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1、2021-2022学年江西省吉安市泰和县九年级（上）期末数学试卷一、精心选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1（3分）二次函数y（x2）2+7的顶点坐标是（）A（2，7）B（2，7）C（2，7）D（2，7）2（3分）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（）ABCD3（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A80（1+x）2100B100（1x）280C80（1+2x）100D80（1+x2）1004（3分）关于反比例函数
2、y，下列说法中错误的是（）A它的图象分布在一、三象限B当x0时，y的值随x的增大而减小C当x1时，y3D若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上5（3分）如图，ABC中，BD、CE是两条中线，则SADE：SDEF（）A2：1B4：1C3：1D5：26（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是（）ABCD二、耐心填一填（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7（3分）若，则的值为 8（3分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB2m，它的影子BC1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN1.8m，MN0.
3、8m，木竿PQ的长度为 9（3分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若AED50，则BCF 度10（3分）一元二次方程x24x+20的两根为x1，x2，则x124x1+2x1x2的值为 11（3分）如图，A、B两点分别在反比例函数y（x0）和y（x0）的图象上，且ABx轴，C为x轴上任意一点，则ABC的面积为 12（3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB8，AD7，E为AB上一点，AE5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 三、细心做一做（本大题共5小题，每小题6分，共30
4、分）13（6分）（1）解方程：2（x1）x（x1）；（2）计算：|3|+4sin45tan6014（6分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BMDN，AC2MO求证：四边形AMCN是矩形15（6分）已知关于x的一元二次方程x2（m3）xm0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22x1x27，求m的值16（6分）如图，在所给的88方格纸中，每个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点叫格点，点A，B均在格点上请画出符合要求的格点四边形（格点四边形是指四边形的各顶点均在小正形的顶点上）（1）在图1中画出一个以AB为边的矩形（2）在图
5、2中画出一个以AB为对角线的正方形17（6分）如图，在ABC中，A30，B45，AC，求AB的长四、沉着冷静，周密考虑（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18（8分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37方向如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，sin370.6，cos370.80，tan370.75）
6、19（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O（1）求证：AOMCON；（2）若AB4，AD8，求AE的长20（8分）为助力泰和县“四城同创“（全国文明城市、全国卫生县城、国家森林城市、省级生态园林城市）工作深入开展，某校组织志愿者进行宣传活动班主任陈老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，陈老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名（
7、1）该班男生“小刚被抽中“是 事件，“小悦被抽中“是 事件（填“不可能“或“必然“或“随机“）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠和小艳被同时抽中“的概率五、开动脑筋，再接再厉（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21（9分）某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元；（2）在（1）问条件下，若商场获得了1
8、0000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？22（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PFAE于F（1）求证：PFAABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PAx，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由六、充满信心，成功在望（本大题共12分）23（12分）如图，抛物线yax+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，与x轴相交于A、B两点，
9、与y轴相交于C，OAOC，点A的坐标为（3，0）（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在抛物线上，且SPOC4SBOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值2021-2022学年江西省吉安市泰和县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1（3分）二次函数y（x2）2+7的顶点坐标是（）A（2，7）B（2，7）C（2，7）D（2，7）【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可【解答】解：二次函数y（x2）2+7为顶点式，图象的顶点坐标是（2，7）故选：B【点评】本题主要考查了二次函数的
10、性质，掌握ya（xh）2+k的顶点坐标为（h，k）是解决问题的关键2（3分）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（）ABCD【分析】先求出学生的总数，再求出可能出现的情况，求出其比值即可【解答】解：共有甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生，随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性故选：B【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比3（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A80（1+x）2100
11、B100（1x）280C80（1+2x）100D80（1+x2）100【分析】利用增长后的量增长前的量（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）（1+x）100或80（1+x）2100故选：A【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量
12、关系式，列出方程4（3分）关于反比例函数y，下列说法中错误的是（）A它的图象分布在一、三象限B当x0时，y的值随x的增大而减小C当x1时，y3D若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上【分析】直接利用反比例函数的性质：图象、增减性、图象上坐标特点，分别判断得出答案【解答】解：A关于反比例函数y，它的图象分布在一、三象限，正确，不合题意；B关于反比例函数y，当x0时，y的值随x的增大而减小，正确，不合题意；C关于反比例函数y，当0x1时，y3，原说法错误，符合题意；D关于反比例函数y，若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上，正确，不合题意；故选：C【点评】此题主要考查了反比
13、例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键5（3分）如图，ABC中，BD、CE是两条中线，则SADE：SDEF（）A2：1B4：1C3：1D5：2【分析】由题意可得DE为三角形的中位线，利用中位线定理得到DEBC，DEBC，可得出DEFBCF，进而得到面积之比，且得到SCDESADE，进而求出所求【解答】解：在ABC中，两条中线BD、CE相交于点F，DE为中位线，SCDESADE，DEBC，DEBC，DEFBCF，CF2EF，SDEFSDCF，SDEFSCDE，SDEFSADE，SADE：SDEF3：1故选：C【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及三角形面积，熟练掌握相似三角形的
14、判定和性质定理是解本题的关键6（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是（）ABCD【分析】证明BEFDAF，得出EFAF，EFAE，由矩形的对称性得：AEDE，得出EFDE，设EFx，则DE3x，由勾股定理求出DF2x，再由三角函数的定义即可得出答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，点E是边BC的中点，BEBCAD，BEFDAF，EFAF，EFAE，点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AEDE，EFDE，设EFx，则DE3x，DF2x，tanBDE；故选：A【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等
15、知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键二、耐心填一填（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7（3分）若，则的值为2.5【分析】+1；因为，直接代入计算【解答】解：+1+12.5故答案为2.5【点评】解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待8（3分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB2m，它的影子BC1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN1.8m，MN0.8m，木竿PQ的长度为 1.6m【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可【解答】解：设木竿PQ长为xm，依题意得，解得x1.6，答：木竿PQ长度为1.6m，故答案为：1.6
16、m【点评】本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论9（3分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若AED50，则BCF50度【分析】由“SAS”可证ADFCDF，可得DAFDCF，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解【解答】解：方法1：四边形ABCD是菱形，ADCD，ADBC，ADFCDF，在ADF和CDF中，ADFCDF（SAS），DAFDCF，AED50，DAE+ADE18050130，ADE+DCF130，ADBC，ADE+BCD180
17、，ADE+BCF+DCF180，BCF18013050，故答案为：50方法2：四边形ABCD是菱形，BCAB，CBFABF，ABCD，BAEAED50，在CBF和ABF中，CBFABF（SAS），BCFBAF50，故答案为：50【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键10（3分）一元二次方程x24x+20的两根为x1，x2，则x124x1+2x1x2的值为2【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x124x12、x1x22，将其代入x124x1+2x1x2中即可求出结论【解答】解：一元二次方程x24x
18、+20的两根为x1、x2，x124x12，x1x22，x124x1+2x1x22+222故答案为：2【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键11（3分）如图，A、B两点分别在反比例函数y（x0）和y（x0）的图象上，且ABx轴，C为x轴上任意一点，则ABC的面积为 1【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出SABCSABOSBOMSAOM2，进而得出12|k|122，求解即可【解答】解：如图，延长BA交y轴于点M，连接OA，OB，直线AB与x轴平行，SAOM1，SBOM2，SABCSABOSBOMSAOM211，故答案为：1【点评】本题考
19、查反比例函数图象上点的坐标特征，k的几何意义，理解反比例函数k的几何意义是解决问题的关键12（3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB8，AD7，E为AB上一点，AE5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是5或4或5【分析】分情况讨论：当APAE5时，则AEP是等腰直角三角形，得出底边PEAE5即可；当1PEAE5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等边AP1即可；当P2AP2E时，底边AE5；即可得出结论【解答】解：如图所示：当APAE5时，BAD90，AEP是等腰直角三角形，底边PEAE5；当P1EAE
20、5时，BEABAE853，B90，P1B4，底边AP14；当P2AP2E时，底边AE5；综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5或4或5；故答案为：5或4或5【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键三、细心做一做（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13（6分）（1）解方程：2（x1）x（x1）；（2）计算：|3|+4sin45tan60【分析】（1）先移项得到2（x1）x（x1）0，然后利用因式分解法解方程；（2）根据绝对值的意义和特殊角的三角函数值得到原式32+4，然后进行二次根式的混合运算【解答】解：（1
21、）2（x1）x（x1）0，（x1）（2x）0，x10或2x0，所以x11，x22；（2）原式32+432+230【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了实数的运算14（6分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BMDN，AC2MO求证：四边形AMCN是矩形【分析】由平行四边形的性质可得OAOC，OBOD，可得OMON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MNAC，可得结论【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，BMDN，OBBMODDN，即OMON
22、，四边形AMCN是平行四边形，MONO，MN2MO，AC2MO，MNAC，四边形AMCN是矩形【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键15（6分）已知关于x的一元二次方程x2（m3）xm0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22x1x27，求m的值【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值【解答】（1）证明：x2（m3）xm0，（m3）241（m）m22m+9（m1）2+80，方程有两个不相等的实
23、数根；（2）x2（m3）xm0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22x1x27，（m3）23（m）7，解得，m11，m22，即m的值是1或2【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答16（6分）如图，在所给的88方格纸中，每个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点叫格点，点A，B均在格点上请画出符合要求的格点四边形（格点四边形是指四边形的各顶点均在小正形的顶点上）（1）在图1中画出一个以AB为边的矩形（2）在图2中画出一个以AB为对角线的正方形【分析】（1）根据矩形的定义画出图形即可；（2）根据正方形的定义画出图形即可【
24、解答】解：（1）如图1中，矩形ABCD即为所求；（2）如图2中，正方形AEBF即为所求【点评】本题考查作图应用与设计作图，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型17（6分）如图，在ABC中，A30，B45，AC，求AB的长【分析】过C作CDAB于D，求出BCDB，推出BDCD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案【解答】解：过C作CDAB于D，ADCBDC90，B45，BCDB45，CDBD，A30，AC2，CD，BDCD，由勾股定理得：AD3，ABAD+BD3+，答：AB的长是3+【点评】
25、本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目四、沉着冷静，周密考虑（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18（8分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37方向如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，sin
26、370.6，cos370.80，tan370.75）【分析】根据题意得：ACD70，BCD37，AC80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案【解答】解：由题意得：ACD70，BCD37，AC80海里，在直角三角形ACD中，CDACcosACD27.2海里，在直角三角形BCD中，BDCDtanBCD20.4海里答：还需航行的距离BD的长为20.4海里【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键19（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交
27、于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O（1）求证：AOMCON；（2）若AB4，AD8，求AE的长【分析】（1）根据矩形的性质得出ABCD，求出MN，AOCO，再根据全等三角形的判定定理AAS推出即可；（2）根据矩形的性质得出ABCD4，根据线段垂直平分线的性质得出AECE，再根据勾股定理求出即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，MN，AC的垂直平分线是MN，AOCO，在AOM和CON中，AOMCON（AAS）；（2）解：连接CE，设AEx，则DE8x，AC的垂直平分线是MN，AECEx，四边形ABCD是矩形，AB4，DCAB4，ADC90，由勾股定理得：DE2+DC2CE
28、2，（8x）2+42x2，解得：x5，即AE5【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，能熟记矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解此题的关键20（8分）为助力泰和县“四城同创“（全国文明城市、全国卫生县城、国家森林城市、省级生态园林城市）工作深入开展，某校组织志愿者进行宣传活动班主任陈老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，陈老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名（1）该班男生
29、“小刚被抽中“是 不可能事件，“小悦被抽中“是 随机事件（填“不可能“或“必然“或“随机“）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠和小艳被同时抽中“的概率【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；（2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可【解答】解：（1）该班男生“小刚被抽中“是不可能事件，“小悦被抽中“是随机事件；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为，故答案为：不可能，随机，；（2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（
30、D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知，共有12种等可能结果，其中“小惠和小艳被同时抽中“的有2种结果，所以“小惠和小艳被同时抽中“的概率为【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比五、开动脑筋，再接再厉（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21（9分）某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件
31、和销售该品牌玩具获得利润w元；（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【分析】（1）根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出y与x之间的关系式；根据销售问题的利润售价进价就可以表示出w与x之间的关系；（2）根据题意得方程求得x150，x280，于是得到结论；（3）根据销售单价不低于45元且商场要完成不少于480件的销售任务求得45x52，根据二次函数的性质得到当45x52时，y随x增大而增大
32、，于是得到结论【解答】解：（1）y60010（x40）10x+1000，w（10x+1000）（x30）10x2+1300x30000；（2）根据题意，得：10x2+1300x3000010000，解得：x150，x280，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）根据题意得，解得：45x52，w10x2+1300x3000010（x65）2+12250，a100，对称轴x65，当45x52时，y随x增大而增大当x52时，W最大值10560（元），答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10560元【点评】本题考查了一元二次方程的解法的运用，二次函数的解析式的运用，二
33、次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键22（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PFAE于F（1）求证：PFAABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PAx，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由【分析】（1）在PFA与ABE中，易得PAFAEB及PFAABE90；故可得PFAABE；（2）根据题意：若EFPABE，则PEFEAB；必须有PEAB；分两种情况进而列出关系式【解答】（1）证明：ADBC，PAFAEBPFAABE90，PFAABE（2）解：若EFPABE，则P
34、EFEABPEAB四边形ABEP为矩形PAEB2，即x2若PFEABE，则PEFAEBPAFAEB，PEFPAFPEPAPFAE，点F为AE的中点AE2，EFAE，即，PE5，即x5满足条件的x的值为2或5【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率六、充满信心，成功在望（本大题共12分）23（12分）如图，抛物线yax+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OAOC，点A的坐标为（3，0）（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在抛物线上，且SPOC4S
35、BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值【分析】（1）根据OAOC，可求c；再依据对称轴是直线x1，点A的坐标为（3，0），可求a、b，即得求抛物线解析式（2）可求BOC的面积，根据SPOC4SBOC，可求P点坐标（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，m3）（3m0），则点D（m，m2+2m3），根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值【解答】解：（1）令x0，则yc，OCc，OAOC，3c，即c3对称轴是直线x1，点A的坐标为（3，0），根据题意得：，解之：抛物线解析式yx2+2x3（2）当x0时，y3，点C（0，3），即OC3，A，B关于对称轴对称，B（1，0），即OB1，SBOCOBOC，设P（x，x2+2x3），SPOC3|x|，SPOC4SBOC，|x|4，x4，P（4，21），（4，5）（3）点A（3，0），点C（0，3），直线AC解析式yx3，设点Q（m，m3）（3m0），则点D（m，m2+2m3），QDm3（m2+2m3）（m+）2+，当m时，QD的最大值为 【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键