自考04183概率论与数理统计（经管类）密训高频考点重点汇总.docx-淘文阁

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1、第一章随机事件与概率知识点名称内容事件的包含与相等设 A,B 为两个事件，若 A 发生必然导致 B 的发生，则称事件 B 包含事件 A，或称事件 A 包含在事件 B 中，记作B A，A B.显然有： A 和事件称事件“A,B 中至少有一个发生”为事件 A 与事件 B 的和事件，也称 A 与 B 的并，记作 A B或 A + B 。A B发生意味着：或事件 A 发生，或事件 B 发生。显然有： A A B, B A B；或A B，则 A B = B积事件称事件“A,B 同时发生”为事件 A 与事件 B 的积事件，也称 A 与 B 的交，记作A B，简记为 AB。事件 AB 发生意味着

2、事件 A 发生且事件 B 发生，也就是说 A,B 都发生。显然有AB A，AB B；若A B，则 AB = A 。差事件称事件“A 发生而 B 不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件，记作 A-B。显然有： A B A ；若A B，则 A B = 互不相容若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即AB = ,则事件 A 与事件 B 是互不相容的两个事件，简称 A 与 B 互不相容（或互斥）。对于 n 个事件A1, A2, , An,如果它们两两互不相容，即AiAj = (i j, i, j = 1,2, , n), 则称A1, A2, , An 互不相容对立事件称事件“A 不发生”为事

3、件 A 的对立事件（或余事件，或逆事件），记作A( )。若事件 A 与事件 B 中至少有一个发生，且 A 与 B 互不相容，即A B = , AB = ,则称 A 与 B 互为对立事件。显然有： = A；() = , = ; A B = AB() = A AB.交换律A B = B A，A B = B A结合律A (B C) = (A B) C，A (B C) = (A B) C分配律A (B C) = (A B) (A C) ，(A B) （ A C ）对偶律 = A( )B( )，AB() = A( ) B()古典概型的特点1、基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点

4、；2、每个基本事件发生的可能性相同。设为随机试验 E 的样本空间，其中所含样本点总数为 n，A 为一随机事件，其中所含样本点数为 r，则有P(A) = n(r) = 中样本点总数(A中样本点数)，也即P(A) = r = A所包含的基本事件数.n 基本事件总数概率1、设是随机试验 E 的样本空间，对于 E 的每个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A)，称 P(A)为事件 A 的概率，如果它满足下列条件： P(A) 0；P ( ) = 1 ；设A1, A2, , Am, 是一列互不相容的事件，则有 0 P(A) 1 ，P () = 0；2、对于任意事件 A ，B 有P(A B) = P(A)

5、+ P(B) P(AB)。当 A 与 B 互不相容时， P(A B) = P(A) + P(B) 。3、对于任意事件 A ，B ，C 有P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)。当A1, A2, , An 互不相容时，P(A1 A2 An) = P(A1) + P(A2) + P(An),其中 n 为正整数。P(B A) = P(B) P(AB)，特别的，当A B时， P(B A) = P(B) P(A) 。P(A( ) = 1 P(A)条件概率1、设 A ，B 是两个事件且P(B) 0，称P(A|B) = 为在事件 B

7、，且P(Ai ) 0 ，i = 1,2, , n;（2）A1 A2 An = ,即A1, A2, , An至少有一个发生，则称A1, A2, , An 为样本空间的一个划分。全概率公式设随机试验对应的样本空间为 ,设A1, A2, , An是样本空间的一个划分， B 是任意一个事件，则P(B) = 1 P(Ai )P(B|Ai ) .贝叶斯公式设A1, A2, , An是样本空间的一个划分，B 是任一事件，且P(B) 0，则P(Ai |B) = = 事件的独立性若P(AB) = P(A)P(B)，则称 A 与 B 相互独立，简称 A ，B 独立。性质：（1）设P(A) 0，则 A 与

8、 B 相互独立的充分必要条件是P(B) = P(B|A)。（2）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B(), A( )与 B，A( )与B( )都相互独立。一般，A 与 B，A 与B( ), A( )与 B，A( )与B( )，只要有一相互独立，另三组也各自相互独立事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)设 A ，B ，C 为 3 个事件，若满足P(AB) = P(A)P(B) ，P(AC) = P(A)P(C) ，P(BC) = P(B)P(C) ，P(ABC) = P(A)P(B)P(C)，则称 A ，B ，C 两两独立，简称 A ，B ，C 独立定义设 A

9、，B ，C 为 3 个事件，若满足P(AB) = P(A)P(B) ，P(AC) = P(A)P(C) ，P(BC) = P(B)P(C)，则称 A ，B ，C 两两独立。A ，B ，C 独立必有 A ，B ，C 两两独立，反之不然设A1, A2, , An 为 n 个事件，若对于任意整数k(1 k n)和任意 k 个整数1 i1 i2 ik n,有P (Ai1Ai2 Aik) = P (Ai1 )P (Ai2 ) P (Aik)，则称A1, A2, , An 相互独立，简称 A1, A2, , An 独立n 重贝努利(Bernoulli)试验在 n 重贝努利试验中，设每次试验中事件 A

10、的概率为p(0 p 1),则事件 A 恰好发生 k次的概率pn (k) = Cn(k)pk (1 p)nk, k = 0,1,2, , n.事实上，A 在指定的 k 次试验中发生，而在其余 n-k 次试验中不发生的概率为pk (1 p)nk 。排列与组合1、乘法原理：若某件事需经 k 步才能完成，做第一步有 m1 种方法，做第二步有 m2 种方法做第 k 步有 mk 种方法，则完成这件事共有 m1 m2 mk 种方法。2、加法原理：若某件事可由 k 类不同途径之一去完成，在第一类途径中有 m1 种完成方法，在第二类途径中有 m2 种完成方法在第 k 类途径中有 mk 种完成方法，

11、那么完成这件事共有 m1 + m2 + + mk 种方法。2 / 12第二章随机变量及其概率分布知识点名称内容离散型分布变量若随机变量 X 只取有限多个或可列无限多个值，则称 X 为离散型随机变量。设 X 为离散型随机变量，可能取值为x1, x2, , xk ，，且PX = xk = pk, k = 1,2, ，则称pk 为 X 的分布律（或分布列，或概率分布）。性质： pk 0 ，k = 1,2, ； k = 1 pk = 1离散型分布律PX 1 = PX = 1 + PX = 2离散型随机变量函数的概率分布设 X 为连续型随机变量，其概率密度为fx (x).设 g(x)是一

12、严格单调可导函数，其值域为 , ,且g (x) 0.记 x=h(y)为 y= g(x)的反函数，则 Y= g(X)的概率密度fy (y) =fx (h(y)|(y)| ， y 。特别地，当=- ，=+ 时， fy (y)fx (h(y) |n(y)| ， y + 0-1 分布若随机变量 X 只取两个可能值 0,1， p，则称 X 服从 0-1 分布分布律为且PX = 1 = p ，PX = 0 = q，其中0 p 1 ，q = 1 X01Pqp二项分布若随机变量 X 的可能取值为 0,1，n，而 X 的分布律为pk = PX = k = cn(k)pk qnk, k = 0,1，，n，其

13、中0 p 0,是常数，n 是任意正整数，且npn = ,则对于任意取定的非负整数 k，有 lim cn(k)pn(k)(1n pn )nk = e .由泊松定理，当 n 很大 p 很小时，有近似公式cn(k)pk qnk e ，其中 =np 。泊松分布设随机变量 X 的可能取值为 0,1,2 ，n，而 X 的分布律为pk = PX = k = e ，k = 0,1,2，，其中0，则称 X 服从参数为的泊松分布，简记为 XP（）分布函数定义设 X 为随机变量，称函数F(X) = PX x, x ( , + )为 X 的分布函数。当 X 为离散型随机变量时，设 X 的分布律为pk = P

14、X = k，k = 0,1,2, ,则F(X) = x kxpk ，其中求和是对所有满足xk x时xk 相对应的概论pk 的求和性质0 F(X) 1；F（ x ）是不减函数，即对于任意的x1 x2有 F(x1) F(x2)；F ( ) =0 ，F (+ ) = 1 ，即 x F(x) = 0, x(l)F(x) = 1 ; F(x) 右连续，即 F(x + 0) =x0+lim F(x + x) = F(x)连续型随机变量定义若对于随机变量 X 的分布函数F(x)，存在非负数 f(x)，使得对任意实数 x ，有F(x) = f(t)dt，则称 X 为连续型随机变量，并称 f(x)为

15、 X 的概率密度函数，简称概率密度3 / 12性质f(x) 0； f(x) dx = 1 ；Pa 00,其中0 为常数，则称 X 服从参数为的指数分布，简记为 XE()，其分布函数为F(x) = 1 0(),e xx(，) 0() 0正态分布1、若随机变量 X 的概率密度为f(x) =e , x + ,其中 , 2 为常数， 0，则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布，简记为XN( , 2) 2 、标准正态分布函数 (x)的性质：（1） (- x) = 1 - (x)；（2） (0) = ；（3）对一般正态分布 X N(,2 ) ，其分布函数 F (x) = P X x= ;（4） P a

16、 x b= P a x b= P a x b= P a x a= P X 之 a= 1 - .第三章多维随机变量及其概率分布知识点名称内容二维随机变量n 个随机变量x1, x2, , xn构成的整体X = x1, x2, , xn称为一个 n 维随机变量或 n 维随机向量， xi 称为 X 的第 i（i=1,2， n ）个分量二维离散型随机变量二维离散型随机变量：若二维随机变量只能取有限多对或可列无穷多对(xi, yi )， (i, j = 1,2, )，则称(X,Y)为二维离散型随机变量 .设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为 (xi, yi ), (i,j = 1,2, )

17、，(X,Y)在各个可能取值的概率为： Px = xi, Y = yi = pij ，(i, j = 1,2, )，则称Px = xi, Y = yi = pij 。(i,j = 1,2, )为(X,Y)的分布律性质： pij 0 ，(i, j = 1,2, )； i jpij = 1.4 / 12边缘分布律：对于离散型随机变量(X,Y)，分量 X（或 Y）的分布律称为(X,Y)关于 X（或 Y）的边缘分布律，记为pi (i = 1,2, )（或pj (j = 1,2, )），它可由(X,Y)的分布律求出. (X,Y)的边缘分布律有下列性质：pi 0，pj 0 ，(i, j = 1, ) i

18、pi = 1, jpj =1二维连续型随机变量的概率密度设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，若存在非负可积函数f(x, y)，使得对任意的实数 x,y，有F(x, y) = f(u, v) dudv，则称(X,Y)为二维随机变量；并称f(x, y)为(X,Y) 的概率密度或 X 与 Y 的联合密度函数。按定义，概率密度f(x, y)有以下性质： f(x, y) 0； f(x, y) dxdy = 1 ；若 f (x, y) 在 (x, y)处连续，则有 = f (x, y) ；若 (X , Y) 的概率密度为 f (x, y) ，则 (X , Y)在平面区域 D （即

19、 (X , Y)= D ）内取值的概率为 P (X , Y)= D= D边缘概率密度对连续型随机变量(X,Y)，分量 X（或 Y）的概率密度称为(X,Y)关于 X（或 Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为fx (x) （或fy (y) ）。边缘概率密度fx (x)或fy (x)可由(X, Y)的概率密度 f(x, y)求出：fx (x) = f(x, y)dy， x + ; fy (x) = f(x, y)dx， y 0 ， D(Y) 0 ，称为 X 与 Y 的相关系数，记为pXY ，即pXY = Cov (X , Y )D(X ) D(Y )性质（1） pXY 1 ， pxx =

20、1（2） pXY = 1常存在常数 a, b 使P X = aX + b= 1且 a 牛 0 。（3）若相关系数 pXY = 0 则称 X 与 Y 不相关。6 / 12常见随机变量的方差离散型分布分布律或概率密度期望 E(X )方差 D(X )X 服从参数为 p的 0-1 分布P X = 0= q ， q = 1 p ，P X = 1= p ， 0 p 1pp(1 p)X 服从二项分布X B(n, p)设 X B(n, p) ，即pi = PX = i= Cn(i)piq ni（i = 0,1,2, , n）， q = 1 pnpnpqX 服从泊松分布X P()设 X P()其分布律为

21、P X = i= （i = 0,1,2, ）连续型X 服从均匀分布X U (a, b)设随机变量 X 在a, b上服从均匀分布，概率密度为( 1f (x) =b a| , a x 0的指数分布，概率密度为f (x) =(ex , x 0,l0, x 0,11 2X 服从正态分布X N (,2 )设 X N (,2 )概率密度为21 (x)2f (x) = e 22 ，父 x 0，有P X E(X ) ，或 PX E(X ) 1 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理设随机变量 Zn 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数， p 是事件A 发生的概率，则对于任意实数 x ， n(l) PZn

22、 x = 父 e t2(2) dt = (x) ,其中 q = 1 p , (x)为标准正态分布函数.独立同分布序列的中心极限定理设 X1 , X2 , , Xn , 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差n E (Xi ) = , D(Xi ) = 2 (i = 1,2, )。记随机变量 Y = Xi n的分布函数为 Fn (x)， n则对于任意实数x ，有n(l) Fn (x) = n(l) P Yn x= n(l) P x = 父 edt = (x)，其中 (x)为标准正态分布函数当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和 Zn = Xi

23、的分布近似于正态分布 N(n, n2 ).n 个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布.中心极限定理表明，不论 X1 , X2 , , Xn , 同服从什么分布，当n 充分大时，其和 Zn 近似服从正态分布若 X1 , X2 , , Xn , 的平均值 X = Xi,有 E(X )= E(Xi ) = ,D (X )= D (Xi ) = ，它的标准化随机变量为 Yn = 。从而有Yn 的分布函数为 Fn (x) ，有 n(l)Fn (x) = 父 e dt = (x) 。当 n 充分大时，独立同分布随机变量的平均值 X =N(|(, Xi 的分布近似于正态分布第六章

24、统计量及其抽样分布知识点名称内容样本方差与样本标准差1、样本方差：设 x1 , x2 , , xn 为取自某总体的样本，则它关于样本均值 x 的平均偏差平方和 s2 = (xi x )2 ，称为样本方差，其算术根 s = 称为样本标准差.样本标准差与样本均值具有相同的度量单位.2、定理：设总体X具有二阶矩，即E (X ) = , D(X ) = 2 1) ，D(T ) = (n 2)； = t1 4.n伪 2lim f (x) = 1 e .第七章参数估计知识点名称内容矩估计法替换原理（后称此法为矩法）1、用样本矩替换总体矩（矩可以是原点矩也可以是中心矩）；2、用样本矩的函数替

25、换相应的总体矩的函数。3、基本思想：在总体存在所需要的各阶矩的条件下，用样本的各阶矩去估计总体的相应的各阶矩（统计思想（替换思想），实质是用经验分布函数去替换总体分布）。4、方法步骤：求两矩作方程，解方程得估计。在总体分布形式未知场合可对各种参数作出估计，如：用样本均值 x 估计总体均值 E(X ) ，即 E()(X ) = X ；用样本二阶中心矩 Sn(2)估计总体方差D(X) ，即 D(X ) = Sn(2) ，其中sn 2 = 1 (xi (x)2无偏性估计点估计的评价标准包括：相合性、无偏性估计有效性设( ) = ( )(x1 , , xn )是的一个估计，的参数空间为 ,若

26、对任意的 e ,有 E()= ,则称( )是的无偏估计，否则称为有偏估计注意：设 x1 , x2 , , xn 是取自总体 X 的样本， E(X ) = , D(X ) = 2 ，由于 E (X )= E (X ) = , E (S 2 )= 2 ，故样本均值 X 是总体均值的无偏估计量，样本方差 S 2 是总体方差2 的无偏估计量.无偏性不具有不变性，从而 S 不是的无偏估计单个正态总9 / 12体参数的置信区间所估参数条件估计函数置信区间2 已知(x )u = L 2 n 2 n |x ua , x + ua |2 未知(x )t = s |x ta L 2n 2 n (n 1) s

27、 , x + ta (n 1) s 2 未知2 (n 1)s2 X = 22 Xa L 2 | (n 1)s 2 (n 1)s 2 | |(n 1) (n 1) , X2 a1 2第八章假设检验知识点名称内容两类错误第一类错误：原假设H0 为真，但由于样本的随机性，使样本观察值落入拒绝域，这时所作的判断便是拒绝H0，这类错误称为第一类错误，简称弃真.它发生的概率就是显著性水平a ：a = P 拒绝H0 | H0为真第二类错误：原假设H0 为假，但由于样本的随机性，使样本观察值落入接受域，这时所作的判断便是保留H0 ，这类错误称为第二类错误，简称采伪，它发生的概率记为 : = P 接受H0 | H1为真判真实情况接受H0(x1 , x2 , , xn ) GW拒绝H0(x1 , x2 , , xn ) GWH0成立正确第一类错误H1成立第二类错误正确检验由服从标准正态分布的检验统计量作检验的方法称为检验法方差已知时，单个正态

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