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1、 1 1/1212 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 知识点名称知识点名称 内容内容 事件的包含事件的包含与相等与相等 设 A,B 为两个事件，若 A 发生必然导致 B 的发生，则称事件 B 包含事件 A，或称事件 A包含在事件 B 中，记作B A，A B.显然有：A 和事件和事件 称事件“A,B 中至少有一个发生”为事件 A 与事件 B 的和事件，也称 A 与 B 的并，记作A B 或 A+B。A B发生意味着：或事件 A 发生，或事件 B 发生。显然有：A A B,B A B；或A B，则 A B=B 积事件积事件 称事件“A,B 同时发生”为事件 A 与事件 B 的积事件，也称
2、 A 与 B 的交，记作A B，简记为 AB。事件 AB 发生意味着事件 A 发生且事件 B 发生，也就是说 A,B 都发生。显然有AB A，AB B；若A B，则 AB=A。差事件差事件 称事件“A 发生而 B 不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件，记作 A-B。显然有：A B A；若A B，则 A B=互不相容互不相容 若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即AB=，则事件 A 与事件 B 是互不相容的两个事件，简称 A 与 B 互不相容（或互斥）。对于 n 个事件A1,A2,An,如果它们两两互不相容，即AiAj=(i j,i,j=1,2,n),则称A1,A2,An互不相容 对立事件
3、对立事件 称事件“A 不发生”为事件 A 的对立事件（或余事件，或逆事件），记作A。若事件 A 与事件 B 中至少有一个发生，且 A 与 B 互不相容，即A B=，AB=，则称 A 与 B 互为对立事件。显然有：A=A；=，=；A B=AB=A AB.交换律交换律 A B=B A，A B=B A 结合律结合律 A (B C)=(A B)C，A (B C)=(A B)C 分配律分配律 A (B C)=(A B)(A C)，(A B)（A C）对偶律对偶律 A B=AB，AB=A B 古典概型的古典概型的特点特点 1、基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点；2、每个基本事件发生
4、的可能性相同。设为随机试验 E 的样本空间，其中所含样本点总数为 n，A 为一随机事件，其中所含样本点数为 r，则有P(A)=中样本点数中样本点总数，也即P(A)=所包含的基本事件数基本事件总数.概率概率 1、设是随机试验 E 的样本空间，对于 E 的每个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A)，称P(A)为事件 A 的概率，如果它满足下列条件：P(A)0；P()=1；设1,2,是一列互不相容的事件，则有 0 P(A)1，P()=0；2、对于任意事件 A，B 有P(A B)=P(A)+P()P(AB)。当 A 与 B 互不相容时，P(A B)=P(A)+P()。3、对于任意事件 A，B，C 有P
5、(A B C)=P(A)+P()+P()P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)。当1,2,互不相容时，P(1 2 )=P(1)+P(2)+P(),其中 n 为正整数。P(B A)=P()P(AB)，特别的，当A B时，P(B A)=P()P(A)。P(A)=1 P(A)条件概率条件概率 1、设 A，B 是两个事件且P()0，称P(|)=()()为在事件 B 发生条件下事件 A 的条件概率。2 2/1212 2、定理（乘法公式）设()0AP，则()()()ABPAPABP|=.同样地，若()0BP，则()()()BAPBPABP|=.推广到n个事件的情况：（1）设()0ABP，则()()(
6、)()ABCPABPAPABCP|=.（2）设()0121nAAAP，则()()()()121121121|=nnnnAAAAPAAPAPAAAAP 全概率公式全概率公式与贝叶斯与贝叶斯（BayesBayes）公式公式 设事件1,2,满足如下两个条件：（1）1,2,互不相容，且P(A)0，i=1,2,n;（2）1 2 =，即1,2,至少有一个发生，则称1,2,为样本空间的一个划分。全概率公式 设随机试验对应的样本空间为，设1,2,是样本空间的一个划分，B 是任意一个事件，则P()=P(A)P(|A)=1.贝叶斯公式 设1,2,是样本空间的一个划分，B 是任一事件，且P()0，则P(A|)=P(
7、A)P(|A)P()=P(A)P(|A)P(A)P(|A)=1 事件的事件的 独立性独立性 若P(AB)=P(A)P()，则称 A 与 B 相互独立，简称 A，B 独立。性质：（1）设P(A)0，则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是P()=P(|)。（2）若 A 与 B 相互独立，则 A 与B,A与 B，A与B都相互独立。一般，A 与 B，A 与B,A与 B，A与B，只要有一相互独立，另三组也各自相互独立 事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)设 A，B，C 为 3 个事件，若满足P(AB)=P(A)P()，P(AC)=P(A)P()，P(BC)=P(B)P()，P(
8、ABC)=P(A)P(B)P()，则称 A，B，C 两两独立，简称 A，B，C 独立 定义设 A，B，C 为 3 个事件，若满足P(AB)=P(A)P()，P(AC)=P(A)P()，P(BC)=P(B)P()，则称 A，B，C 两两独立。A，B，C 独立必有 A，B，C 两两独立，反之不然 设1,2,为 n 个事件，若对于任意整数k(1 k n)和任意 k 个整数1 1 2 ,有P(12)=P(1)P(2)P()，则称1,2,相互独立，简称1,2,独立 n n 重贝努利重贝努利(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验 在 n 重贝努利试验中，设每次试验中事件 A 的概率为p(0
9、p 1),则事件 A 恰好发生 k次的概率()=(1 ),=0,1,2,.事实上，A 在指定的 k 次试验中发生，而在其余 n-k 次试验中不发生的概率为(1 )。排列与组合排列与组合 1、乘法原理：若某件事需经k步才能完成，做第一步有1m种方法，做第二步有2m种方法做第k步有km种方法，则完成这件事共有kmmm21种方法。2、加法原理：若某件事可由k类不同途径之一去完成，在第一类途径中有1m种完成方法，在第二类途径中有2m种完成方法在第k类途径中有km种完成方法，那么完成这件事共有kmmm+21种方法。3 3/1212 第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 知识点名称知识点
10、名称 内容内容 离散型分布离散型分布变量变量 若随机变量 X 只取有限多个或可列无限多个值，则称 X 为离散型随机变量。设 X 为离散型随机变量，可能取值为1,2,，且PX=,=1,2,，则称为 X 的分布律（或分布列，或概率分布）。性质：0，=1,2,；=1=1 离散型分布离散型分布律律 1=1+=2 离散型随机离散型随机变量函数的变量函数的概率分布概率分布 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为().设 g(x)是一严格单调可导函数，其值域为,且(x)0.记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数，则 Y=g(X)的概率密度f()=(h(y)|(y)|，y 0，其他。特别地，当=-，=+时，
11、f()(h(y)|(y)|，y +0 0-1 1 分布分布 若随机变量 X 只取两个可能值 0,1，且PX=1=p，PX=0=q，其中0 p 1，q=1 p，则称 X 服从 0-1 分布 分布律为 X 0 1 P q p 二项分布二项分布 若随机变量 X 的可能取值为 0,1，n，而 X 的分布律为=PX=k=,=0,1，n，其中0 p 0,是常数，n 是任意正整数，且n=,则对于任意取定的非负整数 k，有lim(1)=!.由泊松定理，当 n 很大 p 很小时，有近似公式!，其中=np。泊松分布泊松分布 设随机变量 X 的可能取值为 0,1,2，n，而 X 的分布律为=PX=k=!，k=0,1
12、,2，其中0，则称 X 服从参数为的泊松分布，简记为 XP（）分布函数分布函数 定义 设 X 为随机变量，称函数F(X)=PX x,(,+)为 X 的分布函数。当 X 为离散型随机变量时，设 X 的分布律为=PX=k，k=0,1,2,则F(X)=，其中求和是对所有满足 时相对应的概论的求和 性质 0 ()1；F（x）是不减函数，即对于任意的1 2有 F(1)F(2)；F()=0，F(+)=1，即 limF()=0,limF()=1;F()右 连 续，即 F(+0)=lim0+(+)=F()连续型随机连续型随机变量变量 定义 若对于随机变量 X 的分布函数F()，存在非负数 f(x)，使得对任意
13、实数 x，有F()=f(t)dt，则称 X 为连续型随机变量，并称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度 4 4/1212 性质 f(x)0；f(x)+=1；Pa X b=F()F()=f(x),；设 x 为f(x)的连续点，则F(x)存在，且F(x)=f(x)举例 设随机变量 X 的概率密度为则常数 c=（）均匀分布均匀分布 若随机变量 X 的概率密度为f(x)=1，a x b0,其他，则称 X 服从区间a,b上的均匀 分布，简记为 AU(a,b).其分布函数为F(x)=0，x a，,00,x 0，其中0 为常数，则称 X 服从参数为的指数分布，简记为 XE()，其分布函数为F(x)
14、=1 ，x 00,x 0 正态分布正态分布 1、若随机变量 X 的概率密度为f(x)=12()222,x +,其中，2为常数，0，则称 X 服从参数为，2的正态分布，简记为XN(，2)2、标准正态分布函数()x的性质：（1）()()xx=1；（2）()210=；（3）对一般正态分布()2,NX，其分布函数()=xxXPxF；（4）=abbxaPbxaPbxaPbxaP即()()=abaFbF.（5）=aaXPaXP1.第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布 知识点名称知识点名称 内容内容 二维随机二维随机 变量变量 n 个随机变量1,2,构成的整体X=1,2,称为一个
15、n 维随机变量或 n 维随机向量，称为 X 的第 i（i=1,2，n）个分量 二维离散型二维离散型随机变量随机变量 二维离散型随机变量：若二维随机变量只能取有限多对或可列无穷多对(,)，(,=1,2,)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(,),(,=1,2,)，(X,Y)在各个可能取值的概率为：P=,=，(,=1,2,)，则称P=,=。(,=1,2,)为(X,Y)的分布律 性质：0，(,=1,2,)；=1.5 5/1212 边缘分布律：对于离散型随机变量(X,Y)，分量 X（或 Y）的分布律称为(X,Y)关于 X（或Y）的边缘分布律，记为(=1,2,
16、)（或(=1,2,)），它可由(X,Y)的分布律求出.(X,Y)的边缘分布律有下列性质：0，0，(,=1,)=1,=1 二维连续型二维连续型随机变量的随机变量的概率密度概率密度 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使得对任意的实数 x,y，有F(x,y)=f(u,v)udv，则称(X,Y)为二维随机变量；并称f(x,y)为(X,Y)的概率密度或 X 与 Y 的联合密度函数。按定义，概率密度f(x,y)有以下性质：f(x,y)0；f(x,y)+xdy=1；若()yxf,在()yx,处连续，则有()()yxfyxyxF,2=；若()YX,的概率密度为(
17、)yxf,，则()YX,在平面区域D（即()DYX,）内取值的概率为()()=DdxdyyxfDYXP,边缘概率边缘概率 密度密度 对连续型随机变量(X,Y)，分量 X（或 Y）的概率密度称为(X,Y)关于 X（或 Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为()（或()）。边缘概率密度()或()可由(X,Y)的概率密度 f(x,y)求出：()=f(x,y)，x +；()=f(x,y)，y +二维连续型二维连续型随机变量的随机变量的独立性独立性 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，()，()分别为(X,Y)关于 X 和 Y的边缘概率密度，则 X 与 Y 相互独立的充要条件是：等式
18、(,)=()()第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 知识点名称知识点名称 内容内容 离散型随机离散型随机变量的期望变量的期望 1、设离散型随机变量 X 的分布律为P=，=1,2,，若 绝对收敛（即|收敛），则定义 X 的数学期望（简称均值或期望）为()=iiipxXE 2、设离散型随机变量X的分布律为kkpxXP=，,2,1=k.令()XgY=，若()=1kkkpxg绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为()()()=1kkkpxgXgEYE 连续型随机连续型随机变量的期望变量的期望 1、设连续型随机变量X的概率密度为()xf，若反常积分()+dxxxf绝对收敛，则称该积分为随机变
19、量X的数学期望（简称期望或均值），记为()XE，即()()+=dxxxfXE。2、设X为连续型随机变量，其概率密度为()xfX，又随机变量()XgY=，则当()()+dxxfxgX收敛时，有()()()()+=dxxfxgXgEYEX.期望的性质期望的性质 （1）常数的期望等于这个常数，即 E(C)=C，其中 C 为常数。（2）常数 C 与随机变量 X 乘积的期望等于该常数与随机变量 X 的期望的乘积，即E(CX)=CE(X)。（3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。6 6/1212 （4）两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若 X，Y
20、是相互独立的随机变量，则 E(XY)=E(X)E(Y)。二维随机变二维随机变量函数的期量函数的期望望 若(X,Y)为离散型随机变量，若其分布律为jiijyYxXPp=,，边缘分布律为=iijjjijipppp,，则()=ijijiiiipxpxXE，()=ijijjjjjpypyYE 若(X,Y)为二维连续型随机变量，()yxf,，()xfX，()yfY分别为(X,Y)的概率密度与边缘概率密度，则()()()+=dxdyyxxfdxxxfXEX,，()()()+=dxdyyxyfdyyyfYEY,设(,)为连续函数，对于二维随机变量(,)的函数(,)，（1）若(X,Y)为离散型随机变量，()i
21、jijjipyxg,收敛，则()()=ijijjipyxgYXgE,.（2）若(X,Y)为连续型随机变量，且积分()()+dxdyyxfyxg,收敛，则()()()+=dxdyyxfyxgYXgE,方差方差 定义 设随机变量()()2XEX 的期望存在，则称()()2XEXE为随机变量X的方差，记作D(X)，即()()()2XEXEXD=，称()XD=为X的标准差（或均方差）。注意：方差反映了随机变量偏离其中心期望的平均偏离程度 性质（1）常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即D（C）=0，D（X+C）=D（X）（2）常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的平方与随机变
22、量方差的乘积.即D（CX）=2D（X），其中 C 为常数.（3）设 X,Y 是两个随机变量，则有()()()()()()()YEYXEXEYDXDYXD+=+2.特别地，若 X,Y 相互独立，则有()()()YDXDYXD+=.推广：n 个相互独立的随机变量情况若nXXX,21相互独立，则()()()()nnnnXDkXDkXDkXkXkXkD+=+22112211 协方差协方差 设有二维随机变量(X,Y)，且 E(X)，E(Y)存在，若()()()()YEYXEXE存在，则称此值为 X 与 Y 的协方差，记为()YXCov,，即()()()()()YEYXEXEYXCov=,.当(X,Y)为
23、二维离散型随机变量时，其分布律为iiijyYxXPp=,（,2,1=i，,2,1=j），则()()()()()=ijijiipYEyXExYXCov,。当(X,Y)为二维连续型随机变量时，f(x,y)为(X,Y)的概率密度，则()()()()()()+=dxdyyxfYEyXExYXCov,计算公式：()()()()YEXEXYEYXCov=,.特别地，取 X=Y 时，有()()()()()()XDXEXXEXEYXCov=,相关系数相关系数 定义 若()0XD，()0YD，称()()()YDXDYXCov,为 X 与 Y 的相关系数，记为XY，即()()()YDXDYXCovXY,=性质（1
24、）1XY，1=xx（2）=1XY存在常数ba,使1=+=baXXP且0a。（3）若相关系数0=XY则称 X 与 Y 不相关。7 7/1212 常见随机变常见随机变量的方差量的方差 离 散 型 分布 分布律或概率密度 期望()XE 方差()XD X服从参数为p的 0-1 分布 qXP=0，pq=1，pXP=1，10 p p ()pp1 X服从二项分布()pnBX,设()pnBX,，即 iniiniqpCiXPp=（ni,2,1,0=），pq=1 np npq X服从泊松分布()PX 设()PX 其分布律为!ieiXPi=（,2,1,0=i）连 续 型 X服从均匀分布()baUX,设随机变量X在b
25、a,上服从均匀分布，概率密度为()=,0,1其他bxaabxf 2ba+()122ab X服从指数分布()EX 设随机变量X服从参数为0的指数分布，概率密度为()=,0,0,0,xxexfx 1 21 X服从正态分布()2,NX 设()2,NX概率密度为()()22221=xexf，+x 2 8 8/1212 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 知识点名称知识点名称 内容内容 切比雪夫不切比雪夫不等式等式 设随机变量X的期望()XE及方差()XD存在，则对任意小正数0，有()()2XDXEXP，或()()21XDXEXP 棣莫弗棣莫弗拉拉普拉斯中心普拉斯中心极限定理极限
26、定理 设随机变量nZ是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x，()xdtexnpqnpZPxtnn=2221lim,其中pq=1,()x为标准正态分布函数.独立同分布独立同分布序列的中心序列的中心极限定理极限定理 设,21nXXX是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差()=iXE，()(),2,12=iXDi。记随机变量nnXYniin=1的分布函数为()xFn，则对于任意实数x，有()()=xtniinnnnnxdtexnnXPxYPxF21221limlimlim，其中()x为标准正态分布函数 当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和=n
27、iinXZ1的分布近似于正态分布()2,nnN.n 个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布.中心极限定理表明，不论,21nXXX同服从什么分布，当n充分大时，其和nZ近似服从正态分布 若,21nXXX的平均值=niiXnX11，有()()=niiXEnXE11，()()nXDnXDnii211=，它的标准化随机变量为nXYn=。从而有nY的分布函数为()xFn，有()()xdtexFttnn=2221lim。当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值=niiXnX11的分布近似于正态分布nN2,第六章第六章 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布 知识点名称知识点名称 内容内容 样本方差与样本
28、方差与样本标准差样本标准差 1、样本方差：设nxxx,21为取自某总体的样本，则它关于样本均值x的平均偏差平方和()=niixxns12211，称为样本方差，其算术根2ss=称为样本标准差.样本标准差与样本均值具有相同的度量单位.2、定理：设总体X具有二阶矩，即()=XE，()+=2XD，nxxx,21，为从 9 9/1212 该总体得到的样本，x和2s分别是样本均值和样本方差，则()=xE，()nxD2=，()22=sE.定理表明：样本均值的均值与总体均值相同，而样本均值的方差是总体方差的n1.正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布 名称名称 定义定义 性质性质 2分布分布 设nXXX,21独
29、立同分布于标准正态分布()1,0N，则2212nXX+=的分布称为自由度为 n 的2分布，记为()n22.1.()()nnE=2，()()nnD22=.2.设()mX2，()nY2，且 X 与 Y 独立，则()nmYX+2.F F 分布分布 设()mX21，()nX22，1X与2X独立，则称nXmXF21=的分布是自由度为 m 与 n 的 F 分布，记为()nmFF,，其中 m 称为分子自由度，n 称为分母自由度.1.若()nmFF,，则()mnFF,1.2.()()mnFnmF,1,1=.t分布分布 设随机变量1X与2X独立且()1,01NX，()nX22，则称nXXt21=的分布为自由度为
30、 n 的 t 分布，记为()ntt 自由度为 1 的 t 分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；()0=TE()1n，()2=nnTD()2n；()()ntnt221=；4.()2221limxnexf=.第七章第七章 参数估计参数估计 知识点名称知识点名称 内容内容 矩估计法矩估计法替换原理替换原理（后称此法（后称此法为矩法）为矩法）1、用样本矩替换总体矩（矩可以是原点矩也可以是中心矩）；2、用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数。3、基本思想：在总体存在所需要的各阶矩的条件下，用样本的各阶矩去估计总体的相应的各阶矩（统计思想（替换思想），实质是用经验分布函数去替换总体分布）。4、方法步骤：求
31、两矩作方程，解方程得估计。在总体分布形式未知场合可对各种参数作出估计，如：用样本均值估计总体均值，即；用样本二阶中心矩估计总体方差，即，其中2=1()2=1 无偏性估计无偏性估计 点估计的评价标准点估计的评价标准包括：相合性、无偏性估计有效性包括：相合性、无偏性估计有效性 设是的一个估计，的参数空间为，若对任意的，有，则称是的无偏估计，否则称为有偏估计 注 意：设是 取 自 总 体 X 的 样 本，由 于，故样本均值是总体均值的无偏估计量，样本方差是总体方差的无偏估计量.无偏性不具有不变性，从而 S 不是的无偏估计 单个正态总单个正态总 x()XE()XXE=2nS()XD()2nSXD=()
32、nxx,1=()=Enxxx,21()=XE()2=XD()()=XEXE()22=SEX2S2 1010/1212 体参数的置体参数的置信区间信区间 所估参数所估参数 条件条件 估计函数估计函数 置信区间置信区间 已知 未知 未知 第八章第八章 假设检验假设检验 知识点名称知识点名称 内容内容 两类错误两类错误 第一类错误：原假设0为真，但由于样本的随机性，使样本观察值落入拒绝域，这时所作的判断便是拒绝0，这类错误称为第一类错误，简称弃真.它发生的概率就是显著性水平：第二类错误：原假设0为假，但由于样本的随机性，使样本观察值落入接受域，这时所作的判断便是保留0，这类错误称为第二类错误，简称采
33、伪，它发生的概率记为：判真实情况判真实情况 接受0 拒绝0 成立成立 正确 第一类错误 成立成立 第二类错误 正确 检验检验 由服从标准正态分布的检验统计量作检验的方法称为检验法 方差已知时，单个正态总体均值检验方差已知时，单个正态总体均值检验：设是从正态总体中抽取的一个样本，是已知常数，欲检验假设：，其中为已知数。已求出检验统计量（在假设0成立时，它服从标准正态分布），拒绝域。若由样本检测值计算出的值落在W内，则作出拒绝0的判定，否则认为与0相容 方差已知时，两个正态总体均值检验方差已知时，两个正态总体均值检验：设，其中，为已知常数.和分别是取自和的样本且相互独立.欲检验假设：，。检验假设，
34、等价于检验假设。已知是的一个估计量，且当0为真时，有。于是对给定的水平，可得临界值，使，从而得拒绝域2()nxu=+nuxnux22,2()nsxt=()()+nsntxnsntx1,1222()=sn()()()()11,112212222nsnnsn为真拒绝00|HHP=为真接受10|HHP=()Wxxxn,21()Wxxxn,21nxx,1()20,N2000:=H01:H0nxu00=+=,22uuW()211,NX()222,NX2122mxx,1nyy,1XY210:=H211:H21=021=yx 21()1,02221Nnmyxu+=2u=2uuP 1111/1212 ，再由样
35、本值计算的观测值。，若，则拒绝0；否则认为相容 t t 检验检验 方差未知时，单个正态总体均值检验方差未知时，单个正态总体均值检验：设是从正态总体中抽取的一个样本，其中未知，欲检验：，其中为已知数。由于未知，考虑用样本方差代替总体方差，因而构造检验统计量.当0为真时，.于是，对给定的显著性水平，查表（分布临界值表）可得，使得，即得拒绝域.通过样本观测值计算出观测值t，若，则拒绝0，否则认为与0相容。方差未知时，两个正态总体均值检验方差未知时，两个正态总体均值检验：设，和分别是取自X和Y的样本且相互独立.欲检验假设：，。（未知）。当0为真时，构造检验统计量：.对给定的水平，得临界值，使得，即得拒
36、绝域。且未知，但（配对问题）。，即视两个正态总体样本之差来自一个正态总体的样本。记，（未知），此时，与是否相等的检验等价于假设检验：，.构造检验统计量，其中，。在假设为真时，.于是可得拒绝域为 第九章第九章 回归分析回归分析 知识点名称知识点名称 内容内容 一元线性一元线性 回归回归 设随机变量 y 与自变量 x（它可精确测定或严格控制的变量）之间成立下列关系，其中为随机变量（随机误差），称为关于的一元线性回归，称为回归系数，为回归常数。它是回归直线的截距。回归分析的基本问题是依据样本，解决问题：未知参数及的点估计,求Y与x之间关系回归方程。+=,22uuWunmyxu2221+=Wunxx,
37、1()2,N200:=H01:H022s2nsxt0=()1nttt()12nt()=12nttP()()+=,11,22ntntWWt()211,NX()222,NYmxx,1nyy,1210:=H211:H22221=2()211+=nmtnmsyxtW()22+nmt()=+22nmttP()()+=,22,22nmtnmtW2221nm=iiiYXZ=()ni,1=()dZEi=21()22221=+=iZD120:0=dH0:1dHnsZt=niiZnZ11()=niiZZns122110H()1ntt()()+=,11,22ntntW+=xy10()2,0Nxy10+=yx20()
38、iiyx,ni,2,1=10,2 1212/1212 回归直线方回归直线方程的建立程的建立 显著性检验显著性检验 欲检验假设，.由与相互独立，及t分布定义，知，即，.当假设为真时，.其中，对给定的显著性水平，得临界值.从而得拒绝域.当由抽样得到的n对观测值，计算出时，拒绝0，认为一元线性回归显著；否则，认为回归效果不显著.用给出的检验统计量作检验的方法称为t检验法.0:10=H0:11H1剩s()()222211=ntnsLtxx剩()211=ntLtxx0:10=H()21=ntLtxx()=niiiyynns12212剩()22nt()()+=,22,22ntntW()iiyx,ni,2,1=Wt()21=ntLtxx