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1、专题06 利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用-临考冲刺2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略专题06 利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用目录类型一：求函数的极值或极值点1类型二：利用极值或极值点求参数的值3类型三：利用导数求最值的应用4类型一：求函数的极值或极值点典型例题（2023春江西宜春高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数f(x)=lnx+1x极值点为 _【答案】x=1试题分析：先求导数，利用导数值为零可得答案.详细解答：因为f(x)=lnx+1x，所以f(x)=1x-1x2=x-1x2，当x1,+时，f(x)0，f(x)为增函数，当x0,1时，f(x)0，不等式fx2x
2、恒成立；sin7+sin6727.其中正确的命题有_.（将正确的序号都写上，多写漏写均不得分）8（2023春江西宜春高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数f(x)=lnx+1x极值点为 _类型二：利用极值或极值点求参数的值典型例题：（2023广西柳州柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数fx=19x3+x2-2ax+1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_【答案】76,83试题分析：根据导数与极值的关系求解即可.详细解答： 因为fx=19x3+x2-2ax+1，所以fx=13x2+2x-2a，fx=13x2+2x-2a为二次函数，且对称轴为x0=-3，所以函数fx=13x2+
3、2x-2a在-3,+单调递增，则函数fx=13x2+2x-2a在(1,2)单调递增，因为函数f(x)在(1,2)上有极值，所以fx=0在(1,2)有解，根据零点的存在性定理可知f10，即73-2a0，解得76a0，fx向右平移3个单位长度后的图像与原函数图像重合，fx的极大值与极小值的差大于15，则a的最小值为（）A6B12C7D1412（2023山西统考二模）已知f(x)=ax3+3bx+b2在x=-1处取得极大值3，则下列结论正确的是（）Aab=-1Bab=-9Cf(1)=-3Df(0)=113（2023广西柳州柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数fx=19x3+x2-2ax+1，若函数f
4、(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_14（2023辽宁抚顺统考模拟预测）已知函数f(x)=3sinx+4cosx，且对任意实数x都有f(x)=f(2-x)(R)，则sin2的值为_15（2023吉林延边统考二模）若函数fx=xx-c2在x=3处有极小值，则c的值为_16（2023四川成都统考模拟预测）函数fx=sinx+30在0,1上有唯一的极大值，则的取值范围是_.17（2022云南玉溪玉溪市民族中学校考模拟预测）若函数f(x)=(x+2)2(x-a)的极小值小于0，则实数a的取值范围为_18（2023山西朔州怀仁市第一中学校校考二模）已知函数fx=lnx+ax(1)讨论函数f
5、x的单调性；(2)令gx=fx+lnx2-lnx-x,若x0是函数gx的一个极值点,且gx0=-2,求实数a的值19（2023全国校联考二模）已知函数fx=x-a-1ex-12ax2+a2x.(1)当a=0时，求函数fx的单调区间；(2)若fx在-,0上只有一个极值，且该极值小于-ea-1，求实数a的取值范围.20（2021陕西榆林校考模拟预测）已知函数fx=ax3+bx2在x=1时取得极大值3.(1)求a，b的值；(2)求曲线y=fx在点-1,f-1处的切线方程.类型三：利用导数求最值的应用典型例题：（2023贵州黔东南凯里一中校考三模）某圆锥的母线长为10cm，当其体积最大时，圆锥的高为_
6、cm【答案】1033试题分析：设圆锥的高为h，则底面圆的半径r=100-h2，表示出圆锥的体积Vh，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极大值点，即可得解.详细解答：设圆锥的高为h，则底面圆的半径r=100-h2，所以圆锥的体积为Vh=3-h3+100h，则Vh=3-3h2+100，当0h0，Vh单调递增，当h1033时Vh0，Vh单调递减，所以当h=1033cm时Vh取得极大值即最大值，即当h=1033cm时漏斗的体积最大故答案为：1033题型专练：21（2023安徽宣城统考二模）已知圆锥的底面半径为3cm，高为33cm，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位：
7、cm2）为（）A19B21C35D3622（2023河南周口统考模拟预测）已知圆台O1O2的母线长为23，O1，O2分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为r1，r2，且r2=2r1，则当该圆台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A180B208C220D22823（2023河南郑州一中校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=23，点E，F分别在AD，CD上，且EF/AC，将DEF沿EF折到DEF的位置，则当五棱锥D-ABCFE的体积最大时，三棱锥D-DEF外接球的表面积为（）A4B409C143D524（2023安徽黄山统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD
8、剪去四个全等的等腰三角形PEE1，PFF1,PGG1,PHH1，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥P-EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1重合，H与H1重合，点A,B,C,D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH体积的最大值为（）A32103B64103C128103D25610325（2023贵州黔东南凯里一中校考三模）某圆锥的母线长为10cm，当其体积最大时，圆锥的高为_cm26（2023广东茂名统考二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足ACMN，且AC长度为3百米，为便于游
9、客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为_百米.27（2023陕西西安校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为_28（2023北京海淀统考一模）在ABC中，ACB=90，AC=BC=2，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将BEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱
10、锥P-ACFE如图所示给出下列四个结论：AC/平面PEF；PEC不可能为等腰三角形；存在点E，P，使得PDAE；当四棱锥P-ACFE的体积最大时，AE=2其中所有正确结论的序号是_29（2023新疆乌鲁木齐统考二模）晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为23，则当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时，原子A的半径为_30（2023河南安阳统考二模）2022年12月7日为该年第21个节气“
11、大雪”“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，当削去的雪最少时，平面ACE1截该正六棱柱所得的截面周长为_分米31（2023全国校联考模拟预测）在直角坐标系xOy中，矩形的四个顶点都在椭圆C:y24+x23=1上，将该矩形绕y轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为_32（2023吉林通化梅河口市第五中学校考二模）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余
12、弦值为_时，圆锥的体积最大，最大值为_33（2023河北张家口统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成22列联表，并依据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备有关联？单位：箱是否有不合格品设备无不合格品有不合格品合计新旧合计(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是
13、否对余下的所有口罩做检验设每个口罩为不合格品的概率都为p0p0，f(x)为增函数，当x0,1时，f(x)0，f(x)为减函数；所以x=1是函数的极小值点.故答案为：x=1.题型专练：1（2023贵州黔东南凯里一中校考三模）已知函数fx=-xex，函数y=x-2f-x的图象大致是（）ABCD【答案】B【分析】令y=0，可排除AC，求导，再根据函数的单调性和极值点可排除D，即可得解.【详解】y=x-2f-x=xx-2ex，令y=0得x=0或x=2，故函数y=xx-2ex有两个零点0，2，故A、C错误；又因为y=x2-2ex，当x2时，y=x2-2ex0，当-2x2时，y=x2-2ex0，解得x2；
14、令fx0，解得x0，所以hx在0,+上单调递增，又h1=-g1=-ef1=0，所以当x0,1时，hx0，fx0，fx0，fx单调递增，所以fx的极小值为f1=0，无极大值，故选：D.4（2023广西南宁统考二模）已知函数fx=alnx-bx的极值点为1，且f2=1，则fx的极小值为（）A-1B-aCbD4【答案】D【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解a,b，再求函数的极小值.【详解】fx=ax+bx2=ax+bx2，f1=0，f2=1，所以a+b=02a+b4=1，解得：a=4，b=-4，fx=4lnx+4x所以fx=4x-4x2，得x=1，x0,1时，fx0，所以x=1是函数的极
15、小值点，f1=4.故选：D5（2023春贵州铜仁高二校考阶段练习）已知函数fxx-3,5的导函数为fx，若fx的图象如图所示，则下列说法正确的是（）Afx在-2,1上单调递增Bfx在-12,83上单调递减Cfx在x=-2处取得极小值Dfx在x=1处取得极大值【答案】ACD【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.【详解】当fx0时，fx单调递增，由图可知x-2,1时，fx0，fx单调递增，故A正确；当x-12,1时，fx0，fx单调递增；当x1,83时，fx0，fx单调递减，故B错误；当x-3,-2时，fx0，fx单调递增，所以fx在x=-2处取得极小值，故C正确；当x-2,1时，fx
16、0，fx单调递增；当x1,133时，fx0，gx单调递增；当xe2-a2,+时，gx0，at-1lnt；设G(t)=at-1-lnt，则G(t)0，G(t)=a-1t，当a0时，G(t)1时，G(t)0时，G(t)=at-1t，t0,1a时，G(t)0，G(t)为增函数；G(t)G(1a)=1-a+lna0；设a=lna-a+1，则a=1a-1=1-aa，当a1时，a0，a为减函数；当0a0，a为增函数；a1=0，只有当a=1时，G(t)0才能成立，a=1，故C正确；对于D，由C知，t=x2ex，x0，t=exx2+2x0，t=x2ex x0为增函数；当a1时，a=G1a0，即此时Gt有两个零
17、点，t=x2ex x0为增函数，t0=0，此时hx=fx-gx有两个零点.同理可得，当0a0，不等式fx2x恒成立；sin7+sin670，并利用导数证明h(x)=fx-2x0，则h(x)=fx-2=cosx-10则h(x)=fx-2x在(0,+)单调递减，又h(0)=f0-20=0，则h(x)=fx-2x0，不等式fx2x恒成立，判断正确；由fx=1+cosx0，可得fx=x+sinx在R上单调递增，则f67f87，即67+sin6787+sin87=87-sin7则sin7+sin670，f(x)为增函数，当x0,1时，f(x)0，f(x)为减函数；所以x=1是函数的极小值点.故答案为：x
18、=1.类型二：利用极值或极值点求参数的值典型例题：（2023广西柳州柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数fx=19x3+x2-2ax+1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_【答案】76,83试题分析：根据导数与极值的关系求解即可.详细解答： 因为fx=19x3+x2-2ax+1，所以fx=13x2+2x-2a，fx=13x2+2x-2a为二次函数，且对称轴为x0=-3，所以函数fx=13x2+2x-2a在-3,+单调递增，则函数fx=13x2+2x-2a在(1,2)单调递增，因为函数f(x)在(1,2)上有极值，所以fx=0在(1,2)有解，根据零点的存在性定理可知f1
19、0，即73-2a0，解得76a0，解得x1，令fx1，fx在-,1上单调递增，在1,+上单调递减，fx在x=1处取得极大值f1=1e，gx=1-lnxx2，令gxe，令gx0，解得0xe，gx在0,e上单调递增，在e,+上单调递减，gx在x=e处取得极大值ge=1e+b，依据题意，fx和gx有相同的极大值，故f1=ge，解得b=0.故选：A10（2022河南模拟预测）当x=1时，函数f(x)=alnx+b+1x取得极小值4，则a+b=（）A7B8C9D10【答案】A【分析】求导得到f(x)=ax-b+1x2，计算f(1)=0，且f(1)=4，解得答案.【详解】f(x)=alnx+b+1x，f(
20、x)=ax-b+1x2，根据题意有f(1)=a-b+1=0，且f(1)=b+1=4，解得a=4，b=3，a+b=7.此时f(x)=4x-4x2=4x-1x2，x0,+，当x0,1时，f(x)0，函数单调递增.函数在x=1处取极小值，满足.故选：A11（2022陕西咸阳武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数fx=asinax，a0，fx向右平移3个单位长度后的图像与原函数图像重合，fx的极大值与极小值的差大于15，则a的最小值为（）A6B12C7D14【答案】B【分析】利用正弦函数平移要想重合，则平移的单位为其周期的正整数倍，结合极值相差大于15，则得到关于限制条件，最终得到a的最值.【详解】
21、函数f(x)=asin(ax),a0,f(x)向右平移3个单位后,可得y=asinax-a3的图象与原函数图象重合,故3正好是周期的正整数倍,n2a=3,nN*，即a=6n，nN*f(x)的极大值与极小值的差为2a大于15，即2a15a7.5，则当n=2时，a的最小值为12，故选：B.12（2023山西统考二模）已知f(x)=ax3+3bx+b2在x=-1处取得极大值3，则下列结论正确的是（）Aab=-1Bab=-9Cf(1)=-3Df(0)=1【答案】AD【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得f(-1)=0，即可知a=-b，再根据极大值为3可解得b=-1或b=3；易知当b=3时，f(x)
22、在x=-1处取得极小值，与题意不符，当b=-1时，函数f(x)在x=-1处取得极大值，符合题意，可得a=1，b=-1，即f(x)=x3-3x+1，即可判断出结论.【详解】由题意可得f(x)=3ax2+3b，且x=-1是函数f(x)的极大值点，即f(-1)=3a+3b=0，可得a=-b，又极大值为3，所以f(-1)=-a-3b+b2=3，解得b=-1或b=3；当b=3时，a=-3，此时f(x)=-9x-1x+1，x-1,1时，f(x)0，x-,-1时，f(x)0所以函数f(x)在-,-1上单调递减，在-1,1上单调递增；此时函数f(x)在x=-1处取得极小值，与题意不符，即b=3舍去；当b=-1
23、时，a=1，此时f(x)=3x-1x+1，x-1,1时，f(x)0，所以函数f(x)在-,-1上单调递增，在-1,1上单调递减；此时函数f(x)在x=-1处取得极大值，符合题意，所以a=1，b=-1，即ab=-1，所以A正确，B错误；此时f(x)=x3-3x+1，所以f(1)=-1，f(0)=1，即C错误，D正确.故选：AD13（2023广西柳州柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数fx=19x3+x2-2ax+1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_【答案】76,83【分析】根据导数与极值的关系求解即可.【详解】因为fx=19x3+x2-2ax+1，所以fx=13x2+2
24、x-2a，fx=13x2+2x-2a为二次函数，且对称轴为x0=-3，所以函数fx=13x2+2x-2a在-3,+单调递增，则函数fx=13x2+2x-2a在(1,2)单调递增，因为函数f(x)在(1,2)上有极值，所以fx=0在(1,2)有解，根据零点的存在性定理可知f10，即73-2a0，解得76a3时，fx0，1x3时，fx0，所以函数fx在x=3处取得极小值；当c=9时，fx=x-93x-9，所以3x9时，fx0，x0，所以函数fx在x=3处取得极大值，不合题意，舍去， 故答案为：3.16（2023四川成都统考模拟预测）函数fx=sinx+30在0,1上有唯一的极大值，则的取值范围是_
25、.【答案】6,136【分析】由题知函数y=sint在3,+3上有唯一极大值，进而得+32+352，再解不等式即可得答案.【详解】解：当x0,1时，t=x+33,+3，因为函数fx=sinx+30在0,1上有唯一的极大值，所以函数y=sint在3,+3上有唯一极大值，所以，+32+352，解得6,136.故答案为：6,136.17（2022云南玉溪玉溪市民族中学校考模拟预测）若函数f(x)=(x+2)2(x-a)的极小值小于0，则实数a的取值范围为_【答案】(-2,+)【分析】根据导数的性质，结合函数的导函数的零点的大小关系、极小值的定义分类讨论进行求解即可.【详解】由f(x)=(x+2)2(x
26、-a)f(x)=2(x+2)(x-a)+(x+2)2=3(x+2)(x-2a-23)，当2a-23=-2时，即a=-2时，f(x)=2(x+2)(x-a)+(x+2)2=3(x+2)20，所以函数f(x)是实数集上的增函数，故没有极小值；当2a-23-2时，即a-2时，当x(-,-2)时，f(x)0,f(x)单调递增，当x(-2,2a-23)时，f(x)0,f(x)单调递增，所以-2是极大值点，2a-23是极小值点，由题意可知：f(2a-23)0(2a-23+2)2(2a-23-a)-2， 而a-2，所以a-2；当2a-23-2时，即a0,f(x)单调递增，当x(2a-23,-2)时，f(x)
27、0,f(x)单调递增，所以2-2a3是极大值点，-2是极小值点，f(-2)=(-2+2)2(-2-a)=0，不符合题意，综上所述：实数a的取值范围为(-2,+)，故答案为：(-2,+)【点睛】关键点睛：根据导函数零点的大小分类讨论是解题的关键.18（2023山西朔州怀仁市第一中学校校考二模）已知函数fx=lnx+ax(1)讨论函数fx的单调性；(2)令gx=fx+lnx2-lnx-x,若x0是函数gx的一个极值点,且gx0=-2,求实数a的值【答案】(1)答案见解析(2)-1【分析】(1)对fx求导,讨论a0和a0时导函数的正负,即可得出函数fx的单调性；(2)由题意可得lnx02+2lnx0
28、-2x0+2=0,令tx=lnx2+2lnx-2x+2,对tx求导,得出tx在区间(0,+)上单调递减,注意到t1=0,所以方程有唯一解x0=1,求解即可得出答案【详解】（1）函数fx的定义域为(0,+),fx=1x-ax2=x-ax2 当a0时,fx0,函数fx单调递增；当a0时,令fx0,可得xa,令fx0,可得0xa,此时函数fx的增区间为(a,+),减区间为(0,a)；（2）由题意可得gx=2xlnx-a-x2x2，则gx0=0,即2x0lnx0-a-x02=0,由gx0=-2,可得x0lnx02-x02+2x0+a=0,联立,消去a,可得lnx02+2lnx0-2x0+2=0,令tx
29、=lnx2+2lnx-2x+2,则tx=2lnxx+2x-2=2lnx+1-xx,h(x)=lnx+1-x,则h(x)=1-xx,由h(x)=0,可得x1,x(0,1)1(1,+)h(x)0h(x)递增极大值递减h(x)h(1)=0,lnx+1-x0,故t(x)0,tx在区间(0,+)上单调递减,注意到t1=0,所以方程有唯一解x0=1,代入,可得a=-1,x0=1,a=-119（2023全国校联考二模）已知函数fx=x-a-1ex-12ax2+a2x.(1)当a=0时，求函数fx的单调区间；(2)若fx在-,0上只有一个极值，且该极值小于-ea-1，求实数a的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为0,+；单调递减区间为-,0(2)-,-32【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调