《2022年中考数学总复习热点专题突破专题六几何图形动点的最值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学总复习热点专题突破专题六几何图形动点的最值问题.docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题六几何图形动点的最值问题几何图形动点的最值问题是安徽中考的高频考点,如2017年第10题、2019年第10题等.这类题目灵活且难度大.在运动中,引起量(线段的长、角的大小等)的变化,在量的变化过程中,探究存在的最值;需要综合利用三角形、四边形、圆等知识,以及轴对称、旋转、平移等图形变换的性质.解此类题时要分析动点(线)下,哪些量变化,哪些量不变,核心是应用转化思想,即利用全等、相似、轴对称、旋转等方法将动态问题转化为静态问题,然后利用“垂线段最短”“两点之间线段最短”等知识去解决问题.目录一、利用“垂线段最短”求最值二、“一线两点”型(一个动点+两个定点)类型1同侧线段和最小值问题类型2异
2、侧线段和最小值问题类型3同侧线段差最大值问题类型4异侧线段差最大值问题三、与圆有关的最值类型1点圆最值问题类型2线圆最值问题典例精析一、利用“垂线段最短”求最值典例1如图,在RtABC中,AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点,DEBC,DFAC,垂足分别为E,F,则线段EF的最小值为()A.45B.35C.52D.125【解析】如图,连接CD,DEBC,DFAC,ACB=90,四边形CEDF是矩形,EF=CD,由垂线段最短可知当CDAB时,线段CD的长最小,即EF的长最小,AC=3,BC=4,AB=AC2+BC2=5,CD=ACBCAB=125,即EF的最小值为125.【答案】 D直线外一
3、点P到定直线l的最短距离是这一点到l垂线段的长,如图.二、“一线两点”型(一个动点+两个定点)类型1同侧线段和最小值问题典例2(2021贵州毕节)如图,在菱形ABCD中,BC=2,C=120,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则AP+PQ的最小值为.【解析】连接PC,AC,CQ.四边形ABCD是菱形,ABP=CBP,且BA=BC,BP=BP,ABPCBP(SAS),PA=PC.ABCD,ABC+BCD=120,ABC=180120=60.AB=BC,ABC是等边三角形.AQ=QB,CQAB,CQ=BCsin 60=3.PA+PQ=PC+PQCQ,PA+PQ3,PA+PQ的最小值为3.
4、【答案】 3将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题,可作点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P,点P即为所求.类型2异侧线段和最小值问题典例3(2021山东枣庄)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=63,BD=6,P是AC上一动点,E是AB的中点,则PD+PE的最小值为()A.33B.63C.3D.62【解析】连接DE.由题可得当点P在DE上时,PD+PE的最小值为DE的长.四边形ABCD是菱形,AO=CO=33,BO=DO=3,ACBD,AB=AD,tan ABO=AOBO=3,ABO=60,ABD是等边三角形.E是AB的中点,DEAB.sin ABD=DE
5、BD,DE6=32,DE=33.【答案】 A根据两点之间线段最短,知PA+PB的最小值即为线段AB的长,连接AB交直线l于点P,点P即为所求.类型3同侧线段差最大值问题典例4如图,在等边ABC中,AB=4,AD是BC边上的中线,E是AD的中点.若P是AC上一点,则BPEP的最大值是.【解析】如图,连接BE并延长交AC于点P,此时BPEP取得最大值,最大值为BE的长,在等边ABC中,AD是BC边上的中线,BD=DC=2,AD=BDtan 60=23=23,则DE=12AD=3,在RtBDE中,BE=BD2+DE2=22+(3)2=7.【答案】 7根据三角形任意两边之差小于第三边,|PAPB|AB
6、,知当A,B,P三点共线时,等号成立,即|PAPB|的最大值为线段AB的长.连接AB并延长,与直线l的交点即为点P.类型4异侧线段差最大值问题典例5如图,在ABC中,ACB=90,BC=8,AC=6.若点P在ACB的平分线所在的直线l上,求|APBP|的最大值.【答案】在线段CB上取点A,使得AC=AC,连接AP.由题意知ACP=ACP.在ACP和ACP中,AC=AC,ACP=ACP,CP=CP,ACPACP(SAS),AP=AP,|APBP|=|APBP|.BC=8,AC=6,AB=BCAC=BCAC=2.在PAB中,BPAPAB,BPAPr,如图1,2,当D,E,O三点共线时,线段DE出现
7、最值,DE的最大值为d+r,DE的最小值为dr;()当点D在O上时,d=r,如图3,当D,E,O三点共线时,线段DE出现最值,DE的最大值为2r,DE的最小值为0;()当点D在O内时,dr,如图4,5,当D,E,O三点共线时,线段DE出现最值,DE的最大值为d+r,DE的最小值为rd.类型2线圆最值问题典例7(2021四川凉山州)如图,等边ABC的边长为4,C的半径为3,P为AB边上一动点,过点P作C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.【解析】连接CP,CQ,过点C作CHAB于点H.等边ABC的边长为4,AB=BC=4,BCH=12ACB=1260=30,BH=12AB=2,CH=32BC
8、=23.PQ为C的切线,CQPQ.在RtCPQ中,PQ=CP2-CQ2=CP2-3.P是AB边上一动点,当点P运动到点H时,CP最小,即CP的最小值为23,PQ的最小值为12-3=3.【答案】 3()如图,AB为O的一条定弦,C为圆上一动点.(1)如图1,若点C在优弧AB上,当CHAB且CH过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时ABC的面积最大;(2)如图2,若点C在劣弧AB上,当CHAB且CH的延长线过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时ABC的面积最大.()如图,O与直线l相离,P是O上的一个动点,设圆心O到直线l的距离为d,O的半径为r,则点P到直线l的最小距
9、离是dr(如图3),点P到直线l的最大距离是d+r(如图4).针对训练1.(2021湖北鄂州)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=23,BC=3.P为ABC内一点,且满足PA2+PC 2=AC 2.当PB的长度最小时,ACP的面积是( D )A.3B.33C.334D.332【解析】如图,取AC的中点O,连接OP,BO.PA2+PC2=AC2,APC=90,点P在以AC为直径的圆上运动.在BPO中,BPBOOP,当点P在线段BO上时,BP有最小值.O是AC的中点,APC=90,OP=AO=CO=3.tan BOC=BCCO=3,BOC=60,COP是等边三角形,SCOP=34OC2=34
10、3=334.OA=OC,SACP=2SCOP=332.2.如图,在RtABC中,ACB=90,AC=8,BC=23,P是ABC内一动点,且满足APC=150,连接BP,则BP的最小值为( B )A.274B.2318C.43D.21833-833【解析】如图,作APC的外接圆O,连接OA,OC,OB,OP,过点O作OHBC,交BC的延长线于点H.APC=150,AOC=60.OA=OC,AOC是等边三角形,AC=OC=OA=OP=8,ACO=60.在RtCOH中,OCH=30,OH=12OC=4,CH=3OH=43.BC=23,BH=63,OB=BH2+OH2=(63)2+42=231.BPO
11、B-OP,BP231-8,BP的最小值为2318.3.(2021江苏连云港)如图,正方形ABCD内接于O,线段MN在对角线BD上运动.若O的面积为2,MN=1,则AMN周长的最小值是( B )A.3B.4C.5D.6【解析】连接OC.由正方形的性质知C是点A关于BD的对称点,点A,O,C在同一条直线上,BDAC.O的面积为2,则圆的半径为2,BD=AC=22.过点C作CABD,使得CA=1,ACA=90.连接AA交BD于点N,取NM=1,M,N为所求点.ACMN,且AC=MN,四边形ANMC为平行四边形,AN=CM=AM,故AMN的周长=AM+AN+MN=AA+1为最小,在RtACA中,AA=
12、(22)2+12=3,则AMN的周长的最小值为3+1=4.4.(2021黑龙江七台河)如图,在RtAOB中,AOB=90,OA=4,OB=6,以点O为圆心,3为半径的O,与OB交于点C,过点C作CDOB,交AB于点D,P是OA上的动点,则PC+PD的最小值为210.【解析】延长CO交O于点E,连接ED,交OA于点P,则PC+PD的值最小,为线段DE的长.CDOB,DCB=90.AOB=90,DCB=AOB,CDOA,CDOA=BCOB,CD4=36,CD=2.在RtCDE中,DE=CD2+CE2=22+62=210,PC+PD的最小值为210.5.如图,AB是O的弦,C是优弧AB上一点,连接A
13、C,BC.若O的半径为4,ACB=60,则ABC的面积的最大值为123.【解析】连接OA,OB,过点O作ODAB,垂足为D,延长DO交O于点E,连接AE,BE.设点C到AB的距离为h,则SABC=12ABh,易得当点C与点E重合时,h取得最大值,即DE的长,此时ABC的面积也取得最大值,即最大值为ABE的面积.ACB=60,AOB=120,AOD=12AOB=60,OAD=30,OD=12OA=2,AD=23,AB=2AD=43,DE=OE+OD=4+2=6,此时SABE=12ABDE=12436=123.6.(2021湖南郴州)如图,在ABC中,AB=5,AC=4,sin A=45,BDAC交AC于点D.P为线段BD上的动点,则PC+35PB的最小值为165.【解析】过点P作PEAB于点E,过点C作CHAB于点H.BDAC,ADB=90.sin A=BDAB=45,AB=5,BD=4.由勾股定理,得AD=AB2-BD2=3,sin ABD=ADAB=PEPB=35,PE=35PB,PC+35PB=PC+PE,即C,P,E三点共线时,PC+35PB最小,最小值为CH的长.SABC=12ACBD=12ABCH,解得CH=165,PC+35PB的最小值为165.