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1、 考点六 二次函数与函数的最值 知识梳理 1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象 定义域(，)(，)值域 4acb24a，4acb24a 单调性 在 x，b2a上单调递减；在 xb2a，上单调递增 在 x，b2a上单调递增；在 xb2a，上单调递减 对称性 函数的图象关于 xb2a对称(3)二次函数对称轴的几种给出形式 二次函数 f(x)的顶点坐标为(a,b)，则对称轴为 x=
2、a；二次函数 f(x)满足对任意 x 总有 f(x)=f(a)，则对称轴为 x；二次函数 f(x)满足对任意 x 总有 f(a+x)=f(a)，则对称轴为 xa；二次函数 f(x)满足对任意 x 总有 f(a+x)=f(b)，则对称轴为 x.2函数的最值 前提 函数 yf(x)的定义域为 D 条件(1)存在 x0D，使得 f(x0)M；(2)对于任意 xD，都有 f(x)M.(1)存在 x0D，使得 f(x0)M；(2)对于任意 xD，都有 f(x)M.结论 M 为最大值 M 为最小值 说明：闭区间上的二次函数必有最值.求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间
3、动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 典例剖析 题型一 二次函数的解析式 例 1 二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式为_ 答案 f(x)12(x2)21 解析 依题意可设 f(x)a(x2)21，又其图象过点(0，1)，4a11，a12.f(x)12(x2)21.变式训练 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，求 f(x)的解析式 答案 f(x)
4、x24x3 解析 f(2x)f(2x)对 xR 恒成立，f(x)的对称轴为 x2.又f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2，f(x)0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)，即 f(x)x24x3.解题要点 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与 x 轴两交点坐标，宜选用零点式 题型二 二次函数的图
5、象和性质 例 2 两个二次函数 f(x)ax2bxc 与 g(x)bx2axc 的图象可能是_(填序号)答案 解析 函数 f(x)图象的对称轴为 xb2a，函数 g(x)图象的对称轴为 xa2b，显然b2a与a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在 y 轴的同侧只有满足 变式训练 如果函数 f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线 x1 对称，则函数 f(x)的最小值为_ 答案 5 解析 由题意知 a221，ab2，得 a4，b6.则 f(x)x22x6(x1)255.f(x)的最小值为 5.题型三 闭区间上二次函数最值 例 3 函数 f(x)2x22ax3 在区间1，1上最小值记为
6、 g(a)，求 g(a)的函数表达式 解析 当 a2 时，函数 f(x)的对称轴 xa22 时，函数 f(x)的对称轴 xa21，则 g(a)f(1)52a.综上所述，g(a)2a5（a2）.变式训练 设函数 yx22x，x2，a，若函数的最小值为 g(a)，求 g(a)解析 函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线 x1，当21 时，函数在2，1上单调递减，在1，a上单调递增，则当 x1 时，y 取得最小值，即 ymin1.综上，g(a)a22a，21.解题要点 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系
7、，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论 题型四 二次函数恒成立问题 例4 对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_ 答案 (4,4)解析 由题意可得 5a0，3645aa50，解得4a4.变式训练 已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，求实数 a 的取值范围 解析 2ax22x30 在1,1上恒成立 当 x0 时，适合；当 x0 时，a321x13216，因为1x(，11，)，当 x1 时，右边取最小值12，所以 a12.综上，实数 a 的取值范围是，12.解题要点 1.二次函数在 R 上恒成立的两个常见结
8、论：设 f(x)ax2bxc，则对于 xR，二次函数 f(x)0 恒成立，二次函数 f(x)f(x)恒成立，则a f(x)max，af(x)恒成立，则 a2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围 解析(1)由 f(0)1，得 c1，f(x)ax2bx1.又 f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即 2axab2x.2a2，ab0.a1，b1.因此，所求解析式为 f(x)x2x1.(2)f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在区间1，1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在区间1，1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x
9、1m 在区间1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10，得 mf(1)，则下列说法正确的是_(填序号)a0,4ab0 a0,2ab0 af(1)知 f(x)先减后增，即 a0.3函数 f(x)ax2ax1 在 R 上恒满足 f(x)0，则 a 的取值范围是_ 答案 4a0 解析 当 a0 时，f(x)1 在 R 上恒有 f(x)0；当 a0 时，f(x)在 R 上恒有 f(x)0，a0a24a0，4a0.综上可知：4a0.4如果函数 f(x)x2bxc 对任意实数 t 都有 f(2t)f(2t)，那么 f(1)、f(2)、f(4)的大小关系是_ 答案 f(2)f(1)f(4)解析
10、f(2t)f(2t)，f(x)关于 x2 对称，又开口向上 f(x)在2，)上单调递增，且 f(1)f(3)f(2)f(3)f(4)，即 f(2)f(1)f(4).5已知函数 f(x)x24xa(x0,1)，若 f(x)有最小值2，则 a 的值为_ 答案 2 解析 f(x)x24xa(x2)24a，且 x0,1，f(x)minf(0)a2，a2.6 已知二次函数 yx22ax1 在区间(2,3)内是单调函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案 a2 或 a3 解析 对称轴 a2 或 a3，函数在(2,3)内单调递增 7已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取
11、值范围为_ 答案 1，2 解析 如图，由图象可知 m 的取值范围是1，2 8已知函数 f(x)x22x2 的定义域和值域均为1，b，则 b 等于_ 答案 2 解析 函数 f(x)x22x2(x1)21 在1，b上递增，由已知条件 f11fbbb1，即 b23b20b1，解得 b2.9函数 yx22x(x2,4)的增区间为_ 答案 2,4 10函数 f(x)x23x1，x3，5的最小值为 答案 11 解析 f(x)x23x1,其对称轴为,所以函数 f(x)x23x1 在3，5上递减，所以当 x5 时，函数有最小值为11 11若函数 f(x)ax2bx6 满足条件 f(1)f(3)，则 f(2)的
12、值为_ 答案 6 解析 由 f(1)f(3)知，对称轴 xb2a1，则 b2a，所以 f(2)4a2b66.二、解答题 12已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数.解析 (1)当 a2 时，f(x)x24x3(x2)21，则函数在4,2)上为减函数，在(2,6上为增函数，所以 f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)(4)24(4)335.(2)函数 f(x)x22ax3 的对称轴为 x2a2a，所以要使 f(x)在4,6上为单调函数，只需a4 或a6，解得 a4 或 a6.1
13、3二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1.(1)求 f(x)的解析式；(2)在区间1,1上，yf(x)的图象恒在 y2xm 的图象上方，试确定实数 m 的取值范围 解析 (1)设 f(x)ax2bxc，由 f(0)1，得 c1，故 f(x)ax2bx1.f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)ax2bx2x，即 2axab2x，2a2，ab0，得 a1，b1.f(x)x2x1.(2)由题意得 x2x12xm 在1,1恒成立，即 x23x1m0 在1,1上恒成立，设 g(x)x23x1m，其对称轴为 x32，g(x)在1,1上单调递减，g(1)131m0，得 m1，故 m 的取值范围是 m1.