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1、考点十四 导数与函数的极值、最值知识梳理1函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点极大值与极小值统称为函数的极值极大值点与极小值点统称为极值点注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y0，但x0不是极值点2判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f
2、(x)在点x0处连续时，若x0满足f(x0 )0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x) ； (2)求方程f(x) 0的根；(3)检查f(x)在x0两侧的符号若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点4函数的最值在闭区间a，b上连续的函数f
3、(x)在a，b上必有最大值与最小值(1)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(2)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值5函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间
4、上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值典例剖析题型一 利用导数求函数的极值例1已知函数f(x).求f(x)的极大值和极小值解析 函数f(x)的定义域为R，f(x)，当x变化时，f(x)、f(x)的符号变化情况如下：xx0x00x1x11x4f(x)000f(x)极大值极小值极大值f(x)的极大值为f(0)0和f(4)，f(x)的极小值为f(1).变式训练 设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解析对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x
5、1，x2.结合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|0a1题型二 利用极值求参数例2设f(x)ln(1x)xax2，若f(x)在x1处取得极值，则a的值为_答案 解析 由题意知，f(x)的定义域为(1，)，且f(x)2ax1，由题意得：f(1)0，则2a2a10，得a，又当a时，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a.变式训练
6、已知x3是函数f(x)aln xx210x的一个极值点，则实数a_答案12解析f(x)2x10，由f(3)6100，得a12，经检验满足条件题型三 利用导数求函数的最值例3设函数f(x)xax2blnx，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)f(x)2x2，求g(x)在定义域上的最值答案 (1)a1，b3(2)最大值为0，无最小值解析 (1)f(x)12ax(x0)，又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，即解得a1，b3.(2)由(1)知，f(x)xx23lnx，其定义域为(0，)，g(x)2xx23lnx，x0.则g(x)
7、12x.当0x0；当x1时，g(x)0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解析(1)f(x)a (x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln
8、2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a.解题要点 求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值当堂练习1已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x) _. 在(，0)上为减函数 在x0处取极小值 在(4，)上为减函数 在x2处取极大值答案 解析 由f(x)的图象可知，f(x)在(，0)
9、上单调递增，在(0,2)上单调递减，f(x)在x0处取得极大值，同理f(x)在x2处取得极小值，故，均不正确 ，由f(x)的图象可知f(x)在(4，)上单调递减2函数f(x)(x21)22的极值点是_.x1x1 x1或1或0 x0答案解析f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1.又当x1时，f(x)0，当1x0，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都是f(x)的极值点3. 若函数yax3bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则a与b 的关系是_. 答案a2b0解析y3ax22bx，据题意，0，是方程3ax22bx0的两根，a2b
10、0.4函数f(x)，x0,4的最大值是_.答案5若函数f(x)在x1处取极值，则a_.答案3解析f(x)，由f(x)在x1处取得极值知f(1)0，a3.课后作业一、 填空题1函数f(x)x23x4在0，2上的最小值是_答案 解析 f(x)x22x3，令f(x)0，得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0，2上的最小值是f(1).2函数f(x)x3x26x的极值点的个数是_答案 2解析 f(x)3x23x63(x2x2)3(x2)(x1)令f(x)0，得x1或x2.易知x1为f(x)的极大值点，x2为f(x)的极小值点故f(x)的极值点有2个3函数f(x)12xx3在
11、区间3,3上的最小值是_答案 16解析 由f(x)123x20，得x2或x2.又f(3)9，f(2)16，f(2)16，f(3)9，函数f(x)在3,3上的最小值为16.4f(x)exx(e为自然对数的底数)在区间1,1上的最大值是_答案e1解析f(x)ex1，令f(x)0，得x0.令f(x)0，得x0，令f(x)0，得x0，则函数f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(1)e11，f(1)e1，f(1)f(1)2e2ef(1).5若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_答案 3百万件解析 依题意得，
12、y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.因此，当x3时，该商品的年利润最大6已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为_答案解析 由题意知，f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即，解得或，经检验满足题意，故.7设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_(填序号)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案解析 由题图可知，当x0；当
13、2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值8已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是_答案37解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减x0为极大值点，也为最大值点f(0)m3，m3.f(2)37，f(2)5.最小值是37.9函数f(x)x3+ x2x+2在0,2上的最小值是_答案 解析 f(x)3x3+2x1，f(x)0，x0,2，得x.比较f(0)2，f()，f(2)12.可知最小值为.10某商场从生产厂家以每件
14、20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_答案 3023 000解析 设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)Q(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，p30或p130(舍去)，则p，y，y变化关系如下表：当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在(20，)上只有一个极值，故也是最值该商品零售价定为每件30
15、元，所获利润最大为23 000元11若yalnxbx2x在x1和x2处有极值，则a_，b_.答案解析y2bx1.由已知解得二、解答题12 （2015北京文节选）设函数f(x)kln x，k0.求f(x)的单调区间和极值解析 函数的定义域为(0，)由f(x)kln x(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().13设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c.则当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9，因此c的取值范围为(，1)(9，)