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1、专题07 二次函数与直角三角形有关问题(专项训练)1(2020徐州)如图,在平面直角坐标系中,函数yax2+2ax+3a(a0)的图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E过点C作CDx轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,交抛物线于点G直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK(1)点E的坐标为: ;(2)当HEF是直角三角形时,求a的值;【解答】解:(1)对于抛物线yax2+2ax+3a,对称轴x1,E(1,0),故答案为(1,0)(2)如图,连接EC对于抛物线yax2+2ax+3a,令x0,得到y3a,令y0,ax2+2ax+3a0,解得x1或3,A(1
2、,0),B(3,0),C(0,3a),C,D关于对称轴对称,D(2,3a),CD2,ECDE,当HEF90时,EDEC,ECDEDC,DCF90,CFD+EDC90,ECF+ECD90,ECFEFC,ECEFDE,EADH,FAAH,AEDH,AE2,DH4,HEDFEFED,FHDH4,在RtCFH中,则有4222+(6a)2,解得a或(不符合题意舍弃),a当HFE90时,OAOE,FOAE,FAFE,OFOAOE1,3a1,a,综上所述,满足条件的a的值为或2(2020通辽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C且直线yx6过点B,与y轴交于点D
3、,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N(1)求抛物线的函数解析式;(2)当MDB的面积最大时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由【解答】解:(1)令y0,得yx60,解得x6,B(6,0),令x0,得yx66,D(0,6),点C与点D关于x轴对称,C(0,6),把B、C点坐标代入yx2+bx+c中,得,解得,抛物线的解析式为:yx2+5x+6;(2)设P(m,0),则M(m,m2+5m+6),N(m,m6),则MN
4、m2+4m+12,SMDB3m2+12m+363(m2)2+48,30,当m2时,MDB的面积最大,此时,P点的坐标为(2,0);(3)由(2)知,M(2,12),N(2,4),当QMN90时,QMx轴,则Q(0,12);当MNQ90时,NQx轴,则Q(0,4);当MQN90时,设Q(0,n),则QM2+QN2MN2,即4+(12n)2+4+(n+4)2(12+4)2,解得,n42,Q(0,4+2)或(0,42)综上,存在以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形其Q点坐标为(0,12)或(0,4)或(0,4+2)或(0,42)3(2020广元)如图,直线y2x+10分别与x轴,y轴交于A,B
5、两点,点C为OB的中点,抛物线yx2+bx+c经过A,C两点(1)求抛物线的函数表达式;(2)点P为抛物线上一点,若APB是以AB为直角边的直角三角形,求点P到抛物线的对称轴的距离【解答】解:(1)直线y2x+10中,令x0,则y10,令y0,则x5,A(5,0),B(0,10),点C是OB中点,C(0,5),将A和C代入抛物线yx2+bx+c中,解得:,抛物线表达式为:yx26x+5;(3)抛物线表达式为:yx26x+5,APB是以AB为直角边的直角三角形,设点P(n,n26n+5),A(5,0),B(0,10),AP2(n5)2+(n26n+5)2,BP2n2+(n26n+510)2,AB
6、2125,当点A为直角顶点时,BP2AB2+AP2,解得:n或5(舍),当点B为直角顶点时,AP2AB2+BP2,解得:n或,而抛物线对称轴为直线x3,则3,3,3,综上:点P到抛物线对称轴的距离为:或或4(2022南岸区校级模拟)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,连接AC、BC,其中A(2,0),C(0,6)(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线BC上方抛物线上一点,过点P作PEy轴交BC于点E,作PFx轴交BC于点F,求CF+BE的最小值,及此时点P的坐标;(3)如图2,x轴上有一点Q(1,0),将抛物线向x轴正方向平移,使得抛物
7、线恰好经过点Q,得到新抛物线y1,点D是新抛物线y1与原抛物线的交点,点E是新抛物线y1上一动点,连接DQ,当DQE是以DQ为直角边的直角三角形时,直接写出所有符合条件的点E的坐标【解答】解:(1)将A(2,0),C(0,6)代入yx2+bx+c,解得,yx2+x+6;(2)令y0,则x2+x+60,解得x3或x2,B(3,0),设直线BC的的解析式为ykx+b,解得,直线BC的解析式为y2x+6,设P(m,m2+m+6),则E(m,2m+6),PEm2+3m,PEy轴,PFx轴,PFECBO,PEFBCO,PEFOBC,PF:PE:FEOB:OC:BC1:2:,EFPE(m2+3m),BE+
8、CFCBEF3(m2+3m)(m)2+,当m时,BE+CF有最小值,此时P(,);(3)yx2+x+6(x)2+,设平移后的抛物线解析式为y(xt)2+,平移后抛物线经过Q(1,0),(1t)2+0,解得t1或t4(舍),平移后的抛物线解析式为y(x)2+,联立方程组,解得,D(1,6),设E(n,n2+3n+4),DQ240,DE2(n1)2+(n2+3n2)2,QE2(n+1)2+(n2+3n+4)2,当EQ2DE2+DQ2时,(n+1)2+(n2+3n+4)2(n1)2+(n2+3n2)2+40,解得n1(舍)或n,E(,);当ED2EQ2+DQ2时,(n1)2+(n2+3n2)240+
9、(n+1)2+(n2+3n+4)2,解得n1(舍)或n,E(,);综上所述:E点坐标为(,)或(,)5(2022辽宁)如图,抛物线yax23x+c与x轴交于A(4,0),B两点,与y轴交于点C(0,4),点D为x轴上方抛物线上的动点,射线OD交直线AC于点E,将射线OD绕点O逆时针旋转45得到射线OP,OP交直线AC于点F,连接DF(1)求抛物线的解析式;(2)当ODF为直角三角形时,请直接写出点D的坐标【解答】解:(1)将点A(4,0),C(0,4)代入yax23x+c,解得,yx23x+4;(2)设F(t,t+4),当FDO90时,过点D作MNy轴交于点N,过点F作FMMN交于点M,DOF
10、45,DFDO,MDF+NDO90,MDF+MFD90,NDOMFD,MDFNOD(AAS),DMON,MFDN,DN+ONt,DNON+(t4),DNt2,ON2,D点纵坐标为2,x23x+42,解得x或x,D点坐标为(,2)或(,2);当DFO90时,过点F作KLx轴交于L点,过点D作DKKL交于点K,KFD+LFO90,KFD+KDF90,LFOKDF,DFFO,KDFLFO(AAS),KDFL,KFLO,KLt+4t4,D点纵坐标为4,x23x+44,解得x0或x3,D(0,4)或(3,4);综上所述:D点坐标为(,2)或(,2)或(0,4)或(3,4)6(2022雁峰区校级模拟)如图
11、,抛物线yx2+bx+c经过A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,直线yx+1与x轴交于点E,与y轴交于点D(1)求抛物线的解析式;(2)M在直线DE上,当CDM为直角三角形时,求出点M的坐标【解答】解:(1)抛物线yx2+bx+c经过A(1,0),B(3,0)两点,解得:,抛物线的解析式是yx2+2x+3;(3)令x0,则yx2+2x+33,OC3,CDOCOD2,设M(a,a+1),CM2a2+(3a1)2a22a+4,DM2a2+(a+11)2a2,当CMD90时,CD2CM2+DM2,22a22a+4+a2,解得:a1,a20(舍去),当a时,a+1,M(,);当DCM90时
12、,CD2+CM2DM2,22+a22a+4a2,解得:a4,当a4时,a+13,M(4,3);解法二:DCM90,CMx轴,a+13,解得a4,M(4,3);综上所述:点M的坐标为(,)或(4,3)7(2022平南县二模)如图,二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且A(1,0),对称轴为直线x2(1)求该抛物线的表达式;(2)直线l过点A与抛物线交于点P,当PAB45时,求点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得BCQ是直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【解答】解:(1)设y(x2)2+k,把A(1,0)代入得:(12
13、)2+k0,解得:k9,y(x2)29x24x5,答:抛物线的解析式为yx24x5;(2)过点P作PMx轴于点M,如图:设P(m,m24m5),则PM|m24m5|,A(1,0),AMm+1PAB45AMPM,|m24m5|m+1,即m24m5m+1或m24m5(m+1),当m24m5m+1时,解得:m16,m21(不合题意,舍去),当m24m5(m+1),解得m34,m41(不合题意,舍去),P的坐标是(6,7)或P(4,5);(3)在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得BCQ是直角三角形,理由如下:在yx24x5中,令x0得y5,令y0得x1或x5,B(5,0),C(0,5),由抛物线yx24
14、x5的对称轴为直线x2,设Q(2,t),BC250,BQ29+t2,CQ24+(t+5)2,当BC为斜边时,BQ2+CQ2BC2,9+t2+4+(t+5)250,解得t6或t1,此时Q坐标为(2,6)或(2,1);当BQ为斜边时,BC2+CQ2BQ2,50+4+(t+5)29+t2,解得t7,此时Q坐标为(2,7);当CQ为斜边时,BC2+BQ2CQ2,50+9+t24+(t+5)2,解得t3,此时Q坐标为(2,3);综上所述,Q的坐标为(2,3)或(2,7)或(2,1)或(2,6)8(2022滕州市二模)抛物线yx2+2x+3与x轴交于A,B两点与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点(1)求A,
15、B,C,D的坐标;(2)点P为抛物线上的动点,当PAC是直角三角形时,求点P的坐标;【解答】解:(1)令x0,则y3,C(0,3),令y0,则x2+2x+30,解得x1或x3,A(1,0),B(3,0),yx2+2x+3(x1)2+4,顶点D(1,4);(2)设P(t,t2+2t+3),如图1,当ACP90时,过点C作EFx轴,过点A作AEEF交于E点,过点P作PFEF交于F点,FCP+ECA90,ECA+EAC90,EACFCP,CEAPFC,EC1,EA3,PF3(t2+2t+3)t22t,CFt,t0(舍)或t,P(,);如图2,当CAP90时,过点A作GHy轴,过点C作CGGH交于G点
16、,过点P作PHGH交于H点,GAC+HAP90,GAC+GCA90,HAPGCA,GACHPA,GC1,GA3,AHt22t3,PHt+1,解得t1(舍)或t,P(,);当APC90时,在抛物线上不存在点P;综上所述:P点坐标为(,)或(,);9(2022市中区二模)如图,抛物线yax2+bx+3交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,动点P在抛物线的对称轴上(1)求抛物线的关系式;(2)当以P,A,C为顶点的三角形周长最小时,求点P的坐标及PAC的周长;(3)若点Q是直线BC上方抛物线上一点,当BCQ为直角三角形时,求出点Q的坐标【解答】解:(1)将A(1,0),B(3,0)代
17、入yax2+bx+3,解得:,yx2+2x+3;(2)在yx2+2x+3中,令x0,得y3,C(0,3),点A、B关于对称轴对称,连接BC交对称轴于点P,则点P为所求的点APBP,PAC的周长PA+PC+ACPB+PC+ACBC+AC,当B、P、C三点共线时,PAC周长的最小值是AC+BC,A(1,0),B(3,0),C(0,3),PAC周长的最小值是,yx2+2x+3(x1)2+4,对称轴为直线x1,设直线BC的解析式为ykx+c,解得,yx+3,P(1,2);(3)设Q的坐标为(m,m2+2m+3),如图1,当BCQ90时,过点Q作QMy轴于点M,QCM+BCO90,QMCBOC90,QCM+MQC90,MQCOCB,MQCOCB,QMm,MCm2+2m,即,解得:m0(舍)或m1,Q(1,4);如图2,当CQB90时,过点Q作QMy轴于点M,过点B作BNQM,交MQ的延长线于点N,CQM+BQN90,QNBCMQ90,BQN+QBN90,QBNCQM,QMCBNQ,QN3m,BNm2+2m+3,即,解得:或(舍),Q;当QBC90时,显然不成立;综上所述,点Q的坐标为(1,4)或