin ，则xcos sin .xy(1)sin cos sin()，k，又12，kZ，则k2，因此整数k的最小值为2.
7、11(多选)(2022重庆调研)已知数列an，bn均为递增数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且满足anan12n，bnbn12n，则下列结论正确的是()A0a11 BS2nn23n2C1b1 DS2nT2n答案ACD解析由an是递增数列，得a1a2a3，又anan12n，所以所以所以0a11，故A正确；所以S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)26102(2n1)2n2，故B不正确；由bn是递增数列，得b1b2b3，又bnbn12n，所以因为所以1b12(2n1)，而2(2n1)2n22(2nn2)，当n5时，2(2nn2)0，当1n4时，可验证2(2nn2)0，所以对于任意的n
8、N*，S2n0，得x(2,0，则函数f(x)的单调递增区间为(2,0，由f(x)0，得x(，2)，则函数f(x)的单调递减区间为(，2)，且易知x1 时，f(x)0，且f(2)3，则不等式f(x)的解集为_答案(2,0)(2，)解析因为(x1x2)x1f(x1)x2f(x2)0，所以当x1x2时，x1f(x1)等价于或所以x2或2x的解集为(2,0)(2，)14(2022潮汕模拟)已知x表示不小于x的最小整数，x表示不大于x的最大整数，如1.62，3.13，数列an满足a1，且对nN*，有an1ananb，若an为递增数列，则整数b的最小值为_答案0解析数列an满足a1，且对nN*，有an1a
9、nanb，a2bb1，由bZ可得a2Z，n2，有anZ，当n2时，an1ananb2anb，即an1b2(anb)，n2，anb(2b1)2n2，n2，当n1时，满足上式，an(2b1)2n2b，nN*，an为递增数列，则an1an0，当n1时，a2a1b0，解得b，当n2时，an1an(2b1)2n20，即2b10，解得b，又bZ，则整数b的最小值为0.15(2022海口模拟)已知各项都为正数的等比数列an的前n项和为Sn，且a14，S4a484.(1)求an的通项公式；(2)设an，数列bn的前n项和为Tn，若3SkTk4akbk1，求正整数k的值解(1)设数列an的公比q，由S4a484
10、得a1a2a384，又a14，所以44q4q284，解得q5(舍去)或q4.所以an44n14n，即an4n.(2)由(1)得Sn(4n1)，又an4n22n，所以bn2n，所以Tnn2n.由3SkTk4akbk1，得4(4k1)k2k4k12(k1)，整理得k2k60，解得k2(舍去)或k3.所以k3.16(2022邵阳模拟)已知圆M：(x1)2y216，点N(1,0)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与线段PM相交于点E.(1)求点E的轨迹方程；(2)已知A，B，C为点E的轨迹上的三个点(A，B，C不在坐标轴上)，且0，其中O为坐标原点，求SABC的值解(1)由已知有|EM|EN|
11、EM|EP|4|MN|，点E的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a4,2c2，a2，c1，b，点E的轨迹方程为1.(2)由0，可知O为ABC的重心，SABC3SOAB，由已知AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由可得(4k23)x28kmx4(m23)0，则x1x2，x1x2，(8km)216(4k23)(m23)48(4k23m2)04k23m20，y1y2kx1mkx2mk(x1x2)2m，由0x3(x1x2)，y3(y1y2)，14k234m2，|AB|x1x2|，点O到AB的距离d，SOAB|AB|d，SABC3SOAB.
12、考情分析高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查，特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、平面向量、立体几何等题目中高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算，而在主观题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查一、函数与方程思想在函数、不等式中的应用核心提炼函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得(2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中
13、的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求值域(3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数练后反馈题目39101213正误错题整理：二、函数与方程思想在数列中的应用核心提炼函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决(2)解决数列最值问题常用的思路
14、：一是构造函数，即通过观察已知等式的特点，构造函数，并判断所构造的函数的奇偶性与单调性；二是会利用函数的单调性，得出数列的单调性，从而比较大小；三是灵活运用数列的性质练后反馈题目25111415正误错题整理：三、函数与方程思想在几何中的应用核心提炼几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法练后反馈题目1467816正误错题整理：1T1补偿(2022高邮模拟)已知向量a(，1)，b(1，)，则|
15、ab|(R)的最小值为()A2 B. C1 D.答案C解析由题意可得ab(，1)(1，)(1，)，所以|ab|2(1)2()24244421，故当时，|ab|取得最小值1.2T10补偿(2022西宁模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2kab，则ABC的面积为时，k的最大值是()A2 B. C4 D2答案B解析由题意得SABCabsin C，所以c2absin C，又因为c2a2b22abcos C，所以a2b2c22abcos Cabsin C2abcos C，所以ksin C2cos Csin(C)，其中tan 2，且k0，所以k的取值范围为(0，3T6补偿已知
16、正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_答案2解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，侧棱长为l，则该正四棱锥的体积Va2h，故a2h32，即a2.则l.令f(h)h2，则f(h)2h，令f(h)0，解得h2.当h(0,2)时，f(h)0，f(h)单调递增所以当h2时，f(h)取得最小值为f(2)2212，故其侧棱长l的最小值为2.4T13补偿(2022宁波模拟)已知f(x)(exa1)ln(x2a1)，若f(x)0对x(12a，)恒成立，则实数a的值为_答案解析当0x2a11，即12a1，即x22a时，ln(x2a1)0，又f(x)0，故exa10，则xa恒成立，所以a22a
17、，解得a，综上，实数a的值为.5T15补偿(2022龙岩模拟)设数列an满足a12，a26，a312，数列an的前n项和为Sn，且Sn2Sn13(Sn1Sn)2(nN*，n2)(1)求证：数列an1an为等差数列，并求an的通项公式；(2)设bn，若对任意正整数n，当m1,2时，mt23tbn恒成立，求实数t的取值范围解(1)当n2时，由Sn2Sn13(Sn1Sn)2可得an2an1an3an12，an22an1an2，(an2an1)(an1an)2，a2a14，a3a26，当n1时，(a3a2)(a2a1)2，an1an是以4为首项，2为公差的等差数列，an1an4(n1)22n2.当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2(n1)2222n2n，当n1时，a12也满足上式，ann2n.(2)bn，令f(n)2n3，f(n1)f(n)2(n1)322，当n1时，2n22n10，f(n1)f(n)，因此f(n)的最小值为f(1)6，故bn的最大值为.对任意正整数n，当m1,2时，mt23tbn恒成立，则mt23t，即mt23t0在m1,2时恒成立，解得t3.