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1、2021-2022学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下西表格中）1（3分）一元二次方程x240的根是（）Ax2Bx2Cx4Dx42（3分）如图，几何体的俯视图是（）ABCD3（3分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）A每2次必有1次正面向上B必有5次正面向上C可能有7次正面向上D不可能有10次正面向上4（3分）已知abcd，则下列各式不成立的是（）ABCD5（3分）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A对角线互相平分B对角线相等C对角线互相垂直D对角线平分一组对角6（3分）已知反
2、比例函数y经过平移后可以得到函数y1，关于新函数y1，下列结论正确的是（）A当x0时，y随x的增大而增大B该函数的图象与y轴有交点C该函数图象与x轴的交点为（1，0）D当0x时，y的取值范围是0y1二、填空题（本题滿分18分，共有6道小题，每小题3分）7（3分）班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛甲同学被选中的概率是 8（3分）反比例函数y的图象在二、四象限，则m应满足 9（3分）两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多边形的面积为 10（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，BAC30，AB5cm，则它的面积为 1
3、1（3分）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为 12（3分）如图，在ABC中，ABAC2，BAC90，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当ACP为直角三角形时，则BP的长为 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13（6分）解方程：（1）x22x+10；（2）2x27x+3014（6分）某校准备从八年级1班、2班的团员中选取两名同学作为运动会的志愿者，已知1班有4名团员（其中男生2人，女生2人）2班有3名团员（其中男生1人，女生2人）（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同
4、学是男生的概率为 ；（2）如果分别从1班、2班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率15（6分）作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，1）、（2，1）（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2，画出图形；（2）分别写出B、C两点的对应点B、C的坐标16（6分）某食品包装盒抽象出的几何体的三视图如图所示（俯视图为等边三角形）（1）写出这个几何体的名称；（2）若矩形的长为10cm，等边三角形的边长为4cm，求这个几何体的表面积17（6分）已知关于x的一元二次方程x2（2m2）x+（m22m
5、）0（1）请说明该方程实数根的个数情况；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）8，求m的值四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18（8分）晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成粗线）；（2）如果小亮的身高AB1.6m，测得小亮影长BC2m，小亮与灯杆的距离BO13m，请求出灯杆的高PO19（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）（1）求过点B的反比例函数y的解析式；（
6、2）连接OB，AC交于点H，过点B作BDAC交x轴于点D，求直线BD的解析式20（8分）某商品每天可售出300件，每件获利2元为了尽快减少库存，店主决定降价销售根据经验可知，如果每件降价0.1元，平均每天可多售出20件，店主要想平均每天获利500元，每件商品应降价多少元？五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21（9分）如图，在四边形ABCD中，BC点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AEGFGC（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当FGC与EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形请说明理由22（9分）在ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，ABC的面积为2（1）
7、求y关于x的函数关系式，并说明x的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）若直线yx+m与上述函数图象交于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），则下面四个结论中，正确的是 （直接填序号）x1y1x2y2；x1+y1x2+y2；点P，Q关于原点成中心对称；点P，Q关于直线yx成轴对称六（本大题共12分）23（12分）回归教材（1）北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，POm，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？最短线段是 ，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 小试牛刀（2）如图2所示
8、，RtABC中，ABc，ACb，BCa则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为 尝试应用（3）如图3所示，ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60得到BE，连接PE、DE、CE请直接写出DE的最小值在的条件下求BPE的面积拓展提高（4）如图4，RtBEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AEEBFACDAB3，BC4，请求出AE的最小值2021-2022学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下西表格中）1（3分）一
9、元二次方程x240的根是（）Ax2Bx2Cx4Dx4【分析】应用直接开平方法，求出一元二次方程x240的根是多少即可【解答】解：x240，x24，x2，一元二次方程x240的根是x2故选：B【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，要熟练掌握，2（3分）如图，几何体的俯视图是（）ABCD【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案【解答】解：从上面看，几何体的俯视图是故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图3（3分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）A每2次必有1次正面向上B必有5次正面向上C可能有7次正面向上D不可能有10次正面向上【
10、分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，进而得出答案【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，所以掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有7次正面向上；故选：C【点评】本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比4（3分）已知abcd，则下列各式不成立的是（）ABCD【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行变形即可得解【解答】解：A、，abcd，不符合题意；B、，abcd，不符合题意；C、，abcd，不符合题意；D、，cd+c+dab+a+b，符合题意故选：D【点评】本题考查了比例的性
11、质，熟记并熟练应用两内项之积等于两外项之积的性质是解题的关键5（3分）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A对角线互相平分B对角线相等C对角线互相垂直D对角线平分一组对角【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质进行分析，从而得到答案【解答】解：A、三者均具有此性质，故正确；B、菱形不具有此性质，故不正确；C、矩形不具有此性质，故不正确；D、矩形不具有此性质，故不正确；故选：A【点评】主要考查正方形、矩形、菱形的性质6（3分）已知反比例函数y经过平移后可以得到函数y1，关于新函数y1，下列结论正确的是（）A当x0时，y随x的增大而增大B该函数的图象与y轴有交点C该函数图象与x轴的交点为（
12、1，0）D当0x时，y的取值范围是0y1【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数y当x0或x0时，y随x的增大而减小，且关于（0，0）对称；经过平移后得到y1，关于（0，1）对称，增减性不变【解答】解：A当x0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意；B该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；C该函数图象与x轴的交点为（1，0），故本选项正确，符合题意；D当0x时，y的取值范围是y1，故本选项错误，不符合题意；故选：C【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系二、填空题（本题滿分18分，共有6道小题
13、，每小题3分）7（3分）班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛甲同学被选中的概率是 【分析】根据概率公式求解即可【解答】解：班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛甲同学被选中的概率是：14故答案为：【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比8（3分）反比例函数y的图象在二、四象限，则m应满足 m3【分析】由反比例函数图象位于第二、四象限得到km30，即可求出m的范围【解答】解：反比例函数y的图象在第二、四象限，km30，解得m3；故答案为：m3【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题9（3分）两个相似多边
14、形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多边形的面积为 64cm2【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可【解答】解：两个相似多边形的周长比是3：4，两个相似多边形的相似比是3：4，两个相似多边形的面积比是9：16，较小多边形的面积为36cm2，较大多边形的面积为64cm2，故答案为：64cm2【点评】本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方10（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，BAC30，AB5cm，则它的面积为 20cm2【分析】根据SABCD2SA
15、BC，所以求SABC可得解作BEAC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算SABC【解答】解：如图，过B作BEAC于E在直角三角形ABE中，BAC30，AB5cm，BEABsinCAB52.5（cm），SABCACBE210（cm2），SABCD2SABC20cm2故答案为：20cm2【点评】本题综合考查了平行四边形的性质，解直角三角形的应用等先求出对角线分成的两个三角形中其中一个的面积，然后再求平行四边形的面积，这样问题就比较简单了11（3分）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为 11【分析】根据主干、枝干和小分支总数
16、共133根，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：依题意得：1+x+x2133，整理得：x2+x1320，解得：x111，x212（不合题意，舍去）故答案为：11【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键12（3分）如图，在ABC中，ABAC2，BAC90，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当ACP为直角三角形时，则BP的长为 2或+1或1或0【分析】分ACP90或APC90或CAP90三种情形，分别画出符合题意的图形，从而解决问题，【解答】解：在ABC中，ABAC2，BAC90，O为AC的中点，AO1，BO，若A
17、CP90时，OCPOAB90，COAO，COPAOB，OCPOAB（ASA），OPBO，BPOP+BO2；若APC90，且点P在BO延长线上时，O为AC的中点，OP，BPOP+BO1+；若APC90，且点P在线段BO上时，O为AC的中点，OP，BPBOOP1，若CAP90，则点P与B重合，此时BP0，综上所述，线段BP的长为：2或+1或1或0故答案为：2或+1或1或0【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13（6分）解方程：（1）x22x+10；（2）2x27x+
18、30【分析】（1）利用完全平方公式将方程的左边因式分解，继而得出关于x的一元一次方程，再进一步求解即可（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可【解答】解：（1）x22x+10，（x1）20，则x10，x1x21；（2）2x27x+30，（x3）（2x1）0，则x30或2x10，解得x13，x2【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法14（6分）某校准备从八年级1班、2班的团员中选取两名同学作为运动会的志愿者，已知1班有4名团员（其中男生2
19、人，女生2人）2班有3名团员（其中男生1人，女生2人）（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为 ；（2）如果分别从1班、2班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率【分析】（1）一共有7名团员，其中男生有3人，可求出抽取一人为男生的概率；（2）用列表法列举出从1班、2班各取一名团员所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可【解答】解：（1）1班、2班共有4+37名团员，其中男生有2+13人，因此从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为，故答案为：；（2
20、）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种能可能出现的结果数，其中一男一女的有6种，所以这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键15（6分）作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，1）、（2，1）（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2，画出图形；（2）分别写出B、C两点的对应点B、C的坐标【分析】（1）延长BO到B，使OB2OB，则B就是B的对应点，同样可以作出C的对称点，则对应的三角形即可得到；（2）根据（1）的作图即可得到B、
21、C的坐标【解答】解：（1）OBC是所求的三角形；（2）B的坐标是（6，2），C的坐标是（4，2）【点评】本题考查了画位似图形及画三角形的内心画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形16（6分）某食品包装盒抽象出的几何体的三视图如图所示（俯视图为等边三角形）（1）写出这个几何体的名称；（2）若矩形的长为10cm，等边三角形的边长为4cm，求这个几何体的表面积【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；（2）侧面积
22、为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可【解答】解：（1）这个几何体是三棱柱；（2）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即C4312cm，根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：S1210120cm2这个几何体的表面积120+（cm2），答：这个几何体的表面积为（120+8）cm2【点评】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱17（6分）已知关于x的一元二次方程x2（2m2）x+（m22m）0（1）请说
23、明该方程实数根的个数情况；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）8，求m的值【分析】（1）根据根的判别式先求出的值，再即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得出x1+x22m2，x1x2m22m，代入计算即可求出答案【解答】解：（1）由题意可知：（2m2）24（m22m）40，方程有两个不相等的实数根（2）x1+x22m2，x1x2m22m，（x1+1）（x2+1）8，（x1+1）（x2+1）x1x2+（x1+x2）+18，2m2+m22m+18，m29，m3或m3故m的值为3或3【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解
24、法，本题属于中等题型四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18（8分）晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成粗线）；（2）如果小亮的身高AB1.6m，测得小亮影长BC2m，小亮与灯杆的距离BO13m，请求出灯杆的高PO【分析】（1）直接根据题意得出影子BC的位置；（2）根据题意得出POCABC，进而利用相似三角形的性质得出PO的长【解答】解：（1）如图所示：BC即为所求；（2）由题意可得：POOC，ABOC，POCABC90，且OCPBCA，P
25、OCABC，又AB1.6，BC2，OB13，解得：PO12，答：灯杆的高PO为12m【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出POCABC是解题关键19（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）（1）求过点B的反比例函数y的解析式；（2）连接OB，AC交于点H，过点B作BDAC交x轴于点D，求直线BD的解析式【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）证明OBFBDF，利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可【解答】解：（1）过点A作AEx
26、轴，过B作BFx轴，垂足分别为E，F，如图，A（3，4），OE3，AE4，OA5，四边形OABC是菱形，AOABOC5，ABx轴，EFAB5，OFOE+EF3+58，B（8，4），过B点的反比例函数解析式为y，把B点坐标代入得k32，反比例函数解析式为y；（2）四边形OABC是菱形，ACOB，BDAC，OBBD，OBD90，OBF+DBF90，DBF+BDF90，OBFBDF，又OFBBFD90，OBFBDF，解得DF2，ODOF+DF8+210，D（10，0）设BD所在直线解析式为yk1x+b，把B（8，4），D（10，0）分别代入得：，解得直线BD的解析式为y2x+20【点评】此题考查了待
27、定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键20（8分）某商品每天可售出300件，每件获利2元为了尽快减少库存，店主决定降价销售根据经验可知，如果每件降价0.1元，平均每天可多售出20件，店主要想平均每天获利500元，每件商品应降价多少元？【分析】设每件商品应降价x元，那么就多卖出20x件，根据每天可售出300件，每件获利2元为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种商品上获利500元，可列方程求解【解答】解：设每件童装应降价
28、x元，由题意得：（2x）（300+200x）500，解得：x1或x因为减少库存，所以应该降价1元【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21（9分）如图，在四边形ABCD中，BC点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AEGFGC（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当FGC与EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形请说明理由【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AEFG根据对边对等角GFCC，和等腰梯形的性质得到BC，则BGFC，得到AEFG（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，
29、只需证明有一个角是直角根据三角形FGC的内角和是180，结合FGC2EFB和GFCC，得到BFE+GFC90则EFG90，于是得到结论【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，BC，GFGC，CGFC，BGFC，ABGF，即AEGF，AEGF，四边形AEFG是平行四边形（2）解：当FGC2EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：FGC+GFC+C180o，GFCC，FGC2EFB，2GFC+2EFB180，BFE+GFC90EFG90四边形AEFG是平行四边形，四边形AEFG是矩形【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键22（9分）在ABC中，BC边的长
30、为x，BC边上的高为y，ABC的面积为2（1）求y关于x的函数关系式，并说明x的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）若直线yx+m与上述函数图象交于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），则下面四个结论中，正确的是 （直接填序号）x1y1x2y2；x1+y1x2+y2；点P，Q关于原点成中心对称；点P，Q关于直线yx成轴对称【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；（3）结合一次函数和反比例函数的性质进行判断即可【解答】解：（1）在ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，ABC的面积为2，xy2，xy4，y关于x
31、的函数关系式是y，x的取值范围为x0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示； （3）点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）在y（x0）的图象上，y1，y2，x1y14，x2y24，x1y1x2y2，故结论正确；根据直线yx+m与反比例函数y（x0）的对称性可知：点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）关于直线yx对称，x1y2，x2y1，x1+y1x2+y2，故结论正确；点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）均在第一象限，点P，Q不能关于原点成中心对称，故结论不正确；由可知，结论正确；综上，正确的结论有，故答案为：【点评】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的性质，一次函数与几何变换，
32、正确的理解题意是解题的关键六（本大题共12分）23（12分）回归教材（1）北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，POm，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？最短线段是 OP，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短小试牛刀（2）如图2所示，RtABC中，ABc，ACb，BCa则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为 尝试应用（3）如图3所示，ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60得到BE，连接PE、DE、CE请直接写出DE的最小值在的条件
33、下求BPE的面积拓展提高（4）如图4，RtBEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AEEBFACDAB3，BC4，请求出AE的最小值【分析】（1）根据垂线段最短解决问题即可；（2）如图2中，当PCAB时，CP的值最小，利用面积法求解即可；（3）证明ABPCBE（SAS），推出BAPBCE30，推出点E的运动轨迹是射线CE（BCE30），推出当DECE时，DE的值最小，此时DECE1，可得DE的最小值为1；利用勾股定理求出PB的长，可得结论；（4）如图4中，过点B作BHAC于点H，连接EH由BEFBHF90，推出E，B，F，H四点共圆，证明AHEACD定值，推出点E在射线HE上运动，当
34、AEEH时，AE的值最小，求出AH，sinAHE，可得结论【解答】解：（1）由题意，观察图象可知，PCPAPBOPOPm，垂线段是OP，结论：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故答案为：OP，垂线段最短；（2）如图2中，当PCAB时，CP的值最小，ACB90，ACBCABCP，CP，故答案为：；（3）如图3中，ABC是等边三角形，ABACBC4，BACABC60，ADCB，BDCD2，BADCADBAC30，PBEABC60，ABPCPE，BABC，BPBE，ABPCBE（SAS），BAPBCE30，点E的运动轨迹是射线CE（BCE30），当DECE时，DE的值最小，此时DE
35、CE1，DE的最小值为1；DEEC，CD2，DCE30，ECCDcos30，ABPCBE，APEC，AD2，DPADAP2，PB，SPBE（）2；（4）如图4中，过点B作BHAC于点H，连接EHBEFBHF90，E，B，F，H四点共圆，EHBEFB，AHE+EHB90，EBF+EFB90，AHFEBF，EBFACD，AHEACD定值，点E在射线HE上运动，当AEEH时，AE的值最小，四边形ABCD是矩形，ABCD3，BCAD4，D90，AC5，sinAHEsinACD，SACBABCBACBH，BH，AH，AE的最小值AHsinAHE【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题