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1、体重为体重为P的人试图走过两端简单搁置在河两岸的木的人试图走过两端简单搁置在河两岸的木板桥。只要板内的最大弯矩超过板材所能承受的板桥。只要板内的最大弯矩超过板材所能承受的弯矩，板桥就会断裂。问：人走到何处有坠入河弯矩，板桥就会断裂。问：人走到何处有坠入河中的危险？为什么？中的危险？为什么？分析讨论分析讨论 测量双杠测量双杠外伸段的长度外伸段的长度与与总长度总长度的比，并定性讨论此的比，并定性讨论此比值的合理性。比值的合理性。测量讨论测量讨论 4 4-1 1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 4 4-2 2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化 4 4-3 3 剪力和弯矩剪力和弯矩 4 4-4 4 剪力
2、方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 4 4-5 5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系 本章重点本章重点 1、列写弯矩方程、列写弯矩方程 2、快速作梁的内力图、快速作梁的内力图 4 4-1 1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 工工 程程 实实 例例 一一 工程实例工程实例(Example problem)镗刀杆镗刀杆 工工 程程 实实 例例 车削工件车削工件 工工 程程 实实 例例 工工 程程 实实 例例 火车轮轴火车轮轴 工工 程程 实实 例例（1）弯曲变形的）弯曲变形的受力特点受力特点 外力外力（包括力偶）（包括力偶）的作用线与杆件
3、的轴线垂直；的作用线与杆件的轴线垂直；二、弯曲的基本概念二、弯曲的基本概念(Basic concepts)1.1.弯曲变形弯曲变形(Deflection)（2）弯曲变形的）弯曲变形的变形特点变形特点 轴线由直线变为曲线；轴线由直线变为曲线；2.2.梁梁 (Beam)以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件 3 平面弯曲（平面弯曲（plane bending）对称弯曲需满足那些条件？对称弯曲需满足那些条件？平面弯曲的条件平面弯曲的条件 具有纵向对称面；具有纵向对称面；外力都作用在纵向对称面内；外力都作用在纵向对称面内；梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。常见构
4、件的纵向对称面常见构件的纵向对称面 集中载荷集中载荷 分布载荷分布载荷 集中力偶集中力偶 4 4-2 2 梁的简化梁的简化 1、梁本身的简化、梁本身的简化 2、载荷的简化载荷的简化 集中载荷与均布载荷实例集中载荷与均布载荷实例 分布载荷实例分布载荷实例 力偶实例力偶实例 M力偶矩矢：力偶矩矢：轴线轴线固定铰支座固定铰支座 3、支座简化、支座简化 活动铰支座活动铰支座 支座简化支座简化 固定端固定端 支座简化支座简化 4、梁的基本形式：、梁的基本形式：简支梁简支梁 火车轮轴火车轮轴 外伸梁外伸梁 梁的基本形式：梁的基本形式：悬臂梁悬臂梁 梁的基本形式：梁的基本形式：简支梁简支梁 外伸梁外伸梁 悬
5、臂梁悬臂梁 静定梁的基本形式静定梁的基本形式 FAy FN FS M 4 4-3 3 剪力和弯矩剪力和弯矩 FAy FBy 一、弯曲变形时横截面的内力一、弯曲变形时横截面的内力 FBy M FN FS 与横截面相切的分布内力系的合力；与横截面相切的分布内力系的合力；与与横横截面垂截面垂直的分布内力系的合力偶矩。直的分布内力系的合力偶矩。FS 剪力：剪力：M 弯矩：弯矩：/A A（由（由外力外力引起）引起）（外力和外力偶都能外力和外力偶都能引起）引起）二、内力的大小二、内力的大小 FS M FAy 0yF1ASFFFyFBy M FS 0yFyB32SFFFF1、剪力大小、剪力大小=截面一侧所有
6、外力的代数和。截面一侧所有外力的代数和。内力的大小内力的大小 FS M FAy FBy M FS 2、弯矩大小、弯矩大小=截面一侧所有外力对截面一侧所有外力对 0cM)(1axFxFMAy0cM)F(M)F(M)F(MM3C2CByC欲求内力的截面形心之矩欲求内力的截面形心之矩的代数和。的代数和。FAy FS M FBy FS M 剪力对所取的剪力对所取的一段梁上任意一点一段梁上任意一点的矩为的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力剪力为正为正；二、内力的符号二、内力的符号(Sign convention for internal force)1、剪力的符号约定、剪力的符号约定(Sign con
7、vention for shear force)左上左上 实用的符号约定实用的符号约定 右下右下 的外力产生正剪力；的外力产生正剪力；使梁呈使梁呈下凸时下凸时弯矩为弯矩为正正；2、弯矩的符号约定、弯矩的符号约定(Sign convention for bending moment)m m（受压）（受压）-m m+（受拉）（受拉）M M 在所取的一段梁上在所取的一段梁上 左顺左顺 弯矩符号的实用约定弯矩符号的实用约定 FAy FS M FBy FS M 所有向上所有向上的外力的外力 产生正弯矩；产生正弯矩；右逆的右逆的 外力偶产生正弯矩；外力偶产生正弯矩；1.1.确定支反力确定支反力 FAy F
8、By 0yFFFFByAy20AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2.用截面法求内力 FS ME FFFAyS22223aFaFMAyE3F23FaFAy 内力规律发生变化的截面内力规律发生变化的截面 控制截面：控制截面：集中力作用点集中力作用点 外力偶作用面外力偶作用面 分布载荷的起点、分布载荷的起点、终点等。终点等。4m 2m 2m 2m 4KN 8KN 3KN/m P=qa a a a q 计算控制截面的剪力计算控制截面的剪力 P=20KN 1m 1m 1m 1m q=30KN/m q=30KN/m Mqa2 P=2qa q a a 计算控制截面的剪力计算控制截面的剪力 4 4
9、-4 4 剪力方程和剪力方程和弯矩方程弯矩方程、剪力图和弯矩、剪力图和弯矩 q l 写内力方程写内力方程，并作内力图并作内力图 x q x xFS xMlx 02/qx2一、内力方程：一、内力方程：任意截面处的内力表示为截面位置任意截面处的内力表示为截面位置x的函数；的函数；例例1、悬臂梁上作用均布载荷、悬臂梁上作用均布载荷 qx lxqxxFS0 lxqxxM02/2FS x M x 二、内力图二、内力图 q l ql2/2ql危险截面位置危险截面位置 18851885年，俄国人别斯帕罗夫开年，俄国人别斯帕罗夫开始使用弯矩图；始使用弯矩图；a 建立坐标系建立坐标系 b 确定控制截面确定控制截
10、面 c 作图作图 仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点 F C a b l 写内力方程写内力方程，并画内力并画内力图图 例例2、简支梁受集中载荷作用、简支梁受集中载荷作用(1 1)确定约束力确定约束力 FBY FAY 0AMF FAyAyFb/l 0BMF FByByFa/l x SAyFxF 0AyM xFxxaAC段段 FAY x x l-x FBY CB段段 SByFxF ByM xFlxaxl(2 2)写内力方程写内力方程 FS x M x AC /0SFxFb lxa/0M xFbx lxaCB /SFxFa laxl/M xFa lxlaxl(3 3).作内力图作内力图 危险截
11、面位置危险截面位置 a 建立坐标系建立坐标系 b 确定控制截面确定控制截面 c 作图作图 lFa/lFab/仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点 lFb/F FBY FAY 写内力方程时注意事项写内力方程时注意事项 3 3、x x截面处必须是任意截面；截面处必须是任意截面；4 4、x x截面处必须是截面处必须是远离控制截面；远离控制截面；5 5、写出、写出x x截面处的内力截面处的内力就是内力方程，就是内力方程，同时确定定义域。同时确定定义域。1 1、必须、必须分段分段列写；列写；2 2、各段的、各段的分界点分界点为各段梁的为各段梁的控制截面控制截面。FS x M x l ql2/2qlF
12、S x M x lFb/lFa/lFab/F C 总结总结1 1 1、简支梁的两端、简支梁的两端 悬臂梁的自由端：悬臂梁的自由端：剪力的大小剪力的大小=集中力的大小；集中力的大小；符号：符号：左上右下左上右下 如果没有外力偶矩时，如果没有外力偶矩时，M=0；弯矩大小弯矩大小 有外力偶矩时，有外力偶矩时，弯矩弯矩=外力偶矩外力偶矩 符号：符号：左顺右逆。左顺右逆。如果没有集中力如果没有集中力 剪力剪力=0 FS x M x l ql2/2ql总结总结2 2 2、有均布载荷的一段梁内、有均布载荷的一段梁内 剪力图剪力图 斜直线斜直线 曲线曲线 弯矩图弯矩图 均布载荷向上均布载荷向上 剪力图上升；剪
13、力图上升；均布载荷向上均布载荷向上 弯矩图下凸；弯矩图下凸；弯矩图上凸；弯矩图上凸；均布载荷向下均布载荷向下 下雨天撑伞下雨天撑伞 FS x M x lFb/lFa/lFab/F C 总结总结3 3 3、梁上没有均布载荷时：、梁上没有均布载荷时：剪力的图剪力的图 水平；水平；斜直线；斜直线；剪力大于零时，剪力大于零时，弯矩图弯矩图 弯矩图上升；弯矩图上升；剪力小于零时，剪力小于零时，弯矩图下降；弯矩图下降；FS x M x lFb/lFa/lFab/F C 总结总结4 4 4、集中力的作用点处、集中力的作用点处 剪力图剪力图 突变；突变；突变量突变量=集中力的大小；集中力的大小；突变的方向突变
14、的方向 顺集中力的方向顺集中力的方向 弯矩图弯矩图 发生转折。发生转折。例例3 3、简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用 写内力方程写内力方程，并并作内力作内力图图。(1 1)确定约束反力确定约束反力 0AMFAy ql/2 0yFlx 0FBy ql/2(2 2)写内力方程写内力方程 C x x FAY xFS xMl FBY FAY q qxFAyxFAy2xqx lxqxqlxFS02/lxqxqlxxM02/2/2(3 3)、作内力图作内力图 FS x M x 8/2ql2/ql2/ql危险截面位置危险截面位置 a 建立坐标系建立坐标系 b 确定控制截面确定控制截面 c 作图作图
15、l/2 仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点 FBY FAY 例例4 4、简支梁受集中力偶作用简支梁受集中力偶作用 (1 1)确定约束反力确定约束反力 0AMFAyM/l(2 2)写出内力方程写出内力方程 x2 x1 11xFxMAy22xFxMByl FAY M a b 0BMFBy M/l x1 FAY FBY x2 FBY 写内力方程，作内力图写内力方程，作内力图 ax 10bx 20(3 3).画内力画内力图图 M a b FS x M x lMb/lM/lM/lMa/a 建立坐标系建立坐标系 b 确定控制截面确定控制截面 c 作图作图 仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点 F
16、AY FBY FAyM/l FBy M/l 总结总结5、6 5 5、剪力连续变化、剪力连续变化 过零点：过零点：弯矩取得极值；弯矩取得极值；FS M x 8/2ql2/ql2/qlM a b FS x M x lMb/lM/lM/lMa/6 6、集中力偶处、集中力偶处 剪力图剪力图 不变；不变；弯矩图弯矩图 突变；突变；突变量突变量=外力偶矩的大小；外力偶矩的大小；突变的方向突变的方向 从左向右画，顺时针的外力偶引起弯从左向右画，顺时针的外力偶引起弯矩图的上突；矩图的上突；例例5：悬臂梁受力如图所示。写梁的剪力方程和弯矩方程，：悬臂梁受力如图所示。写梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩
17、图作出梁的剪力图和弯矩图 1、列出梁的弯矩方程、列出梁的弯矩方程 PamxM)()0(axP m=Pa A C B a a PxmxM)()0(axx x P m=Pa A C B FS x M x a 建立坐标系建立坐标系 b 确定控制截面确定控制截面 c 作图作图 仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点-P Pa 总结总结7 7 7、剪力、剪力=0=0的一段梁内，的一段梁内，弯矩保持为常量；弯矩保持为常量；P m=Pa A C B FS x M x-P Pa 求值求值 描点描点 连线连线 快速作图一般原则快速作图一般原则 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系
18、静定多跨梁的内力图静定多跨梁的内力图 刚架的弯矩图刚架的弯矩图 4 4-5 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMdsq(x)dx Fs(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)M(x)载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1 1、q(x)q(x)0:0:2 2、q q常数，常数，3 3、剪力剪力F Fs s=0=0处，处，M(x)M(x)为为 x x 的一次函数的一次函数 Fs=Fs=常数常数 Fs(x)Fs(x)一
19、次函数一次函数 M(x)M(x)二次函数；二次函数；q 0q 0 q 0q 0 凹弧凹弧 凸弧凸弧 下凸。下凸。上凸。上凸。弯矩取极值。弯矩取极值。左右两侧剪力变号左右两侧剪力变号 )()(xqdxxdFs)()(xFdxxdMs弯矩图形状弯矩图形状 dx Fs(x)Fs(x)+Fs(x)M(x)+M(x)M(x)P 梁上作用集中力时梁上作用集中力时 0)()()(xFxFPxFsssPxFs)(0)()()()(xMxMPdxxFxMsPdxxFxMs)()(剪力图突变，剪力图突变，突变量等于集中力的大小。突变量等于集中力的大小。弯矩图发生转折。弯矩图发生转折。dx Fs(x)Fs(x)+F
20、s(x)M(x)+M(x)M(x)梁上作用集中力偶时梁上作用集中力偶时 0)()()(xFxFxFsss0)(xFs0)()()()(xMxMMdxxFxMsdxxFMxMs)()(剪力图不变。剪力图不变。突变量等于集中力偶的大小。突变量等于集中力偶的大小。弯矩图发生突变，弯矩图发生突变，M 内力内力Fs、M 的变化规律的变化规律 载荷载荷 图sF图M0)(xq0Cq0CqF oM水平直线水平直线+-F 无变化无变化 有尖角有尖角 oM斜直线斜直线 1 校核已作出的内力图是否正确；校核已作出的内力图是否正确；微分关系的利用微分关系的利用 2、快速绘制梁的内力图；不必再建立内力方程；、快速绘制梁
21、的内力图；不必再建立内力方程；1求支座反力；求支座反力；利用微分关系快速绘制内力图的步骤：利用微分关系快速绘制内力图的步骤：3分段分段确定确定内力图的形状；内力图的形状；2求求控制截面的内力；控制截面的内力；5确定危险面。确定危险面。4、连线；、连线；求值求值 描点描点 连线连线 例题例题1 简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用 利用微分关系快速做梁的内力利用微分关系快速做梁的内力图图。(1)确定约束反力确定约束反力 0AM FAy ql/2 0yF FBy ql/2 l FBY FAY FS x M x 8/2q l2/q l2/q l危险截面位置危险截面位置 跨度中点。跨度中点。（2）
22、建立坐标系建立坐标系（3）确定控制截面确定控制截面（4）作图作图 a/2 例题例题2 简支梁受集中力偶作用简支梁受集中力偶作用(1)确定约束反力确定约束反力 0AM FAyM/l l FAY M a b 0BM FBy M/l FBY FS x M x lMb/lM/lM/lMa/（2）建立坐标系建立坐标系（3）确定控制截面确定控制截面（4）作图作图 仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点(必须正确必须正确,标明正确指向标明正确指向 转向转向 )FAY FBY 例例3：利用微分关系快速作梁的内力图：利用微分关系快速作梁的内力图(1)(1)计算约束反力计算约束反力 00，ABMMF FAyAy
23、8 8/9 9 kNkN B A 1.5m 1.5m 1.5m 1kN.m 2kN F FByBy1010/9 9 kNkN (3)(3)建立坐标系建立坐标系 (4)(4)确定控制面确定控制面 (5)(5)画图画图 （-）（-）从左侧开始画剪力图和弯矩图从左侧开始画剪力图和弯矩图。-4/3-1/3-5/3 M(kN.m)x O 8/9 10/9 x FS(kN)O 74CFqa 14AFqa FC B C q D a a a A(2 2)建立坐标系建立坐标系 (3)(3)确定控制面确定控制面 (4)(4)画图画图 O FS x M x qa2/2 qa qa2/4 3qa/4 F=qa FA
24、qa/4 例例4：利用微分关系作梁的内力图。：利用微分关系作梁的内力图。(1)求支座反力求支座反力 0AM 0yF (1 1)计算约束反力计算约束反力 00，ABMM93,44AyByFqaFqa例例5 5：利用微分关系快速作梁的内力图：利用微分关系快速作梁的内力图 q a 4a qa FBy FAy（+）（-）（+）(3 3)建立坐标系建立坐标系 O FS x O M x(4)(4)确定控制面确定控制面 9/4a(5)(5)画图画图 28 1/3 2q a2qaqa49q a确定剪力等于零的确定剪力等于零的截面位置。截面位置。4/7 q aq a例例6 6：利用微分关系快速作梁的内力图：利用
25、微分关系快速作梁的内力图 A B q F=qa C a 2a FRA FRB(1)求约束反力求约束反力 0AM 12RBFqa 0yF 52RAFqaE(2)建立坐标系建立坐标系 O FS x O M x(3)确定控制截面确定控制截面 32qa218qa-qa 2qa a/2 12qa(4)利用微分关系作图利用微分关系作图 例例7：利用微分关系作梁的内力图。：利用微分关系作梁的内力图。(1)求支座反力求支座反力 0AM 7.2AyFKN 3.8ByFKN 0BM A B mKNM.601m 1m 4m F=3KN C D q=2KN/m ByFAyF(2)建立坐标系建立坐标系 FS x(3)确
26、定控制截面确定控制截面(4)利用微分关系作图利用微分关系作图 M x-3KN 4.2KN-3.8KN 2.1m-2.2KN.m-3KN.m mKN.41.13.8KN.m 1 1确定约束反力确定约束反力 0yF从中间铰处将梁截开从中间铰处将梁截开 FDy FDy FBy 2/3qaFBy例例1：静定多跨梁的内力图：静定多跨梁的内力图 q B A a qa C a a D qa q B C D 2/qaFDy0BMqa/2 静定多跨梁的内力图静定多跨梁的内力图 FDy FBy q B C D qa/2 O FS x M x 2 2建立坐标系建立坐标系 3 3确定控制面确定控制面 4 4画图画图
27、qa/2 qa/2 qa qa2/2 qa2/2 2/3qaFBy2/qaFDyqa/2 例例2 试作梁的内力图。试作梁的内力图。P=qa a a 2a a q M=2qa2 A B C D E 2a q A B P=qa a a a M=2qa2 C D E FB FA FB qaFFBAFc FE qaFFDCq 2a A FB FA FB P=qa a a a M=2qa2 C D E Fc FE FS M qa qa qaFFBAqaFFDCqa qa a qa2/2 qa2 qa2 B C A 2qaq a a a D 例例3 利用微分关系试作梁的内力图。利用微分关系试作梁的内力图。
28、1 计算约束反力计算约束反力 B C 2qaq D FC FB 0yFqaFB23qaFc250BMqaFB23qaFc25a A FB FC FB 2qaB C q D a a O FS x M x 3qa2/2 qa 3qa2/2 qa2 3qa/2 静定多跨梁的处理方法静定多跨梁的处理方法 1、在中间铰处拆开，、在中间铰处拆开，求中间铰处的约束反力；求中间铰处的约束反力；2、作内力图时、作内力图时 看作两个独立的梁；看作两个独立的梁；结论结论 1、中间铰只传递剪力、中间铰只传递剪力 不传递弯矩；不传递弯矩；2、若中间铰处没有外力偶，、若中间铰处没有外力偶，弯矩恒等于零弯矩恒等于零 4 试
29、作梁的内力图。试作梁的内力图。A B mKNM.242m 3m 8m C D q=5KN/m KNF171KNF3023m E 1、“梁内弯矩最大的横截面上，剪力一定为零。”、“梁内弯矩最大的横截面上，剪力一定为零。”2、梁在某一段内作用有向下的均布载荷，则在该段、梁在某一段内作用有向下的均布载荷，则在该段的弯矩图是一条的弯矩图是一条 。A：上凸曲线；：上凸曲线；B：下凸曲线；：下凸曲线；C：带有拐点的曲线；：带有拐点的曲线；D：带有转折点的折线；：带有转折点的折线；基本概念部分基本概念部分 P Q Q a a 3、图示木板，受力为、图示木板，受力为P、梁的总长为、梁的总长为L、外伸部分长为、
30、外伸部分长为a，使梁的最大弯矩为最小时，梁端的重物，使梁的最大弯矩为最小时，梁端的重物Q 。A B C D 4、工人工作在木板的中点，为改善木板的受力，下列做、工人工作在木板的中点，为改善木板的受力，下列做法哪一个好？法哪一个好？A：在：在A、B处同时堆放适量砖；处同时堆放适量砖；B：在：在A、B端同时堆放砖块，越多越好；端同时堆放砖块，越多越好；C：只在：只在A或只在或只在B处堆放适量砖；处堆放适量砖；D：什么也不放。：什么也不放。5、力、力P固定，固定，M可在梁上自由移动，可在梁上自由移动，M应在何应在何处使梁的受力最合理？处使梁的受力最合理？3a P M=2Pa 6、在静定多跨梁中，如果
31、中间铰点处没有外力偶，那么：、在静定多跨梁中，如果中间铰点处没有外力偶，那么：不变；不变；恒等于零；恒等于零；P A E B C F D 7、带有中间铰的连续梁，、带有中间铰的连续梁，AB和和BC部分的内力情况部分的内力情况有四种答案，正确的是：有四种答案，正确的是：。A：N、Q、M均为零；均为零；B：N、Q、M均不为零；均不为零；C：Q为零，为零，N、M不为零；不为零；D：Q、M为零，为零，N不为零；不为零；8、一外伸梁、一外伸梁AC受载如图，梁的总长度为受载如图，梁的总长度为L。力。力P可在梁上可在梁上自由移动，欲使力自由移动，欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，问支座问支座B到梁端到梁端C的距离的距离BC为多少？为多少？P A B C 小结小结 1 1、熟练求解支座反力；、熟练求解支座反力；2 2、明确内力的概念，理解内力的正负号规定；、明确内力的概念，理解内力的正负号规定；3 3、熟练计算内力的数值；、熟练计算内力的数值；4 4、熟练建立内力方程；、熟练建立内力方程；5 5、快速、准确绘制内力图。、快速、准确绘制内力图。