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1、重难点07五种数列求和方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：等差等比公式法一、单选题1（2022山西模拟预测（理）已知等比数列的首项为1，若成等差数列，则的前6项的和为（）A31BCD632（2022福建泉州模拟预测）记等比数列的前n项和为.若，则=（）ABCD3（2022山东菏泽二模）已知数列中，且对任意的m，都有，则下列选项正确的是（）A的值随n的变化而变化BC若，则D为递增数列4（2022重庆一中高三阶段练习）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（）A1008个B1009个C1010个D101
2、1个二、多选题5（2022山东枣庄三模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（）ABCD三、填空题6（2022河南模拟预测（文）设数列的前n项和为，已知，则等于_.7（2022山东肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，则=_8（2022陕西模拟预测（理）已知等差数列公差，其前n项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则_.9（2022河北保定二模）现有10个圆的圆心都在同一条直
3、线上，从左到右它们的半径依次构成首项为1，公比为2的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，前3个圆如图所示，若P，Q分别为第1个圆与第10个圆上任意一点，则的最大值为_.（用数字作答）10（2022湖北荆门市龙泉中学二模）已知数列的通项公式则的前项和_四、解答题11（2022福建厦门模拟预测）已知数列的前项和为，满足，(1)证明：数列是等比数列；(2)记，设，求数列的前项和13（2022山东肥城市教学研究中心模拟预测）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分
4、，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望；(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到阶
5、，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.14（2022辽宁东北育才学校二模）已知等比数列和递增的等差数列满足，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)数列和数列中的所有项分别构成集合和，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列前63项和.15（2022山东菏泽二模）已知数列中，它的前n项和满足(1)证明：数列为等比数列；(2)求题型二：裂项相消法一、单选题1（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）已知等差数列的前n项和为，.若对任意且，总有恒成立，则实数的最小值为（）A1B
6、CD二、多选题2（2022山东济南一中高三阶段练习）如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具，某数学兴趣小组利用该玩具制定如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆上，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆上，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一杆上记为移动1次，记为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设下面结论正确的是（）ABCD3（2022全国模拟预测）已知数列满足，且，则（）AB数列是等差数列C数列是等差数列D数列的前n项和为三、填空题4（2022湖北蕲春县实验高级中学高
7、二期中）高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如已知数列满足，设数列的前n项和为，则_四、解答题5（2022重庆一中高三阶段练习）已知数列的前项和为，点在直线上(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求使得成立的的最大值6（2022江西模拟预测（理）各项都为正数的单调递增数列an的前n项和为Sn，且满足（nN*）(1)求数列an的通项公式；(2)求；(3)设 ，数列的前n项和为Pn，求使Pn46成立的n的最小值7（2022江苏盐城三模）已知正项等比数列满足，请在，中选择一个填在横线上并完成下面问题：(1)求的通项公式；(2)设，的前和为，求证：8（2022江西九江三模
8、（文）已知数列的前项和为，且满足，(1)求；(2)求数列的前项和9（2022山东枣庄三模）已知正项数列的前项和为，且、成等比数列，其中(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和10（2022浙江模拟预测）已知递增的等差数列满足：，且成等比数列数列满足：，其中为的前n项和(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前n项和，是否存在实数，使得不等式对一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由11（2022河南高二期中（文）已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列，满足，求数列的前n项和.12（2022天津和平二模）已知数列的前n项和为满足.数
9、列满足，且満足(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足；求(3)，数列的前项和为，求证：.题型三：错位相减法一、单选题1（2022江西鹰潭二模（理）若正整数、只有为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，则下列说法正确的是（ ）AB数列是等差数列CD数列的前项和为，则2（2022广东三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有12）；（与9互素有12457
10、8）.记为数列的前n项和，则=（）ABCD3（2022江西二模（理）记数列中不超过正整数n的项的个数为，设数列的前n项的和为，则等于（）ABCD二、多选题4（2022广东高三阶段练习）已知数列满足，数列的前n项和为，则（）ABCD5（2022全国模拟预测）记数列的前项和为，数列为，.其构造方法是:首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（）ABCD6（2021江苏高三阶段练习）设和分别为数列和的前n项和.已知，则（）A是等比数列B是递增数
11、列CD三、填空题7（2022山东聊城二模）已知数列，当时，则数列的前项的和为_8（2022内蒙古赤峰模拟预测（理）已知数列满足，且，则_.9（2022天津市第四中学模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比，数列满足且，.（1）则_；_；（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和_；（3）设数列的通项公式为：，则_.四、解答题10（2022浙江效实中学模拟预测）已知等差数列中，公差，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.(1)求数列与的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.11（2022全国高三阶段练习（理）已知数列的前项和为，且，成
12、等差数列(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和12（2022山东临沂二模）已知数列的前n项和为，(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和13（2022山西模拟预测（文）已知数列的前项和为，且(1)证明是等比数列；(2)求的前项和14（2022天津一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，；数列的前n项和为，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)求证：.题型四：分组（幷项）求和法一、单选题1（2022全国高三专题练习）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，设，则当时，的最大值是（）A9B10C11D122（2022江苏南
13、京高三开学考试）若(2x1)(22x1)(23x1)(2nx1)a0a1xa2x2anxn(nN*)，则下列说法正确的是（）Aan2(nN*)B1(nN*)为等差数列C设bna1，则数列为等差数列D设bna1，则数列bn的前n项的和为3（2022河北模拟预测）已知数列满足，（，），是数列的前项和，则（）A508B506C1011D1009二、多选题4（2022河北沧州模拟预测）已知数列的通项公式为，是数列的前n项和，若，使，则（）A1B2C3D45（2021广东新会陈经纶中学高三阶段练习）已知数列满足，是数列的前项和，则（）ABCD数列是等比数列6（2022江苏苏州中学高三开学考试）在数列中，
14、前n项的和为Sn，则（）A的最大值为1B数列是等差数列C数列是等差数列D三、填空题7（2022云南昆明模拟预测（理）记数列的前项和为，则_8（2022新疆三模（理）设为数列的前n项和，则_.9（2022云南昆明模拟预测（文）数列的前10项和等于_四、解答题10（2022河北沧州模拟预测）已知数列，满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：.11（2023福建漳州三模）已知等差数列的前n项和为，且(1)求的通项公式：(2)若数列满足，求的前10项和12（2022江苏连云港模拟预测）已知数列是递增的等差数列，是各项均为正数的等比数列，(1)求数列和的通项公式；(2
15、)设，求数列的前9项的和（注：表示不超过x的最大整数）13（2022河南洛阳三模（理）已知正项数列的前项和为，数列满足且.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.14（2022湖北荆门市龙泉中学二模）已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和；15（2022山东滨州二模）已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，(1)求数列和的通项公式；(2)令，抽去数列的第3项、第6项、第9项、第3n项、余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前n项和题型五：倒序相加法一、单选题1（2022湖南岳阳二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有
16、很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（）A98B99C100D1012（2022浙江高三专题练习）已知数列满足对、，都有成立，函数，记，则数列的前项和为（）ABCD3（2022全国高三专题练习）对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（）ABCD4（2022全国高三专题练习）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，
17、因此，此方法也称之为高斯算法已知数列满足，则（）ABCD二、多选题5（2022全国高三专题练习）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（）A存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B函数的对称中心也是函数的一个对称中心C存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D若函数，则三、填空题6（2022四川遂宁三模（文）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法，在其年幼时，
18、对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是_.7（2022江西萍乡二模（理）已知函数，等差数列满足，则_8（2022湖北省鄂州高中高三期末）设函数，定义，其中，则_.9（2021全国高三专题练习）已知函数，则_.10（2022全国高三专题练习）已知数列，2，3，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为_四、解答题11（2022全国高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.12（2021全国高三专题练习）已知函数，正项等比数列满足，则值是多少？.13（2012江西宜春高三阶段练习（理）设、是函数的图象上任两点，且，已知点横坐标为，（1）求点的纵坐标；（2）若，其中且，求（3）已知，其中，为数列的前项和， 若对一切都成立，求取值范围