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1、 专题03 二次函数与面积有关问题（专项训练）1（2022成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx3（k0）与抛物线yx2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B（1）当k2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB，BB，若BAB的面积与OAB的面积相等，求k的值；【解答】解：（1）当k2时，直线为y2x3，由得：或，A（3，9），B（1，1）；（2）当k0时，如图：BAB的面积与OAB的面积相等，OBAB，OBBBBC，B、B关于y轴对称，OBOB，ODBODB90，OBBOBB，OBBBBC，ODB90CDB，BDBD，BODBCD（ASA），ODC
2、D，在ykx3中，令x0得y3，C（0，3），OC3，ODOC，D（0，），在yx2中，令y得x2，解得x或x，B（，），把B（，）代入ykx3得：k3，解得k；当k0时，过B作BFAB交y轴于F，如图：在ykx3中，令x0得y3，E（0，3），OE3，BAB的面积与OAB的面积相等，OEEF3，B、B关于y轴对称，FBFB，FGBFGB90，FBBFBB，BFAB，EBBFBB，EBBFBB，BGE90BGF，BGBG，BGFBGE（ASA），GEGFEF，OGOE+GE，G（0，），在yx2中，令y得x2，解得x或x，B（，），把B（，）代入ykx3得：k3，解得k，综上所述，k的值为或；
3、2（2021枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当EAB的面积等于时，求E点的坐标；【解答】解：（1）对于yx+3，令yx+30，解得x6，令x0，则y3，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），抛物线yx2+bx+c经过坐标原点，故c0，将点A的坐标代入抛物线表达式得：036+6b，解得b2，故抛物线的表达式为yx22x；则抛物线的对称轴为x3，当x3时，yx22x3，则点M的坐标为（3，3）；（2）如
4、图1，过点E作EHy轴交AB于点H，设点E的坐标为（x，x22x），则点H（x，x+3），则EAB的面积SEHB+SEHAEHOA6（x+3x2+2x），解得x1或，故点E的坐标为（1，）或（，）；3（2021柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：yax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BEOD，垂足为E，若BE2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记BMN的面积为S1，ABN的面积为S2，求的最大值
5、【解答】解：（1）依题意，设ya（x+1）（x3），代入C（0，）得：a1（3），解得：a，y（x+1）（x3）x2x；（2）BE2OE，设OE为x，BE2x，由勾股定理得：OE2+BE2OB2，x2+4x29，解得：x1，x2（舍），OE，BE，过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BGTG于G，ETOOEB，OE2OBTE，TE，OT，E（，），直线OE的解析式为y2x，OE的延长线交抛物线于点D，解得：x11，x23（舍），当x1时，y2，D（1，2）；（3）如图所示，延长BC于点F，AFy轴，过A点作AHBF于点H，作MTy轴交BF于点T，过M点作MGBF于点J，AFMT，AFHM
6、TJ，AHBF，MJBF，AHFMJT90，AFHMJT，S1NBMJ，S2NBAH，设直线BC的解析式为ykx+b，将B，C两点代入得，解得：，直线BC的解析式为yx，当x1时，y（1）2，F（1，2），AF2，设M（x，x2x），MTx（x2x）（x）2+，a0，MTmax，4（2020宿迁）二次函数yax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取O
7、P中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面积为12时，求点P的坐标【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入yax2+bx+3，得，解得二次函数的解析式为y2x+3y1，E（4，1）（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CBCD设D（4，m），C（0，3），由勾股定理可得：42+（m3）262+32解得m3满足条件的点D的坐标为（4，3+）或（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n，2n+3），则Q（），设直线CQ的解析式为ykx+3，则nk+3解得k，于是CQ：y（）x+3，当x4时，y4（）+3n5，M（4，n5），MEn4SCQE
8、SCEM+SQEMn24n600，解得n10或n6，当n10时，P（10，8），当n6时，P（6，24）综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（6，24）5（2020淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（2，0），B，C三点的抛物线yax2+bx+（a0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得ADR的面积是OABC的面积的，求点R的坐标；【解答】解：（1）OA2BC，故函数的对称轴为x1，则x1，将点A的坐标代入抛物线表达式得：04a2b+，联立并解得，故抛物线的表达式为
9、：yx2+x+；（2）yx2+x+（x1）2+3，抛物线的顶点M（1，3）令y0，可得x2或4，点D（4，0）；ADR的面积是OABC的面积的，AD|yR|OAOB，则6|yR|2，解得：yR，联立并解得或，故点R的坐标为（1+，）或（1，）或（1，）或（1，）；6（2020天水）如图所示，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x1点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1m4），连接AC，BC，DC，DB（1）求抛物线的函数表达式；（2）当BCD的面积等于AOC的面积的时，求m的值；【解答】
10、解：（1）由题意得：，解得：，抛物线的函数表达式为：yx2+x+6；（2）过点D作DEx轴于E，交BC于G，过点C作CFED交ED的延长线于F，如图1所示：点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，6），OA2，OC6，SAOCOAOC266，SBCDSAOC6，当y0时，x2+x+60，解得：x12，x24，点B的坐标为（4，0），设直线BC的函数表达式为：ykx+n，则，解得：，直线BC的函数表达式为：yx+6，点D的横坐标为m（1m4），点D的坐标为：（m，m2+m+6），点G的坐标为：（m，m+6），DGm2+m+6（m+6）m2+3m，CFm，BE4m，SBCDSCDG+SBDGDG
11、CF+DGBEDG（CF+BE）（m2+3m）（m+4m）m2+6m，m2+6m，解得：m11（不合题意舍去），m23，m的值为3；7（2021沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点当QAB的面积等于PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；【解答】解（1）由题意得，b2，yx2+2x+3（x1）2+4，P（1，4）（2）如图1，作CEPD于E，C
12、 （0，3），B （3，0），直线BC：yx+3，D（1，2），可设Q（a，3a），CEPEDE，PCD是等腰直角三角形，SPCDPDCE211，AB|3a|2，4|3a|2，a2或a4Q（2，1）或（4，1）8（2021辽宁）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点C（1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PDx轴于点D，交AB于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PFPD于点P，使PFOA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF当矩形PEGF的面积是BOC面积的3倍时，求点P的坐标；【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的
13、表达式为yx2+x+3；（2）对于yx2+x+3，令yx2+x+30，解得x4或1，故点A的坐标为（4，0），则PF2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为yx+3，设点P的坐标为（x，x2+x+3），则点E（x，x+3），则矩形PEGF的面积PFPE2（x2+x+3+x3）3SBOC3BOCO31，解得x1或3，故点P的坐标为（1，）或（3，3）；9（2022南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA6，其顶点与x轴的距离是6（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线yx+m与抛物线的对称轴交于点Q当POQ与PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；【解答】解：（1）
14、OA6，抛物线的对称轴为直线x3，设抛物线的解析式为ya（x3）2+k，顶点与x轴的距离是6，顶点为（3，6），ya（x3）26，抛物线经过原点，9a60，a，y（x3）26；（2）设直线yx+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，E（0，m），F（m，0），OE|m|，AF|6+m|，直线yx+m与坐标轴的夹角为45，OM|m|，AN|6+m|，SPOQ：SPAQ1：3，OM：AN1：3，|m|：|6+m|1：3，解得m或m3；10.（2022本溪二模）如图，抛物线yx2+bx+c经过A（3，0），C（1，0）两点，与y轴交于点B（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线
15、上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；【解答】解：（1）将（3，0），（1，0）代入yx2+bx+c，得，解得，；（2）连接AM，设AB与OM的交点为N，作NHOA于点H，则NHOB，A（3，0），B（0，4），设直线AB的解析式为ykx+4，3k+40，k，yx+4，设点 M ，点N，SBMN：SABM1：4，SBMN：SABM1：4，BN：AN1：3，NHOB，ANHAOB，即，解得，直线OM的解析式为y4x，联立方程组，解得，点M在第一象限，点M的横坐标为；11（2022新抚区模拟）如图，直线ymx+n与
16、抛物线yx2+bx+c交于A（2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C（1）求抛物线与直线AB的解析式；（2）点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q，连接PB，当PBC的面积是ACQ面积的2倍时，求点P的坐标；【解答】解：（1）将A（2，0），B（2，2）代入yx2+bx+c得，解得，抛物线解析式为yx2+x+5将A（2，0），B（2，2）代入ymx+n得，解得，直线AB解析式为yx+1（2）点P在x轴上方是，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线AB于点E，将x0代入yx+1得y1，点C坐标为（0，1），A（2，0），B（2，2），C为AB中点，即ACBC，当PBC的面积是ACQ面积
17、的2倍时，点P到BC的距离是点Q到AC的距离的2倍，PEOA，EPCAQC，2，PFOA，PFCOQC，2，点P纵坐标为FC+OC3OC3，将y3代入yx2+x+5得3x2+x+5，解得x1，x2+，点P坐标为（，3）或（+，3）点P在x轴下方，连接BQ，PKx轴于点K，C为AB中点，SAQCSBQC，PBC的面积是ACQ面积的2倍，SPBQSBQC，点Q为CP中点，又CQOPQK，COQPKQ90，OCQKPQ，CQKP，即点P纵坐标为1，将y1代入yx2+x+5得1x2+x+5，解得x1，x2，点P坐标为（，1），（，1），综上所述，点P坐标为（，3）或（+，3）或（，1）或（，1），12
18、（2022福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点P是抛物线上一点，且在直线AB的上方（1）求抛物线的解析式；（2）若OAB面积是PAB面积的2倍，求点P的坐标；【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入yax2+bx，解得抛物线的解析式为：yx2+x（2）设直线AB的解析式为：ykx+t，将A（4，0），B（1，4）代入ykx+t，解得A（4，0），B（1，4），SOAB448，SOAB2SPAB8，即SPAB4，过点P作PMx轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BEPM于点E，如图，SPABSPNB+SPNAPNBE+PNAMPN
19、4，PN设点P的横坐标为m，P（m，m2+m）（1m4），N（m，m+），PNm2+m（m+）解得m2或m3；P（2，）或（3，4）13（2022苏州二模）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OAOC3（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分ABP的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；【解答】解：（1）OAOC3，A（3，0），C（0，3），将点A、C代入yx2+bx+c，解得，yx2+2x3；（2）令x2+2x30，解得x3或x1，B（1，0），过点P作PGx轴交于点G，过点Q作QHx轴交于点H，PGQH，设直线AC的解析式为ykx+b，解得，yx3，设P（t，t2+2t3），直线BP的解析式为ykx+b，解得，y（t+3）x（t+3），联立方程组，解得，Q（，），AC分ABP的面积为1：2两部分，或，当时，解得t1或t2，P（1，4）或（2，3）；当时，此时t无解，