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1、王 培 荣 Saturday,February 18,2023n n(1)深刻理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系、积分关系，并掌握用该关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。n n*(2)了解用叠加原理作弯矩图的基本方法。教 学 要 求45Differential relations between the intensity of distributed load q，shearing force Q and bending moment M一、载荷集度、剪力和弯矩微分关系n n规定x向右为正；n n规定q(x)向上为正；n n从梁中任意截面x处截取微段研究，并设该微段上无集中力和(集中、分
2、布)力偶作用。思考：水平方向分布力作用是否成立？画剪力图和弯矩图步骤n n(1)分段：在集中力（力偶）作用处、在分布力（力偶）突变处作为分段点。n n(2)画平行于轴线的基线n n(3)确定每段两端点Fs、M值：a.用截面法；b.用方程；c.根据截面一侧梁段受力。n n(4)根据q、Fs、M关系,确定每段内部线形、朝向、有无极值，若有极值，求出极值的位置和数值。n n(5)连线,注明端值和极值的位置和数值。二、载荷集度、剪力和弯矩积分关系 F Fs s右端点右端点=F=Fs s左端点左端点+q(x)dx+q(x)dxx左x左x右M右端点右端点=M左端点左端点+F Fs s(x)dx=F Fs
3、s左端点左端点+A+Aq q=M左端点左端点+AF Fs s积分关系微分关系x右n n(1)分段n n(2)剪力图和弯矩图从零出发,从左向右画n n(3)在分段点:n na.遇到向上(下)的集中力P，剪力图向上(下)跳跃，跃度为P。n nb.遇到顺（逆）时针转向的集中力偶m，弯矩图向上(下)跳跃，跃度为m。画剪力图和弯矩图步骤(4)每段内部：F Fs s右端点右端点=F=Fs s左端点左端点+q(x)dx+q(x)dxx左x左x右M右端点右端点=M左端点左端点+F Fs s(x)dx=F Fs s左端点左端点+A+Aq q=M左端点左端点+AF Fs sx右n n(5)根据q、Fs、M关系,确
4、定每段内部线形、朝向、有无极值，若有极值，求出极值的位置和数值。n n(6)连线,注明端值和极值的位置和数值。例 题bbbPm=PbABCD 利用M、Fs和q之间的积分关系，作图示梁的Fs、M图。FSP/32P/3+-bbbPm=PbABCD解:1.计算约束反力RA=P/3()RB=2P/3()P/32P/3+-bbbPm=PbABCDMPb/3Pb/3+-2Pb/3+FS例 题 利用M、Q和q之间的积分关系，作图示梁的Q、M图。50kN20 kN/m1m0.5m1m3m1mABCDEF解:1.计算约束反力RF=29kN(),RA=81kN()mA=96.5kN m()5kN m50kN20
5、kN/m1m0.5m1m3m1mABCDEF96.5kN m29kN81kNFS(kN)8131+-29M(kN m)96.5+-515.5315kN m55341.55mBA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题:简支梁受力的大小和方向如图示。简支梁受力的大小和方向如图示。试试画画出出其其剪剪力力图图和和弯矩图。弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力求得约束力求得约束力 FAy0.89 kN,FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面 在在集集中中力力和和集集中中力力偶偶作作用用处处的的两两侧侧截截面面以以及及支支座座反反力力
6、内内侧侧截截面面均均为为控控制制面面。即即A、C、D、E、F、B截面截面。E ED DC CF F(+)(-)BA1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNE ED DC CF FM(kN.m)xO 3 3建立坐标系建立坐标系建建立立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根根据据微微分分关关系系连图线连图线4 4应应用用截截面面法法确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩值值，并并将将其其标标在在 F FS S x x和和 M Mx x 坐坐标标系中。系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS(kN)O
7、0.89 kN=1.11 kN（-）（+）解解法法2 2：1 1确确定定约约束束力力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确确定定控控制制面面为为A、C、D、B两两侧侧截截面。面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截截面面左左测测开开始画剪力图。始画剪力图。Fs（kN）0.891.11（-）（-）4 4从从A A截截面面左左测测开开始画弯矩图。始画弯矩图。M（kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.
8、330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右qBAD Da a4 4a aFAyFBy例题例题:试画出梁剪力图和弯矩图。试画出梁剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡根据梁的整体平衡求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qa2 2确定控制面确定控制面 由由于于ABAB段段上上作作用用有有连连续续分分布布载载荷荷，故故A A、B B两两个个截截面面为为控控制制面面，约约束束力力F FByBy右右侧侧的的截
9、截面面，以及集中力以及集中力qaqa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。C（+）（-）（+）qBAD Da a4a4aFAyFByqaqaC3 3建立坐标系建立坐标系建建立立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上确定控制面上的剪力值，并将的剪力值，并将其标在其标在F FS Sx x中。中。5 5确定控制面确定控制面上的弯矩值，并上的弯矩值，并将其标在将其标在M Mx x中。中。（+）（-）qBAD Da a4 4a aFAyFByqaqa解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确确定定控控制制面面，即即A A、B B、D D两两
10、侧侧截截面。面。3 3从从A A截截面面左左测测开开始画剪力图。始画剪力图。Fs 9qa/4 7qa/4qa（+）M （+）（-）qBAD Da4a4aFAyFByqaqa Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求出剪力为零的点到求出剪力为零的点到A A的距离。的距离。B B点的弯矩为点的弯矩为 1/27qa/47a/4 1/27qa/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2ABAB段段为为上上凸凸抛抛物物线线。且且有有极极大大值值。该该点点的弯矩为的弯矩为 1/29qa/49a/4 1/29qa/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A
11、A截面左测开始画弯矩图截面左测开始画弯矩图 81qa2/32qa2（-）（-）（+）（+）（-）Fs例题例题:试画出图示梁的剪力图和弯矩图。试画出图示梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqaF FAyAyF FByByMMA AF FAyAyF FByByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMMA A 图示梁中，若将坐标x的原点取在梁的有无不同之处右端，且X坐标以指向左为正，问关系式：讨论与思考题讨论与思考题讨论与思考题讨论与思考题有体重均为800N的两人，需借助跳板从沟的左端到右端。已知该跳板的许可弯矩M=
12、600Nm。若跳板重量略去不计，问两人采用何办法可安全过沟。用叠加法绘制梁的剪力图和弯矩图叠 加 原 理 由几个外力所引起的某一参数（内力、应力、变形）就等于每个外每个外力力单独作用时所引起的该参数值之总和。学习时应注意记忆简单荷载作用时的内力图:所谓内力图的叠加，是指内力图的纵坐标代数值相加，而不是内力图的简单合并。应用叠加原理来作剪力图和弯矩图n n1.分别作出各个荷载单独作用时的剪力图和弯矩图;n n2.将其相应的纵坐标叠加;n n3.绘制出在所有荷载作用下的总剪力图和总弯矩图。叠加法（一）同号图形的叠加n n叠加两个同号的图形时，可以将图形放在基线的同侧,也可以将图形放在基线的两侧。n n要注意当把图形放在基线的两侧时，基线就不再是正、负图形的分界线了。n n如果要采用习惯的画法，仍可以用水平的基线，只要将图形的纵坐标分别叠加起来。（二）异号图形的叠加n n如果要采用习惯的画法，也可以另设水平的基线，将图形按纵坐标的正、负值分别画在基线的两侧。叠加两个异号图形时，将它们画在基线的同侧。n n图形重叠的部分恰好正、负互相抵消，而剩下不重叠的部分即为所求的总剪力图和总弯矩图。n n注意，这时图上划分正、负的基线不一定再和梁的轴线平行。作 业n410（b）、（d）n413（a）、（d）n416（a）、（b）n417（b）、（c）