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1、重难点04五种平面向量数学思想（核心考点讲与练）能力拓展题型一：函数与方程思想一、单选题1（2022浙江高三专题练习）已知在中，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（）ABCD2（2020陕西省洛南中学高三阶段练习（文）已知向量，向量且，则的坐标为 （ ）ABCD3（2020广东珠海高三阶段练习）已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是（）AB2CD4（2022全国高三专题练习）已知平行四边形中，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（）ABCD5（2020全国高三（文）已知向量，且，则等于（）A4B3C2D1二、多选题6（2020广东高三专
2、题练习）已知不共线的两个单位向量，若向量与的夹角为锐角，则符合上述条件的值可以是（）ABCD三、双空题7（2020全国高三专题练习（文）已知向量、的夹角为，且，则_，在方向上的投影等于_.8（2019浙江杭州高三阶段练习）若向量，满足，则的最小值为_，最大值为_四、填空题9（2022浙江高三专题练习）中，且对于，最小值为，则_.10（2020浙江高三专题练习）如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为_.11（2020江苏高三专题练习）如图，在平面四边形中，点在线段上，且，若，则的值为_.题型二：数形结合思想一、单选题1（2022四川眉山三模（理）下如图是世界
3、最高桥贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，.根据物理学知识得，则（）A28mB20mC31mD22m2（2021河南省杞县高中高三阶段练习（理）若点是所在平面内一点，且满足，则（）ABCD二、多选题3（2022全国高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个
4、半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（）A在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；B当时，直线与白色部分有公共点；C黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；D若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.4（2021河北石家庄一中高三阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的有（）ABCD向量在向量上的投影向量为5（2022全国高三专题练习）已知四边形和四边形为正方形，则下列说法正确的是（）ABCD6（2022山东高三开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b
5、、c，则下列说法正确的是（）AB若，则CD若，且，则为等边三角形三、填空题7（2022浙江绍兴模拟预测）已知单位向量，向量满足方程，且，则的最小值为_.8（2022浙江绍兴模拟预测）已知平面向量（互不相等），与的夹角为，若，则_9（2022浙江慈溪中学模拟预测）已知平面向量满足，若，且，则的最小值为_.10（2022湖南长郡中学一模）在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是上一点，则的取值范围为_11（2022四川达州二模（理）如图，在梯形中，则_.12（2022陕西西安中学高三阶段练习（理）在中，若O为外接圆的圆心，则的值为_13（2022浙江
6、浙江高三阶段练习）已知平面向量满足，若，则的取值范围为_.题型三：分类与整合思想一、单选题1（2022全国高三专题练习）已知向量，则的最大值为（）AB2CD12（2020全国高三专题练习（文）正项等比数列，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（2022全国高三专题练习）已知四边形中，点在四边形上运动，则的最小值是（）ABCD4（2022全国高三专题练习）在直角梯形中，为线段（含端点）上的一个动点.设，对于函数，下列描述正确的是（）A的最大值和无关B的最小值和无关C的值域和无关D在其定义域上的单调性和无关二、解答题5（2021全国高三专题练习）已知，
7、求为等腰直角三角形的充要条件.题型四：转化与划归思想一、单选题1（2022广西高三阶段练习（文）在平面直角坐标系中，是直线与曲线在第一象限的交点，是直线上的一点，且满足.为曲线上动点，当取最小值时，的横坐标为（）ABCD2（2022陕西西北工业大学附属中学高三阶段练习（理）已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（）ABCD二、多选题3（2022全国高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心；B若，则点为的内心；C若，则点为的外心；D若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心.4（2020河北武强中学高三阶段练习）在中，若是直角三角形，则k的值可
8、以是（）ABCD三、填空题5（2022全国高三专题练习）若向量，且，则的最小值为_6（2022全国高三专题练习）已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为_.四、解答题7（2022全国高三专题练习）求函数的最小值，以及y取最小值时的x的值.设想，把原函数改为，能够形成怎样的问题？如何求解？8（2021全国高三专题练习）已知O是内一点，且，求与的面积的比值.9（2021全国高三专题练习）求函数的最小值.题型五：特殊与一般思想一、单选题1（2022全国高三专题练习（文）半径为1的扇形AOB中，AOB=120，C为弧上的动点，已知，记，则（）A若m+n=3，则M的最小值为3B若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值C若mn=3，则M的最小值为3D若mn=3，则有唯一C点使M取最小值2（2020全国高三专题练习（文）已知向量，满足0，若与的夹角为，则m的值为（）A2BC1D3（2021湖南攸县第三中学高三阶段练习）已知平面向量，若，则（）ABC1D二、多选题4（2022全国高三专题练习）如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，则（）ABCD三、填空题5（2021河南一模（文）已知单位向量，的夹角是，向量，若，则实数_.