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1、重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：单调性法求数列最值一、单选题1（2022安徽淮南二模（文）已知等差数列的前n项和为，则数列（）A有最大项，无最小项B有最小项，无最大项C既无最大项，又无最小项D既有最大项，又有最小项【答案】D【分析】根据等差数列的首项 ,公差列方程,可得和,进而可得,通项,进而根据的单调性,即可得最值.【详解】等差数列的首项为 ,公差为, 由得 ,故 当时, 单调递减,故,且 当时, 单调递减,故,且故有最大值为2,最小值为 故选:D2（2022北京二模）已知等差数列与等比数列的首项均为3，且，则数列（）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最
2、大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式，得出，确定数列中奇数项都是负数，偶数项都是正数，然后设，用作差法得出的单调性，从而可得数列的最值【详解】，则，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，设，则，即时，时，即数列，从到递增，从往后递减，由于中奇数项都是负数，偶数项都是正数，所以中，最大，又，所以是最小项故选：A3（2022安徽芜湖一中三模（文）已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（）AB1CD2【答案】C【分析】先求出，的得到，再求出，从而得出，然后分析出数列的单调性，得出答案.【详解】设等差数列的
3、公比为，由，则即，故，则 则设正项等比数列的公比为，由，则所以，解得，则 ，设，则当时，即 当时，即所以最大.故选：C4（2022广东一模）已知正项数列满足，当最大时，的值为（）A2B3C4D5【答案】B【分析】先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.【详解】令，两边取对数，有，令，则，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以时，取到最大值，从而有最大值，因此，对于，当时，；当时，.而，因此，当最大时，.故选：B二、多选题5（2021广东高三阶段练习）设数列的前n项和为，若，则下列结论中正确的是（）ABCD满足的n的最大值为2020【答案】ACD【分析】A选项，对化简后得到结果；B
4、选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C选项，是单调递减数列，故；D选项，在B选项的基础上进行求解即可.【详解】，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，所以，所以是单调递减数列，所以，故C正确；因为，所以单调递增，且，所以满足的n的最大值为2020，故D正确故选：ACD6（2022全国高三专题练习）等比数列各项均为正数，数列的前项积为，则（）A数列单调递增B数列单调递减C当时，最大D当时，最小【答案】BC【分析】由等比数列基本量求得等比数列的公比，由可得数列的增减性，然后由判断数列的单调性，从而得到的最值.【详解】设等比数列的公比为，等比数列各项均为正数，数列单调递减；，当时，；当时，
5、；数列中，从到递增，从开始递减，时，数列中最大.故选：BC7（2021河北高三阶段练习）已知，分别是等差数列的公差及前项和，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（）A满足的最小值为BCD时，取得最小值【答案】AC【分析】由已知可得，公差，利用等差数列前项和公式以及等差数列的性质可判断A；由可判断B；作差结合可判断C；由的单调性以及的符号即可求出的最小值可判断D，进而可得正确选项.【详解】由题意知：，选项A中：，所以满足的最小值为，故选项A正确；选项B中：，即，故选项B错误；选项C中：由，可知公差，则所以，故选项C正确；选项D中：当时，当时，所以当时，；，当时，所以，；当时，所以，所以当时，
6、取得最小值，故选项D不正确，故选：AC.8（2022江苏高三专题练习）在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，且，则（）A一定是直角三角形B为递增数列C有最大值D有最小值【答案】ABD【解析】先结合已知条件得到，进而得到，得A正确，再利用面积公式得到递推关系，通过作差法判定数列单调性和最值即可.【详解】由，得，故，又，故一定是直角三角形，A正确；的面积为，而，故，故，又（当且仅当时等号成立），又由，知不是恒成立，即，故，故为递增数列，有最小值，无最大值，故BD正确，C错误.故选：ABD.【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到，进而得到，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单
7、调性判断.9（2021江苏盐城中学一模）对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）A若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B若，则其“倒差数列”有最大值；C若，则其“倒差数列”有最小值；D若，则其“倒差数列”有最大值.【答案】ACD【分析】根据新定义进行判断【详解】A若数列是单增数列，则，虽然有，但当时，因此不一定是单增数列，A正确；B，则，易知是递增数列，无最大值，B错；C，则，易知是递增数列，有最小值，最小值为，C正确；D若，则，首先函数在上是增函数，当为偶数时，当为奇数时，显然是递减的，因此也是递减的，即，的奇数项中有最大值
8、为，是数列中的最大值D正确故选：ACD【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值三、填空题10（2022上海徐汇二模）已知定义在上的函数满足，当时，设在区间上的最小值为若存在，使得有解，则实数的取值范围是_【答案】【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当，时，的解析式，进而求出，然后，得到存在，使得有解，则有有解，进而必有，进而求出,即可求解.【详解】当时，因为定义在上的函数满足，令，则，所以，当时，有，所以，当时，令，则，有，所以，当时，同理可得，时，根据规律，明显可见当，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，所以，若存在，使得有解，
9、则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：11（2022浙江台州二模）已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为_.（用数字作答）【答案】1【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.【详解】由题，等差数列的各项均为正数，所以，且，所以数列是递增数列，又，所以，即是递减数列，所以当时，得到数列的最大项为，故答案为：112（2022全国高三专题练习）已知数列an对任意m，nN*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“nN*，an+12”为真
10、，则实数的最大值为_.【答案】7【分析】先求出的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m=1，则an+1=an+a1，an+1an=a1=1，所以数列an为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，所以an +12nn2+12n+，又函数在上单调递减，在上单调递增，当或时，所以故答案为：713（2022天津市新华中学高三期末）在数列中，则数列中的最大项的_ .【答案】6或【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.【详解】，令，解得，即时，当时，所以或最大，所以或.故答案为：6或7.14（2022全国高三专题练习）已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1，an2an10，则Sn
11、的最大值与最小值的积为_.【答案】【分析】先计算出公比，求出Sn，分奇偶性讨论得出Sn的最大值与最小值，即可求解.【详解】因为an2an10，所以，所以等比数列an的公比为，因为a1，所以Sn.当n为奇数时，Sn，Sn随着n的增大而减小，则1SnS1，又Sn随着Sn的增大而增大，故0Sn；当n为偶数时，Sn，Sn随着n的增大而增大，则S2Sn1，又Sn随着Sn的增大而增大，故Sn0.综上，Sn的最大值与最小值分别为，.故Sn的最大值与最小值的积为.故答案为：.15（2022河南模拟预测（文）已知数列满足，则的最大值为_【答案】【分析】令，分为奇偶性，分别求出，通过判断的单调性可求出其最大值【详
12、解】令，当为奇数时，因为，所以，所以当为奇数时，数列为递减数列，所以当为奇数时，最大，当为偶数时，当增大时，在减小，所以为偶数时，最大，因为，所以数列的最大值为，故答案为：16（2022全国模拟预测）已知数列的前n项和为，等差数列的首项为1，公差为1，则的最大值为_.【答案】【分析】由题意求出，再求出，令，求出的单调性即可求出的最大值.【详解】由题意知，则，则，令，则.由，易得当时，所以；当时，所以，故的最大值为，即当时，取得最大值，为.故答案为 : .四、解答题17（2022湖北模拟预测）已知数列的前n项之积为，且(1)求数列和的通项公式；(2)求的最大值【答案】(1)，(2)【分析】（1）
13、利用即项与和的关系方法求得，再利用求得；（2）再由定义求得，并利用作差法得出是递减的，从而易得最大值(1)，由可得，由也满足上式，由可得，即，(2)由（1）可知，则，记，即单调递减，的最大值为18（2022天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用与的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列的前项和为，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当 时，,当 时， ， 所以， 即 ， 数列是首项为，公比为的等比数列， 故
14、数列的通项公式为.(2)，由 (1)，得当为偶数时，当为奇数时， ， 设数列的前项中奇数项的和为，所以，设数列的前项中偶数项的和为， ，由两，得，整理得故，. 不等式对一切恒成立, 即不等式对一切恒成立,在上是单调增所以，易知在上为递增数列， 当为偶数时，当为奇数时, ， 解得，所以的取值范围为.19（2022天津高三专题练习）设数列的前项和(1)求数列的通项公式；(2)若求的前项和取最小值时的值；(3)证明：【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【分析】（1）利用递推关系，当时，两式相减得，再用构造法得：，即可求出的通项公式；（2）先求出的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.（3）对进行
15、放缩得：，再求的前项和即可证明此题.因为， 时，时，-得，所以，所以数列是为首项，为公比的等比数列，故(2)，所以，于是当时，；当时，.所以当或时，取最小值.(3)故20（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的首项，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）分析数列的单调性，确定的符号，由此可求得的最小值.(1)解：因为，则，且，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.(2)解：由（1）知，则.所以，所以，故数列为递增数列，故当时，；当时，.所以，的最小值为.21（2
16、022辽宁实验中学模拟预测）已知数列的前n项和为，满足：(1)求证：数列为等差数列；(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用关系可得，即有，将两式相减并整理有，即可证结论.（2）由（1）结论及题设可得，令、，应用作差法比较它们的大小，即可确定的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围(1)由题设，则，所以，整理得，则，所以，即，所以，故数列为等差数列，得证.(2)由，可得，又，结合（1）结论知：公差，所以，故，则，所以，且，所以，即，所以，在且上递减，则，要使对任意恒成立，即，所以.题型二：不等法求数列最值
17、一、单选题1（2022河南高三阶段练习（理）已知曲线在点处的切线为l，数列的首项为1，点为切线l上一点，则数列中的最小项为（）ABCD【答案】C【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则，从而求出的通项公式，再构造不等式组求出数列中的最小项；【详解】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率.所以切线l的方程为.所以.所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.所以.所以由，解得.因为，所以.所以数列中的最小项为.故选：C.2（2021辽宁建平县实验中学高三阶段练习）已知数列满足，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】根据题意，令，进而证明数
18、列是以为首项，为公差的等差数列，故可得，在结合题意将问题转化为，再求数列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.【详解】，令，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，即，存在，使得成立，令得则，或，即，解得，实数的取值范围是故选：D3（2021浙江高三期中）已知数列满足，则（）ABCD【答案】B【分析】由题意化简可得，根据，利用累加法可得；根据，利用累加法计算化简可得，进而得出，令计算即可.【详解】解：显然，对任意，化简可得，所以，则，累加可得，所以又，所以，则，注意到，所以，则，所以综上当时，即.故选：B4（2020江西鹰潭一中高三期中（文）数列通项公式为：，则中的最大项为（）A第1项B第10
19、10项C第1011项D第1012项【答案】B【分析】数列的通项公式为，所以由得，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列的通项公式为，所以由，即且，解得，故最大项为第1010项，故选：B二、多选题5（2022全国高三专题练习）在数列an中，an(n1) n，则数列an中的最大项可以是（）A第6项B第7项C第8项D第9项【答案】AB【分析】假设an最大，则有解不等式组，可求出的范围，从而可得答案【详解】假设an最大，则有即且，所以，即6n7，所以最大项为第6项和第7项故选：AB6（2022全国高三专题练习）已知数列满足，下列命题正确的有（）A当时，数列为递减数列B当时，数列一定有最大项C当时，数列
20、为递减数列D当为正整数时，数列必有两项相等的最大项【答案】BCD【分析】分别代入和计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；按k的范围分类，可判断D；【详解】当时，知A错误；当时，当，所以可判断一定有最大项，B正确；当时，所以数列为递减数列，C正确；当为正整数时，当时，当时，令，解得，则，当时，结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；故选：BCD.7（2020河北沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，著不等式对任意的恒成立，则下列结论正确的为（）ABC的最大值为D的最小值为【答案】ABC【分析】先用两式相减的方法消去，求出，判断A选项；再代入已知求出，判断B选项；然后将恒
21、成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C，D选项.【详解】依题意得当时，由于，解得；当时，因此有：；整理得：，所以数列是以为首项，公差的等差数列，因此，故A正确；，故B正确；由得：，令，则取2时，取最小值，所以当为偶数时，当为奇数时，故C正确，D错误.所以A、B、C正确；D错误.故选：ABC【点睛】知识点点睛：（1）已知求，利用前项和与通项公式的关系，此时一定要注意分类讨论.（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意只能取正整数.三、填空题8（2022安徽亳州高三期末（理）已知数列满足，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
22、_.【答案】【分析】分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，由参变量分离法可得出，利用数列的单调性求得数列的最大项的值，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】当时，在等式两边同时除以可得且，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，因为对任意恒成立，即，令，则.当时，即；当时， ，即.故数列中的最大项为，解得.故答案为：.9（2021湖北高三阶段练习）已知数列的首项，其前项和为，且满足，则当取得最小值时，_.【答案】5【分析】首先根据得到，令得到，从而得到，再求当取得最小值时的值即可.【详解】由题意，可得，.令，则，即是常数列，所以，故.当时，；当时，.故当
23、时，取得最小值.故答案为：5四、解答题10（2022全国模拟预测（理）已知数列满足，且(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，有，两式作商求得，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求得，进而求得，再根据的单调性，即可求解.(1)解：数列满足，且，当时，有，两式作商，可得，又由，得.(2)解：当时，当时，所以对任意的，均有，则，可得，两式相减可得，求得，由，可得，令，则，因为，所以，即随着增大，减小，所以11（2022全国高三专题练习）数列满足，(1)求的值；(2)求数列前项和；(3)令，证明
24、：数列的前项和满足【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】(1)根据已知条件，分别取n1，2，3即可依次算出；(2)用作差法求出的通项公式，再求其前n项和；(3)求，猜想，用数学归纳法证明；用导数证明，令，得，用这个不等式对放缩即可得证.(1)依题，；(2)依题当时，又也适合此式，数列是首项为1，公比为的等比数列，故；(3)，猜想：下面用数学归纳法证明：(i)当n1，2时，已证明成立；(ii)假设当时，成立，即.从而.故成立.先证不等式令，则.，即成立.在中令，得到当时，；当时，由及得： .证明完毕.【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想，并用数学归纳法证明；根据结论构造不等式，
25、令，得，然后用这个不等式对放缩.12（2022全国高三专题练习（文）已知数列是递增的等比数列，且，(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值【答案】(1)；(2)5.【分析】（1）由已知条件求得，利用等比数列通项公式列方程组求基本量，写出等比数列通项公式即可.（2）由（1）得，根据等差数列前n项和公式求，由求的范围，即可确定正整数的最小值(1)设等比数列的公比为，首项为，又，且是递增的等比数列，则，解得，；(2)设，由（1）知：， ， 由，得：，解得或，使成立的正整数的最小值为513（2022全国高三专题练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，.（1）求，的的值；
26、（2）求数列的通项公式；（3）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）在已知等式中，令n=1求得a1,令n=2求得a2,令n=3,求得a3;（2）根据一般数列和与项的关系，利用作差法消去和，得到项的递推关系，分解因式化简得到数列是公差为2的等差数列，进而求得通项公式；（3）令，利用作差法研究其单调性，求得最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围.【详解】解：（1）令得，故令得，又，故，令，得，又，故；（2），当时相减整理得，数列是公差为2的等差数列，故；（3）由恒成立，令，n = 1时为正，n 2时为负.的最大值为，故实数的取值范围是.14（20
27、21江西赣州市赣县第三中学高二开学考试（理）已知数列的前项和，在等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）求数列的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可通过得出，然后根据得出，最后根据等比数列定义即可得出结果；（2）本题可设等差数列的公差为，根据得出，然后根据得出、，再然后得出，最后将其分为、三种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）当时，即，当时，解得，则数列是首项为、公比为的等比数列，.（2）设等差数列的公差为，则即，因为，所以，则，当时，；当时，；当时，故当或时，最大，.15（2022全国高三专题练习（文）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，
28、若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得当时与已知条件两式相减，即可得，再检验是否满足即可.（2）由等差数列前项和公式求出，由不等式分离出，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）因为，所以两式相减可得：所以，当时，满足，所以，（2），由可得：，所以，令，只需.，当且仅当即时等号成立，此时，所以，所以实数的取值范围为.16（2021河南洛阳三模（理）已知数列的前项和为，且对任意的，都满足，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最小项的值【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由递推公式，结合等比数列的定义进行求解即可；（2）利用商比法判断数列的单调性进行求解即可.【详解】解：（1），当时，两式相减，得：又，是以2为公比，2为首项的等比数列，（2），易于知，当时，当时，又，当时，有最小值