《自考04183概率论与数理统计（经管类）考点讲义汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自考04183概率论与数理统计（经管类）考点讲义汇总.docx（112页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、目 录第一章 随机事件与概率4第一节 随机事件5第二节 概率8第三节 条件概率10第四节 事件的独立性11附录 排列与组合13第二章 随机变量及其概率分布14第一节 离散型随机变量15第二节 随机变量的分布函数17第三节 连续型随机变量及其概率密度17第四节 随机变量函数的概率分布21第三章 多维随机变量及其概率分布23第一节 多维随机变量的概念24第二节 随机变量的独立性29第三节 两个随机变量的函数的分布30第四章 随机变量的数字特征32第一节 随机变量的期望33第二节 方差35第三节 协方差与相关系数37第五章 大数定律及中心极限定理40第一节 切比雪夫Chebyshev不等式411第二
2、节 大数定律41第三节 中心极限定理42第六章 统计量及其抽样分布44第一节 总体与样本45第二节 统计量及其分布46第七章 参数估计51第一节 点估计的几种方法52第二节 点估计的评价标准53第三节 参数的区间估计54第八章 假设检验56第一节 假设检验的基本思想和概念57第二节 总体均值的假设检验60第三节 正态总体方差的假设检验62第四节 单边检验63第九章 回归分析65第一节 回归直线方程的建立66第二节 回归方程的显著性检验672第一章 随机事件与概率框架图1第1第 随机事件1. 随机现象随机现象：在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言， 这类现象
3、称为随机现象.2. 随机试验和样本空间随机试验：若把科学实验或观察都称为试验，则满足下列条件的试验称为随机试验（简称试验）：日1日试验的可重复性在相同条件下可重复进行.日2日一次试验结果的随机性每次试验前不能确定哪个结果会出现.日3日全部试验结果的可知性每次试验的可能结果不止一个，且在试验开始前能明确所有可能的结果.样本空间：随机试验的每一个可能出现的不可分解的结果称为样本点，全体 样本点的集合称为样本空间，用 （或 S ）来表示 .注：样本空间的元素可以是数， 也可以不是数， 样本空间所含有的样本点可以是有限多个也可以是无限多个.样本点是随机试验最基本并且不可再分的结果.当随机试验的内容确定
4、后， 样本空间也将确定.3. 随机事件的概念随机事件：样本空间 的子集合称为试验 E 的随机事件，简称事件，以大写 字母 A,B, 来表示.俗话说：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件， 统称为随机事件.随机事件可以分为：1（1）基本事件只含一个样本点的子集合.（2）复合事件含若干个样本点的子集合.（3）不可能事件不含样本点的子集合（空集），即它在每次试验中都不会发生，记为 .（4）必然事件样本空间本身，即它在每次试验中必然发生， 记为 .注意：（3）和（4）具有确定性，不是随机事件，但作随机事件处理.4. 随机事件的关系与运算设 为试验 E 的样本空间， A, B, C 为 的子集，事件的
5、关系及其运算可以与集合的关系和运算相对应：符号概率论样本空间，必然事件不可能事件o样本点（基本事件）A事件A对立（逆或余）事件： A的对立事件若事件 A与事件 B 中至少有一个发生，且 A与 B 互不相容，即 AUB = , AB = ,则称 A与 B 互为对立事件.A = A = , = A _ B = AB = A _ ABA 一 B事件的包含：事件 A发生必有事件 B 发生 一 A 一 A = B事件的相等：事件 A与事件 B 等价（同一事件的不同描述）若 A 一 B 且 B 一 A ，则 A = BAUB或A+ B和事件：事件 A与事件 B 至少有一个发生.n推广： UAi 表示事件
6、A1 ， A2 ， , An 中至i=1少发生一个.A 一 AUB, B 一 AUB若 A 一 B ，则 AUB = BAn B或 AB积事件：事件 A与事件 B 同时发生.AB 一 A, AB 一 B若 A 一 B ，则 AB = A2n推广： nAi 表示事件 A1 ， A2 ， , An 都发i=1生.A - B差事件：事件 A发生而事件 B 不发生A - B 一 A若 A 一 B ，则 A - B = AB = 互不相容（互斥）：事件 A与事件 B 不能同时发生.推广： n 个事件 A1 ， A2 ， , An 两两之间互不相容，即 AiAj = (i 产 j, i, j = 1,2,
7、 , n)设 A, B, C 为事件，事件之间的关系与运算直观图：事件文氏图（韦恩图）运算律事件的包含 A 一 BBA交换律： AUB = BU A, An B = Bn A和事件AUBAB结合律： AU (BU C)= (AUB)UC ， An (B nC)= (An B)nC积事件An BAB分配律： AU (B nC)= (AUB)n (AUC)， An (BU C)= (An B)U (AnC)差事件A - BAB对偶律（德摩根律）： AUB = AB ，AB = A UB互不相容AB = B AA = 3对立事件AAB = AA+ A = , An A = 必然事件A = A ， A
8、+ = ,A+ A = A注意：（1）事件的运算顺序一般是：先逆后积，再和差 .（2）有包含关系的事件的和 事件， “谁大要谁” ；有包含关系的事件的积事件， “谁小要谁”.（3）讨论事件的关系时，借助 “ 文氏图”.第2第 概率1. 频率与概率频率：在相同条件下进行 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A发生的次数 nA称为事件 A发生的频数，而比值称为事件 A发生的频率，并记作 fn (A).频率具有如下性质：日1日0 fn (A) 1 .日2日fn ( )= 0 ,fn ( )= 1 .日3日若 A与 B 互不相容， 则 fn (AuB)= fn (A)+ fn (B).推广：当 A1
9、 ， A2 ， , Am （或 A1 ， A2 ， , Am ， )互不相容时，fn Ak = fn (Ak )（或 fn Ak = fn (Ak )）.其中 m 是正整数.随着试验重复次数 n 的大量增加， 频率 fn (A)逐渐稳定于某一常数，称这个常数为事件 A的概率 P(A).42. 古典概型古典概型：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型： 日1日基本事件的总数是有限的， 换句话说样本空间仅含有有限个样本点；日2日每个基本事件发生的可能性相同.设 为随机试验 E 的样本空间，其中所含样本点总数为 n, A为一随机事件，其中所含样本点数为 r ，则古典概型事件概率计算公式为
10、：P(A)= n(r) = 中样本点总数(A中样本点数) = A(所)中基本事件总数(包含的基本事件)数 .古典概型中事件概率具有如下性质：日1日0 P(A) 0 ；（2）规范性： P( )= 1；（3）可列可加性：设 A1 ， A2 ， , An互不相容， 则 PAi = P(Ai )，称 P(A)是事件 A的概率.概率的性质有界性0 P(A) P(A).逆事件对任一事件 A，有 P(A )= 1 - P(A)， P(A)+ P(A )= 1 .（求逆公式）加法公式对任意两个事件 A, B 有 P(AUB)= P(A)+ P(B)- P(AB)推广：对任意 n 个事件 A1 ， A2 ， ,
11、 An ，有P(A1 U A2 U U An )= P(Ai )- P(AiAj )+ P(AiAjAk )+ i =1 1ijn 1ij k 0 ，称 P(B | A)= )为在事件 A发生的条件下事件 B 发生的概率.定理（乘法公式）设 P(A) 0 ，则 P(AB)= P(A)P(B | A).同样地，若 P(B) 0 ，则P(AB)= P(B)P(A | B).推广到 n 个事件的情况：日1日设 P(AB) 0 ，则 P(ABC)= P(A)P(B | A)P(C | AB).日2日设P(A1A2 An-1 ) 0 ，则P(A1A2 An-1An )= P(A1 )P(A2 | A1
12、) P(An | A1A2 An-1 ).2. 全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式完备事件组：设事件 A1 ， A2 ， , An 满足如下两个条件：6日1日A1 ， A2 ， , An 互不相容（即 AiAj = (i 丰 j )），且 P(Ai ) 0 ,i = 1,2, , n ；（2） A1 U A2 U U An = ,即 A1 ， A2 ， , An 至少有一个发生， 则称 A1 ， A2 ， ,An 为样本空间 的一个划分（完备事件组）.当 A1 ， A2 ， , An 是 的一个划分时,每次试验有且只有其中的一个事件发生.全概率公式：设随机试验对应的样本空间为 , 设 A1
13、， A2 ， , An 是样本空间 的一个划分， B 是任意一个事件， 则 P(B)= P(Ai )P(B | Ai ).贝叶斯公式：设 A1 ， A2 ， , An 是样本空间的一个划分， B 是任一事件，且P(B) 0 ，则P(Ai | B)= P(Ai | Ai )= ， i = 1,2, , n .第4第 事件的独立性1. 事件的独立性事件的独立性：设 A, B 是两事件，若满足等式 P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A, B 相互独立， 简称 A, B 独立.注：若 P(A) 0, P(B) 0 ，则 A, B 相互独立与 A, B 互不相容不能同时成立.事件独立性有下列性质：
14、日1日设 A, B 是两事件，且 P(A) 0 ，则 A, B 相互独立的充要条件是 P(B)= P(B | A).设 P(B) 0 ，则 A, B 相互独立的充要条件是 P(A)= P(A | B).日2日若事件 A与 B 相互独立， 则下列各对事件也相互独立： A与B ， A 与 B ， A与 B .三事件相互独立：设 A, B, C 是三个事件，若满足等式7P(AB)= P(A)P(B)， P(BC)= P(B)P(C)， P(AC)= P(A)P(C)，P(ABC)= P(A)P(B)P(C)，则称事件 A, B, C 相互独立.注：事件 A, B, C 相互独立的充要条件是 A, B
15、, C 两两独立，且P(ABC)= P(A)P(B)P(C).推广 n 个事件 A1 , A2 , , An 的独立性：定义3设 A1 , A2 , , An 为 n 个事件，若对于任意整数 k(1 k n)和任意 k 个整数1 i1 i2 ik n ，有 P(Ai1 Ai2 Aik )= P(Ai1 )P(Ai2 ) P(Aik )，则称 A1 , A2 , , An 相 互独立， 简称 A1 , A2 , , An 独立.注： n 个事件相互独立必两两独立，但反之不然.2. n 重贝努利事件贝努利概型：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为贝努利概型：（1） n 次独立重复试验；（2）
16、每次试验只有两个可能结果 A和A ，且 P(A)= p ， 0 p 1 .注：只有两种可能结果的独立重复试验称为贝努利试验.定理1在 n 重贝努利试验中， 设每次试验中事件 A的概率为 p （0 p 1）， 则事件 A恰好发生 k 次的概率Pn (k )= Cn(k)pk (1 - p)n-k ， k = 0,1,2, , n .A在指定的 k 次试验中发生，而在其余 n - k 次试验中不发生的概率为 pk (1 - p)k .常见 n 重贝努利试验：抛掷硬币时注意的是正面是否朝上；产品抽样检验时，注意抽出的产生是否是次品；射手向目标射击时，注意目标是否被命中.8本章基本概型及其概率计算概型
17、随机试验特征概率计算公式古典概型日1日基本事件等可能；日2日样本空间有限.中基本事件总数P(A)= A中基本事件数 全概模型试验分两次进行，第一次所有可能结果A1,A2 , ,An 为样本空间 的一个划分， B 为第二次试验后的某随机事件.全概率公式： P(B)= P(Ai )P(B | Ai )贝叶斯公式（逆概率公式）：P(Ai | B)= P(Ai | Ai )= i = 1,2, ,n贝努利概型n 次独立重复试验，且每 次试验只有两个可能结果： A和A ， P(A)= p 不变.n 次试验中 A恰好发生 k 次的概率为：Pn (k )= Cn(k)pk (1- p)n-k ， k = 0
18、,1,2, ,n .注意：利用基本公式计算概率的一般步骤：1日写出欲求概率的事件 A；2日分析 B 与哪些事件有关，用字母（如 A1,A2 , ,An ）将这些事件表示出来；3日分析 B 与 A1,A2 , ,An 是什么关系，写出事件的关系式；4日选择适当的公式计算事件 A的概率.9附录 排列与组合1. 两个基本原理m1（1）乘法原理：若某件事需经 k 步才能完成，做第一步有 种方法，做第二步有 m2 种方法 做第 k 步有 mk 种方法， 则完成这件事共有 m1 根 m2 根 根 mk 种方法.（2）加法原理：若某件事可由 k 类不同途径之一去完成，在第一类途径中有m1 种完成方法，在第二
19、类途径中有 m2 种完成方法 在第 k 类途径中有 mk 种完成方法，那么完成这件事共有 m1 + m2 + + mk 种方法.2. 排列（1）排列 从 n 个不同元素中任取 r(r n)个元素排成一列（考虑元素次序）称此为一个排列,此种排列的总数记为 An(r) .（2）可重复排列 从 n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取 r 次所得的排列称为可重复排列，此种排列总数共有 nr 个.注意这里的 r 允许大于 n .3. 组合（1）组合从 n 个不同的元素中任取 r （ r 0,k = 1,2,3, ；父（2（规范性： pk = 1.注意：正数列 pi 为离散型随机变量
20、X 的分布律 常 （1）（2）同时成立.（3（利用分布律计算概率： PX e I= P X = xi ，其中 I 为任一实数集合. （4（利用分布律求分布函数 F(x)= pi ， x eR，其图形是右连续的阶梯函数.分布律或分布函数均可完整描述离散型随机变量.三种重要的离散随机变量及其分布 0-1分布、二项分布与泊松分布.3. 0 - 1分布与二项分布4. 泊松分布0-1分布：若随机变量只取两个可能值0，1，且 PX = 1= p， PX = 0= q ，其中0 p 1， q = 1- p， 则称 X 服从 0 - 1分布.X 的分布律为X01Pqp二项分布：若随机变量 X 的可能取值为 0
21、,1,2, , n ，而 X 的分布律为pk = P X = k = Cn(k)pk qn-k ， n = 0,1,2, , n ，其中 0 p 0是常数， n 是任意正整数，且 npn = , 则对于任意取定的非负整数 k ，有n喻伪 k!lim Cn(k)pn(k) (1- pn )n-k = k e- .注意：当 n 很大 p 很小时，有近似公式Cn(k)pk qn-k e- ,其中 = np .泊松分布：设随机变量 X 的可能取值为 0,1,2, , n, ，而 X 的分布律为pk = P X = k = e- , k = 0,1,2, ，其中 0， 则称 X 服从参数为 的泊松分布，
22、简记为 X P().常见泊松分布：如某一时段进入某商店的顾客数，某一地区一个时间间隔内 发生交通事故的次数， 一天内110报警台接到报警的次数，在一个时间间隔内某种放射性物质发生的粒子数.第二节 随机变量的分布函数1. 分布函数的概念分布函数：设 X 为随机变量， x 是任意实数， 则称函数 F(x)= P X x，xe (- 伪,+伪)，为 X 的分布函数（也称为累积概率函数） .注意：（1）分布函数 F(x)是普通的一元函数，它在任意一点 x0 处的值 F(x0 )表示随 机变量 X 在区间(- 伪, x0 内取值的概率.（2）分布函数的定义域为(- 伪,+伪)，值域为 0,1.2. 分布
23、函数的性质分布函数的性质非负性0 F(x) 1规范性F (- 伪)= lim F (x)= 0， F (+ 伪)= lim F(x)= 1x喻 伪 x喻+伪不减性F (x)单调不减，即对任意 x1 , x2 e (- 伪,+伪)，当 x1 x2 时， F (x1 ) F(x2 )右连续性F (x)右连续，即 F(x + 0)= lim+ F (x + x)= F (x).x喻0利用分布函数计算概率P x1 X x2 = F (x2 )- F (x1 )， P X = x = F (x)- F (x - 0)/注意： F(x)为某个随机变量 X 的分布函数 常 非负性、规范性、不减性、右连续性同
24、时成立.第3第 连续型随机变量及其概率密度1. 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及概率密度函数：设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负可积函数 f (x)，使其对任意实数 xe (- 伪,+伪)，都有 F(x)= 伪 f (t )dt ，则称 X为连续型随机变量，并称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数) .其几何意义如图所示，其中图中阴影部分的面积为 F(x)（随机变量落在区间(- 伪,x上的概率） .yy = f (t )O x t连续型随机变量的概率分布的性质：（1（概率密度 f (x)之 0（ x eR） .（2( f (x)dx = 1.注意
25、：非负函数 f (x)为连续型随机变量 X 的概率密度. （3（设 x 为概率密度 f (x)的连续点， 则 F,(x)存在，且 F,(x)= f (x).（4（连续型随机变量的分布函数 F(x)是连续函数.（5（对于连续型随机变量，任意 x0 e (- 伪,+伪)，有 PX = x0 = 0 .（6（Pa X b= P a X b= P a X b= f (x)dx .三种重要的连续型概率分布均匀分布、指数分布和正态分布.1 2. 均匀分布与指数分布均匀分布：若随机变量 X 的概率密度为 f (x)= , x a b, 则称 X 服从 |l0, 其他.区间a, b上的均匀分布，简记为 X U
26、(a, b).均匀分布的概率密度 f(x)与分布函数 F(x)的图形为f (x)1b - aO a b xF (x)1O a b x均匀分布的均匀性是指随机变量 X 落在区间a, b内长度相等的子区间上的概率都是相等同的.均匀分布的概率计算概率公式：设 X U(a, b)， a c d b，即 a, b二 c, d ，则 Pc X d=d - c.b - a常用均匀分布：计算结果保留到小数点后第 n 位， 则舍入误差 X 通常假定服 从 (- 0.5根10-n ,0.5根10-n )上的均匀分布；从刻度器上读数时把零头数化为最靠近的整分度时发生的误差也服从均匀分布.指数分布：若随机变量 X 的
27、概率密度为 f (x)=0,(e) - x(x), 0, 其中 0为常数， 则称 XF (x)=(1 -l0,服从参数为 的指数分布，简记为 X E()，其中分布函数为e-x , x 0,x 0. .指数分布的概率密度 f(x)与分布函数 F(x)的图形为f(x)O xF (x)O x指数分布常被用作各种“ 寿命”分布：如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服务系统接受服务的时间等都可假定服从指数分布.3. 正态分布正态分布：若随机变量 X 的概率密度为f (x)= e- ， - 伪 x +伪 ，其中 , 2 为常数， - 伪 0 ，则称 X 服从参数为 , 2的正态分布
28、，简记为 X N(, 2 ).习惯上称服从正f (x)12O x态分布的随机变量为正态随机变量，又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线.正态分布曲线的性质：（1）曲线关于直线 x = 对称， 对任意的 h 0 ，有P - h X = P X + h.（2）当 x = 时取得最大值 f ()= ,在 x = 土处曲线有拐点，曲线以 x 轴为渐近线.（3）当 取定， 1 2 时， f1 (x)= e- ， f2 (x)= e- ，f1 (x)与 f2 (x)的图形可互相沿着 x 轴平行移动而得.F (x)10.5O注：正态分布曲线的位置完全由 决定， 是正态分布的中心.（固定 ,改变 ,图形沿
29、x 轴平移而不改变其形状.）（4）当 给定，且1 2 时，1 - 2 2 f1 (x)= 21 e (x1(-)2 ， xf2 (x)= e- ，注意：正态分布曲线中 的值刻画了正态随机变量取值的分散程度. 越小，取值分散程度越小； 越大，取值分散程度越大.（固定 ,改变 ,当 很小时，形状与尖塔相似；当 增大时，曲线趋于平坦f (x) ) . = 1正态分布 X N(, 2 )的分布函数 = 1.5 = 3F (x)= 伪 e- dt .特别地，当 = 0, = 1的正态分布 N(0,1)称为标准正态分布.标准正态分布的概率密度和分布 = 7.5Ox函数分别记为(x)和 (x)，即(x)=
30、e- ， (x)= 伪 e- dt ， - 伪 x +伪 .标准正态分布函数 (x)的性质：（1( (- x)= 1- (x)；（2( (0)=1 ;2（3（对一般正态分布 X N(, 2 )，其分布函数 F(x)= P X x= ; （4（Pa x b= P a x b= P a x b= P a x a= P X a= 1- .标准正态分布的上侧a 分位数：设 X N(0,1)，若 ua 满足条件 PX ua = a, 0 a 1，则称点 ua 为标准正态分布的上侧a 分位数.第四节 随机变量函数的概率分布1. 离散型随机变量函数的概率分布设离散型随机变量 X 的分布律为Xx1x2xkPp
31、1p2pk则 X 的函数Y = g (X )（ g(x)一般是连续函数或分段连续函数）也是离散型随机变量，且Y 的分布律为Yg (x1 )g (x2 )g (xk )Pp1p2pk注意：若某些 g(xk )的值相等， 则对应Y 的分布律中只写一项 g(xk )，并将相应的概率求和作为随机变量Y 取 g(xk )值的概率.2. 连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布：设 X 为连续型随机变量，其概率密度为fX (x).设 g(x)是一严格单调的可导函数，其值域为a, ，且 g,(x)丰 0 .记x = h(y )为 y = g (x)的反函数， 则Y = g (X )的概率密度
32、fY (y )=0(f),(X) (h,(y ), a y ,特别地，当a = 一伪 ， = +伪 时,fY (y )= fX (h(y )h,(y ) ,一 伪 y +伪 .章3章 多维随机变量及其概率分布框架图第1第 多维随机变量的概念1. 二维随机变量及其分布函数二维随机变量：设 X1 , X2 , , Xn 是定义在同一样本空间 上的随机变量，构 成向量 X = (X1 , X2 , , Xn )称为一个 n 维随机变量或 n 维随机向量，当 n = 2时， 称为二维随机变量， 记为(X, Y)或 (,).当 n = 1时，称为一维随机变量，即第二章中的随机变量.分布函数：设(X, Y
33、)为一个二维随机变量， 记F (x, y )= P X x, Y y， - 伪 x +伪 ， - 伪 y +伪 ，称二元函数 F(x, y )为 X 与Y 的联合分布函数， 或称为(X, Y)的分布函数.边缘分布函数： (X, Y)的两个分量 X 与Y 各自的分布函数分别称为二维随机变量(X, Y)关于 X 与关于Y 的边缘分布函数，记为 FX (x)与 FY (y ).边缘分布函数可由联合分布函数确定：FX (x)= P X x= P X x, Y +伪= F (x,+伪)= lim F(x, y )y喻+伪 ,FY (y )= P Y y= P X +伪, Y y= F (+ 伪, y )
34、= lim F(x, y )x喻+伪 .几何意义：分布函数 F(x, y )在 (x, y )处的函数值就是随机点(X, Y)落在以(x, y )为顶点、位于该点左下方的无穷矩形 D 内的概率,如图.y(x,y)xOD,利用分布函数及其几何意义，随机点(X Y)落在矩形域x1 X x2 , y1 Y y2 内（如图）的概率为：P x1 X x2 , y1 Y y2 = F (x2 , y2 )- F (x2 , y1 )- F (x1 , y2 )+ F(x1 , y1 ).分布函数 F(x, y )的性质：规范性： F(- 父)= lim F (x)= 0x喻 父,F (+ 父)= lim F(x)= 1x喻+父0 F(x, y )1，且对任意固定的 y ， F(- 父, y )= 0；对任意固定的 x ， F (x,-父)= 0；F (- 父,-父)= 0， F (+ 父,+父)= 1 .y(x1, y2)(x2, y2)y2(x1,y1)(x2, y1)y1xx1 x2O不减性： F(x)单调不减，即对F (x, y )是变量 x （或 y ）的不减函数，即对于任任意 x1 , x2 e (- 伪,+伪)，