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1、第31练数形结合思想1(2020北京)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A4 B5 C6 D7答案A解析半径为1，经过点(3,4)的动圆，由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3,4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin14.2(2011课标全国)函数y的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8答案D解析令1xt，则x1t.由2x4，知21t4，所以3t3.又y2sin x2sin (1t)2sin t.在同一坐标系下作出y和y2sin t的图象，如图由图可知两函数图象在3,0)(0,3上共有8个
2、交点，且这8个交点关于原点两两对称因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1t2t80.也就是1x11x21x80，因此x1x2x88.3(2020北京)已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是()A(1,1)B(，1)(1，)C(0,1)D(，0)(1，)答案D解析令h(x)2x，g(x)x1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)2x，g(x)x1的图象，如图由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2)又f(x)0等价于2xx1，结合图象，可得x1.故f(x)0的解集为(，0)(1，)4(2015安徽)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|
3、b|1 BabCab1 D(4ab)答案D解析如图，由题意得，(2ab)2ab，故|b|2，故A错误；|2a|2|a|2，所以|a|1，又2a(2ab)4|a|22ab22cos 602，所以ab1，故B，C错误；设B，C的中点为D，则2，且，所以(4ab)，故D正确5(2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.1 B.1 C2 D2答案A解析b24eb30，(b2e)21，|b2e|1.如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点M(2,0)为圆心，1为半
4、径的圆上，|ab|就是线段AB的长度要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|ab|的最小值为1.6(2012辽宁)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D8答案B解析由题意知f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(2x)f(x2)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(0)0，f(1)1，而g(x)|xcos(x)|为偶函数，且g(0)ggg0
5、，在同一坐标系下作出两函数在上的图象，由图可知两函数图象在上共有6个交点，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为6.7(2013江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析在同一坐标系下作出f(x)x24x(x0)与yx的图象，如图所示由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称作出xx，表示函数yf(x)的图象在yx的上方，观察图象易得解集为(5,0)(5，)8(2022浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2A8的边A1A2上，则的取值范围是_答案122，16解析以圆心为原点，A
6、7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A1(0,1)，A2，A3(1,0)，A4，A5(0，1)，A6，A7(1,0)，A8，设P(x，y)，于是8(x2y2)8，因为cos 22.5|OP|1，所以x2y21，故的取值范围是122，169(2022昆明模拟)已知a，b是函数f(x)(xc)(dx)1的两个零点，若ab，cd，则()Aabcd BacdbCcdab Dcabd答案B解析令g(x)(xc)(dx)，易知g(x)为开口向下的二次函数，c，d是函数g(x)的两个零点，又f(x)(xc)(dx)10的两根为a，b，即(xc)(dx)1的两根为a，b
7、，即函数yg(x)的图象与y1的两个交点的横坐标为a，b，画出g(x)的草图，如图，由图可知acd0)上一动点，F为E的焦点，点Q为圆x24xy230上一动点，若|PF|PQ|的最小值为3，则p等于()A5 B4 C3 D2答案B解析x24xy230可转化为(x2)2y21，则圆心为(2,0)，半径为1.因为|PF|PQ|的最小值为3，点Q为圆(x2)2y21上一动点，设抛物线E：y22px(p0)的准线为l，则l的方程为x，过点P作PHl，H为垂足，则|PF|PH|，如图，则|PF|PQ|PH|PQ|QG|1.由13，可得p4.11(2022石家庄模拟)已知直线ymx与函数f(x)1的图象有
8、两个交点，则实数m的取值范围为()A. B.C. D.答案D解析由f(x)1得f(x)1，即(x4)2f(x)124(其中f(x)1)，f(x)表示以(4,1)为圆心，2为半径的圆在直线y1上面的部分，直线ymx表示过原点的直线，当直线ymx与f(x)图象相切时，2，解得m或m(舍)，当直线ymx过点(2,1)时，m，由图象可知，若直线ymx与函数f(x)1的图象有两个交点，则m的取值范围为.12(2022石家庄模拟)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BCPC，PAAC，BCa，动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为()A5 B8 C10 D
9、20答案B解析将侧面PBC沿PC翻折到与侧面PAC共面，如图所示，则动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为AB，PA底面ABC，AC平面ABC，PAAC，又BCPC，PAAC，ACB，AB2AC2BC22ACBCcosACB2a22a10，解得a2，PB2，取PB的中点O，连接AO，CO，如图，PAAB，PCBC， AOCOPB，O为该棱锥的外接球的球心，其半径RPB，球O的表面积S4R28.13(2022郑州质检)已知点A在双曲线C：1(b0)上，且双曲线C的上、下焦点分别为F1，F2，点B在F1AF2的角平分线上，BF2AB，若点D在直线l：yx8，则|BD|的最小值
10、为()A22 B32C42 D44答案D解析如图所示，设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2AB且F1ABF2AB，可得|AM|AF2|，故|MF1|AF1|AM|AF1|AF2|2a8，故|OB|MF1|4，则点B落在圆x2y216上，因为点O到直线l：yx8的距离为4，故|BD|的最小值为44.14(2022莆田模拟)已知P是边长为4的正ABC所在平面内一点，且(22)(R)，则的最小值为()A16 B12 C5 D4答案C解析如图，延长AC到点D，使得2.因为(22)(1)，所以点P在直线BD上取线段AC的中点O，连接OP，则()()|2|2|24.显
11、然当OPBD时，|取得最小值，因为|BO|2，|OD|6，则|BD|4，所以|min3，所以的最小值为3245.15已知抛物线的方程为x28y，点F是其焦点，点A的坐标为(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_答案解析因为(2)20时的情况)，g(x)有且仅有三个零点，则f(x)和h(x)的图象有且仅有三个交点当a0时，显然不成立；当a0时，由图象可得解得a，当a0时，由对称性知a，所以a的取值范围是.3T13补偿(2022绵阳模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：1的左、右焦点，点Q是C上一点，延长F1Q至点P，连接PF2，若线段PF2的垂直平分线恰好过点Q，则P
12、F1F2面积的最大值为()A4 B2 C3 D2答案A解析连接QF2，因为线段PF2的垂直平分线过点Q，所以|QF2|QP|，又因为点Q在椭圆C：1上，所以|PF1|QF1|QP|QF1|QF2|2a4，设右焦点F2(1,0)到直线PF1的距离为d，则|PF1|d2d，则当d取到最大值时，PF1F2面积取到最大值，设经过点F1(1,0)的直线为l：xmy1，则点F2(1,0)到直线xmy10的距离d2，当且仅当m0，即直线方程为x1时取等号，此时PF1F2面积取到最大值4.4T14补偿已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内的一点，则()的最小值为_答案解析以BC为x轴，BC的中垂线
13、为y轴建立如图所示的直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则有(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()2x22y2y22，则当x0，y时，()取得最小值2.所以()的最小值是.5T10补偿1955年10月29日，新疆克拉玛依1号油井出油，标志着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，是市民与游客的网红打卡地，形状为椭球形，中心截面为椭圆，已知动点P在椭圆C：1上，若点A的坐标为(3,0)，点M满足|1，0，则|的最小值是_答案2解析因为|1，所以点M的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆，因为0，所以PMAM，要想使|最小，只需|最小，设P(m，n)，6m6，则1，其中|AP|，因为6m6，所以当m6时，|AP|取得最小值，|AP|min3，此时|min2.6T1补偿(2022成都模拟)已知圆C的方程为(x1)2(y1)21，直线l：(32t)x(t1)y2t10恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线xy50上一点M反射后到达圆C上的一点N，则|AM|MN|的最小值为_答案6解析取t1，t，得得A(1，4)，设点A关于直线xy50的对称点为A(m，n)，则解得即A(1，6)，由图知|AM|MN|AM|MN|AC|16，当且仅当A，M，N，C四点共线时取等号，此时|AM|MN|取得最小值6.